数学文卷·2018届辽宁省丹东市高三一模考试（2018

数学文卷·2018届辽宁省丹东市高三一模考试（2018

‎2018年丹东市高三总复习质量测试（一）‎ 文科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1．已知，，，则 A．或 B．‎ C．或 D．‎ ‎2．若复数为纯虚数，则实数 A． 1 B． C．1或 D．或2‎ ‎3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则 A．2 B．3 C．4 D．9‎ ‎4．我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，该女子第3天所织布的尺数为 A． B．‎ C． D．‎ ‎5．执行右面的程序框图，若输入a，b，则输出的 A．3‎ B．4‎ C．5‎ D．6‎ ‎6．如果甲去旅游，那么乙、丙和丁将一起去．据此，下列结论正确的是 A．如果甲没去旅游，那么乙、丙、丁三人中至少有一人没去．‎ B．如果乙、丙、丁都去旅游，那么甲也去．‎ C．如果丙没去旅游，那么甲和丁不会都去．‎ D．如果丁没去旅游，那么乙和丙不会都去．‎ ‎7．一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积为 ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ ‎8．将函数的图象向左平移个单位后，便得到函数的图象，则正数的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数是奇函数，且，，则 A．3 B．2 C． D．‎ ‎10．设，则函数 A．有极值 B．有零点 C．是奇函数 D．是增函数 ‎11．已知数列是公差为3的等差数列，是公差为5的等差数列，若，则数列为 A．公差为15的等差数列 B．公差为8的等差数列 C．公比为125的等比数列 D．公比为243的等比数列 ‎12．设F为抛物线C：的焦点，直线交C于A，B两点，O为坐标原点，若△FAB的面积为，则 A． B． C．2 D．4‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。‎ ‎13．已知实数，满足，则的最小值为 ．‎ ‎14．如图，一铜钱的直径为32毫米，穿径（即铜钱内的正方形小孔边长）为8毫米，现向该铜钱内随机地投入一粒米（米的大小忽略不计），则该粒米落在铜钱的正方形小孔内的概率为 ．‎ ‎15．直角△的三个顶点都在球的球面上，，若球的表面积为，则球心到平面的距离等于 ．‎ ‎16．已知△的边的三等分点分别为,，若线段上一点满足： ，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎（一）必考题：共60分。‎ ‎17．（12分）‎ 已知△内角，，的对边分别为，，，．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，，求△的面积．‎ ‎18．（12分）‎ 某班级体育课举行了一次“投篮比赛”活动，为了了解本次投篮比赛学生总体情况，从中抽取了甲乙两个小组样本分数的茎叶图如图所示．‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎7‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎8‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎8‎ ‎1‎ 甲 乙 ‎（1）分别求甲乙两个小组成绩的平均数与方差；‎ ‎（2）分析比较甲乙两个小组的成绩；‎ ‎（3）从甲组高于70分的同学中，任意抽取2名同学，求恰好有一名同学的得分在[80,90）的概率．‎ ‎19．（12分）‎ 如图，△是边长为2的正三角形，平面，∥，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离．‎ ‎20．（12分）‎ 已知动圆过定点且与圆：相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．‎ ‎（1）求C的方程；‎ ‎（2）设，B，P为C上一点，P不在坐标轴上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：为定值．‎ ‎21．（12分）‎ 已知函数，．‎ ‎（1）求单调区间；‎ ‎（2）设，证明：在上有最小值；设在上的最小值为，求函数的值域．‎ ‎（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22．[选修4-4：坐标系与参数方程] （10分）‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），将上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线．以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎（1）求的极坐标方程；‎ ‎（2）设，为上两点，若，求的值．‎ ‎23．[选修4-5：不等式选讲] （10分）‎ 已知，，．证明：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎2018年丹东市高三总复习质量测试（一）‎ 文科数学试题参考答案 一、选择题 ‎1．A 2．A 3．B 4．B 5．B 6．C ‎ ‎7．D 8．C 9．D 10．D 11．A 12．B 二、填空题 ‎ ‎13．3 14． 15．1 16．‎ 三、解答题 ‎17．解：‎ ‎（1）由于，所以，．因为，故． …………6分 ‎（2）根据正弦定理得， ，．‎ 因为，所以． …………8分 由余弦定理得得．‎ 因此△的面积为． …………12分 ‎18．解：‎ ‎（1）记甲乙成绩的的平均数分别为，，则 ‎．‎ ‎．‎ 记甲乙成绩的的方差分别为，，则 ‎．‎ ‎．‎ ‎ …………4分 ‎（2）因为，所以甲乙两个小组成绩相当；‎ 因为，所以乙组成绩比甲组成绩更稳定． …………8分 ‎（3）由茎叶图知，甲组高于70分的同学共4名，有2名在[70,80），记为，，有2名在[80,90）记为，．‎ 任取两名同学的基本事件有6个：‎ ‎（,），（,），（,），（,），（,），（,）．‎ 恰好有一名同学的得分在[80,90）的基本事件数共4个：‎ ‎（,），（,），（,），（,）．‎ 所以恰好有一名同学的得分在[80,90）的概率为． …………12分 ‎19．解：‎ A E D C B F G ‎（1）取边的中点，的中点为，‎ 连接，，，则．‎ 因为是△的中位线，由题设 ‎∥，且，所以四边形 为平行四边形，于是∥．‎ 因为平面，所以，‎ 所以，故平面．所以 平面，又面，‎ 故平面平面． …………6分 ‎（2）由（1），△面积为2，所以三棱锥的体积为．‎ 由（1），，△面积为2．‎ 设点到平面的距离为，则三棱锥的体积为．‎ 因为三棱锥与三棱锥的体积相等，所以，即点到平面的距离为． …………12分 ‎20．解：‎ ‎（1）圆的圆心为，半径为4，在圆内，故圆与圆相内切．‎ 设圆的半径为，则，，从而．‎ 因为，故的轨迹是以，为焦点，4为长轴的椭圆，其方程为． …………6分 ‎（2）设，则，即．‎ 直线PA：，代入得，所以．‎ 直线PA：，代入得，所以．‎ 所以 ‎．‎ 综上，为定值4． …………12分 ‎21．解：‎ ‎（1）．‎ 由得，或；由得．‎ 所以在单调递增，单调递减，在单调递增．‎ ‎ …………4分 ‎（2）．设，则当时，， 在上是增函数．‎ 因为，，故在上有唯一零点．‎ 当时，，单调递减；当时，，单调递增．故当时，在上的最小值．‎ ‎ …………8分 因为，，所以．‎ 当时，是的递减函数，所以等价于． ‎ 由（1）知在递减，所以 于是函数的值域为． …………12分 ‎22．解：‎ ‎（1）由题设的参数方程为（为参数），消去得的普通方程为．‎ 将，代入得的极坐标方程为． …………5分 ‎（2）不妨设，的极坐标分别为，，则， ．‎ 从而，，所以，因此． …………10分 ‎23．证明：‎ ‎（1）因为 ‎ ．‎ 所以． …………5分 ‎（2）方法1：‎ 由（1）及得．‎ 因为，．‎ 于是． …………10分 方法2：‎ 由（1）及得．‎ 因为，所以．‎ 故． …………10分