浙江省宁波市效实中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

浙江省宁波市效实中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题

浙江省宁波市效实中学2019-2020学年高二上学期期中数学试题 说明：本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共100分．‎ 第Ⅰ卷（选择题共30分）‎ 参考公式：‎ 柱体的体积公式 其中表示柱体的底面积，表示柱体的高 锥体的体积公式其中表示锥体的底面积，表示锥体的高 球的表面积公式，球的体积公式，其中表示球的半径 台体的体积公式，其中，分别表示台体的上、下底面积，表示台体的高 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.在空间中，已知是直线，是平面，且，则的位置关系是（ ）‎ A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行或异面 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由于,所以两条直线是平行或异面.可以用了两支笔在桌面上摆放一下确定答案.‎ 考点：两条直线的位置关系.‎ ‎2.已知椭圆的焦点在轴上，若其离心率为，则的值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 椭圆的焦点在轴上，可知，，利用公式求出，代入离心率公式即可求出的值.‎ ‎【详解】解：椭圆的焦点在轴上，则，又离心率为，即，解得：.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆求离心率，利用是常用的方法，属于基础题.‎ ‎3.下列命题不正确的是（ ）‎ A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若直线直线，则直线与直线确定一个平面 D. 三点确定一个平面.‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A. 由公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线.可判断A正确；B. 由公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内.可判断B正确；C. 由两条相交直线确定一个平面可知，C正确. D. 三点共线时不能确定一个平面，所以D错误.‎ ‎【详解】解：对于A：由公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的直线.A中，平面与平面有一个交点，则有一条交线，且在交线上.所以A正确.‎ 对于B：由公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线也在此平面内.所以B真确.‎ 对于C：由两条相交直线确定一个平面可知，C正确.‎ 对于D：由公理2：不共线的三点确定一个平面可知，三点共线时不能确定一个平面，所以D错误.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查点、线、面的位置关系，解题的关键是熟记公理并且掌握公理的符号表示，属于基础题.‎ ‎4.将半径为的圆形铁皮，剪去后，余下部分卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得剩下的扇形是整个圆的，设卷成的圆锥的底面半径为r，利用扇形的弧长就等于圆锥的底面的周长求得r的值，可得圆锥的高，从而求得圆锥的体积．‎ ‎【详解】解：由题意可得剩下的扇形是整个圆的，设卷成的圆锥的底面半径为r，‎ 根据2πr＝×2π×6，求得r＝5，则圆锥的高为h＝＝，‎ 故圆锥的体积为•πr2•h＝×π×25•＝，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题主要考查求圆锥的体积，注意利用扇形的弧长就等于圆锥的底面的周长，属于基础题．‎ ‎5.已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，在底面上的射影为的中点，则异面直线与所成的角的余弦值为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设的中点为，连接，易知即为异面直线与所成的角，设三棱柱的侧棱与底面边长为，则，由余弦定理，得，故选D.‎ 考点：异面直线所成的角.‎ ‎6.如图所示，已知三棱台的体积为，其中，截去三棱锥，则剩余部分的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设三棱台的高为，上底面的面积为，下底面的面积为.通过，可知三棱台中，所以三棱台的体积可用和表示出来. 截去三棱锥与三棱台下底相同，高相同，根据上下底的面积关系，三棱锥的体积也可以用和表示出来，做差求出剩余部分的体积，做比即可求出答案.‎ ‎【详解】解：设三棱台的高为，上底面的面积为，下底面的面积为. 因为，所以，则三棱台的体积为：‎ ‎.‎ 截去三棱锥的体积为：，所以剩余部分的体积为，所以剩余部分的体积为.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查三棱台与三棱锥的体积公式，解题的关键是把所求的体积转化，属于中档题.‎ ‎7.有下列说法：‎ ‎①若，则与，共面；②若与，共面，则；‎ ‎③若，则共面；④若共面，‎ 则.其中正确的是（ ）‎ A. ①②③④ B. ①③④ C. ①③ D. ②④‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①，则根据平面向量基本定理知必与，共面，③同①；②若， 则不一定能用，表示，④同②，则可判断结果.‎ ‎【详解】解：①若，中有一个为，则与，共面；若，均不为为，则根据平面向量基本定理可知，与，共面，所以①正确；②若， 则不一定能用，表示，所以②不正确；③与①等同，根据平面向量基本定理可知，③正确；④与②类似，当三点共线时，点不在此直线上，则就不成立；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查平面向量基本定理的正用和逆用，解题的关键是把握住平面向量基本定理中向量不共线的前提，属于基础题.‎ ‎8.等腰梯形中，,沿对角线将平面折起，折叠过程中，与夹角的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 与夹角的范围为，所以只需探寻夹角的最小和最大值即可，当未折起时，夹角最小，求出夹角即可，然后只需验证垂直的情况是否成立即可得出答案.‎ ‎【详解】解：等腰梯形中，,则由平面几何可知，在等腰梯形中，与夹角为，在折起过程中，夹角逐渐增大，当平面与平面垂直时，与垂直，夹角为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查求线线角的取值范围，考查立体几何中的翻折问题，考查学生的直观想象能力和特殊值的运算，属于基础题.‎ ‎9.从空间一点作条射线，使得任意两条射线构成的角均为钝角，最多为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用空间中两条射线角平分线的性质，想要空间中存在射线与原来的两条射线所成的角为钝角，在两条射线所构成平面的一侧只能有一条射线同时与这两条射线所成的角为钝角，所以两侧有两条，一共有4条，则可得出答案.‎ ‎【详解】解：在同一个平面中，最多有3条射线，使得任意两条射线构成的角均为钝角，但是平面外不存在直线与这3条射线构成的角均为钝角，若平面内有2条射线构成的角为钝角，则在空间中，在两条射线所构成平面的一侧只能有一条射线同时与这两条射线所成的角为钝角，平面两侧一共存在2条射线，此时共有4条射线.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查两条射线所构成的角，考查学生的空间想象能力，属于中档题.‎ ‎10.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于两点,中点为，若直线与直线 AB的中垂线交于点，当最大时点的横坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线的方程为，联立直线与抛物线，可求出，利用中点和垂直求出直线AB的中垂线，与联立，求出M的坐标；应用两点间的距离公式分别求出和，利用不等式即可求出最大时点的横坐标.‎ ‎【详解】解：设，因为抛物线的焦点，所以设直线的方程为，则联立 得：，.‎ 则，则直线AB的中垂线为，‎ 联立 解得：.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎= ‎ ‎ = ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 所以当且仅当，即时，有最大值，此时C点的横坐标为5.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，考查直线与直线的位置关系，考查两点间的距离公式，考查学生的计算能力，属于中档题.‎ 第Ⅱ卷（非选择题共70分）‎ 二、填空题：本大题共7小题，多空题每小题4分，单空题每小题3分，共25分．‎ ‎11.已知正方体中，，若，则____，____．‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). ；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为，所以根据向量的线性运算，，又因为，所以把转化为，系数对应相等，即可求出的值.‎ ‎【详解】解：，，所以，.‎ 故答案为：1，.‎ ‎【点睛】本题考查向量的线性运算，考查向量相等的应用，属于基础题.‎ ‎12.已知球的表面积为，则它的半径等于____cm，它的内接长方体的表面积的最大值为_____.‎ ‎【答案】 (1). 1 (2). 8；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)列出球的表面积公式即可根据面积求出球的半径；（2）设内接长方体的长、宽、高分别为，则有，又因为长方体的表面积，则可根据基本不等式求出面积的最大值.‎ ‎【详解】解：球的表面积为，即，所以.‎ 设内接长方体的长、宽、高分别为，则有，所求长方体的表面积为，此时.‎ 故答案为：1,8.‎ ‎【点睛】本题考查根据球表面积公式求半径，考查球内接长方体边长与球的的半径的关系，考查基本不等式的应用，本题属于中档题.‎ ‎13.一个几何体的三视图如图所示，该几何体的俯视图的面积为____，体积为____．‎ ‎【答案】 (1). (2). ；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由三视图可知，该几何体左半部分为三棱锥，右半部分为半圆锥.所以根据正视图可知俯视图中三角形的底和高以及半径，进而可求出俯视图的面积.（2）根据正视图可知几何体的高为4，结合第一问所求的底面积，即可求出该几何体的体积.‎ ‎【详解】解：由三视图可知，该几何体左半部分为三棱锥，右半部分为半圆锥.‎ 在俯视图中，以半圆的直径为底，则三角形的高为2，半圆的直径为4，所以俯视图的面积为.‎ 由正视图可知，该几何体的高为4，所以该几何体的体积.‎ 故答案：，.‎ ‎【点睛】本题考查由三视图还原几何体，考查三棱锥和圆锥的体积公式，属于基础题.‎ ‎14.椭圆的弦的中点为点，则弦所在的直线方程为____；点 为椭圆上的任意一点，为左焦点，则的取值范围为____．‎ ‎【答案】 (1). (2). ；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设两点的坐标为：，利用点差法可得到，‎ 的中点为点，则有，将关系式代入结果可求得，即直线的斜率，根据点斜式则可求出直线方程.‎ ‎（2）已知，设，用坐标表示向量，因为点P在椭圆上，有，代入中，得到=，根据的取值范围即可求出结果.‎ ‎【详解】解：（1）设两点的坐标为：，则有：，即：，有，变形为：，‎ 的中点为点，则有，所以，即直线的斜率为-1，又过点，所以弦所在的直线方程为，即.‎ ‎（2）设，，，，= ‎ ‎，所以当时，有最小值2，当 时，有最大值，.‎ 故答案为：(1)，(2).‎ ‎【点睛】本题考查点差法求直线方程，考查坐标法求向量的范围，考查学生的计算能力和转化能力，在圆锥曲线中，已知弦中点求直线方程，点差法是常用的方法，用坐标法求范围也是常用方法，属于基础题.‎ ‎15.直线与双曲线的左、右支分别交于两点，若，为坐标原点，则双曲线的渐近线方程为____．‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 已知直线与双曲线的左、右支分别交于两点，联立即可求出两点的坐标，又，所以，解出，即可求出双曲线的渐近线方程.‎ ‎【详解】解：直线与双曲线的左、右支分别交于两点，联立：，可得.‎ ‎，，即， ‎ 所以双曲线的渐近线方程为. ‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查求双曲线的渐近线方程，考查向量垂直的坐标运算，考查直线与双曲线联立求解，属于基础题.‎ ‎16.平面//平面，直线，点与面夹角为，，与的夹角为，则与的夹角为____.‎ ‎【答案】；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 在平面内过点A作直线//，过点B作直线，交点为C，过C作直线，交点为D，根据垂直关系找出各个角的值，计算三角形的边长，，可求出直线AB的射影与直线的夹角，又直线与直线的夹角与直线AB的射影与直线的夹角互余，则可求出结果.‎ ‎【详解】解：在平面内过点A作直线//，过点B作直线，交点为C，过C作直线，交点为D.‎ 由条件可知， ，，.‎ 在中，.，又，，，，故直线与直线的夹角是.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查求直线与直线所成角，涉及到线面角，考查学生的空间想象能力，属于中档题.‎ ‎17.已知正方体的棱长为1，以顶点为球心，为半径作一个球，则球面与正方体的表面相交所得到的曲线的长等于______．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】如图，‎ 球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点所在的三个面上，即面、面和面上；另一类在不过顶点的三个面上，即面、面 和面上．在面上，交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为，则．‎ 同理，所以，故弧的长为，而这样的弧共有三条．‎ 在面上，交线为弧且在距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上，此时，小圆的圆心为，半径为，所以弧的长为．这样的弧也有三条．‎ 于是，所得的曲线长，‎ 故答案为：．‎ 三、解答题：本大题共5小题，共45分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎18.已知椭圆焦点为，且过点，椭圆第一象限上的一点到两焦点的距离之差为2.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）求的内切圆方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）椭圆过点，且焦点为，可以列出方程，求解即可求出的值，进而求出椭圆的方程.‎ ‎（2）到两焦点的距离之差为2，又到两焦点的距离之和为2，联立可求出，又 则可得出三角形为直角三角形，则可求出圆心和半径，进而可求出圆的方程.‎ ‎【详解】（1）椭圆过点，且焦点为，则，解得：，所以椭圆方程为：.‎ ‎（2）由，‎ 故内切圆半径，‎ 所以内切圆方程为：‎ ‎【点睛】本题考查根据椭圆过定点求椭圆方程，考查直角三角形求内切圆，涉及到直角三角形内切圆半径的求法，属于基础题.‎ ‎19.在所有棱长都为的三棱柱中，，.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的正切值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取BC中点D，均为等边三角形，则有 根据线面垂直的判定定理可得，根据线面垂直的定义即可证出结果.‎ ‎（2）由（1）可知所以有故由可知，由作AB的垂线，连即可得到，进而可找到为二面角的平面角，利用数据解三角形即可求出正切值.‎ ‎【详解】（1）取BC中点D，由题设得均为等边三角形，‎ ‎，‎ ‎（2） 又所以三角形为等边三角形.‎ 取中点，得 又，，作连可得 为二面角的平面角，‎ ‎【点睛】本题考查线线垂直的证明，考查求二面角所成角，熟记定理和性质是解题的关键，属于基础题.‎ ‎20.如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，四条侧棱长均为．点分别是棱上共面的四点，平面．‎ ‎（1）证明：‎ ‎（2）若，且二面角大小为,求与平面所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）平面，则由线面平行的性质可以证明从而证出 ‎（2）二面角大小为,取BC,AD的中点M,N，设，则可证明通过计算可知可以求出且可得是直线与平面所成的角，计算可求出结果.‎ ‎【详解】（1）平面，‎ 同理：由 ‎（2）取BC,AD的中点M,N，设,‎ 又 ‎ ‎ ‎ ‎ 故 ‎【点睛】本题考查线线平行的证明，以及求线面角的正弦值，解题的关键是灵活运用线面平行的性质，以及数据的处理，属于中档题.‎ ‎21.如果四面体四条高交于一点，则该点称为四面体的垂心，该四面体称为垂心四面体.‎ ‎（1）证明：如果四面体的对棱互相垂直，则该四面体是垂心四面体；反之亦然.‎ ‎（2）给出下列四面体 ‎①正三棱锥；‎ ‎②三条侧棱两两垂直；‎ ‎③高在各面的射影过所在面的垂心；‎ ‎④对棱的平方和相等.‎ 其中是垂心四面体的序号为 .‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）①②③④‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先证明四面体的两条高线交于一点，再证过另一顶点和这一点的直线为另一条高线，即可证明结论成立.（2）①②③可通过证明对棱垂直证明是垂心四面体，④假设四面体为垂心四面体，则可证明有对棱的平方和相等，逆推依然成立，所以④也成立.‎ ‎【详解】（1）先证对棱互相垂直的四面体是垂心四面体.‎ 作，则 ‎，‎ 此时两条高线 连接，下证 ‎.连接 综上可知，四条高线交于点，故该四面体垂心四面体；‎ 反之，若该四面体为垂心四面体，即四条高线交于点.‎ ‎,,，故,‎ 同理可证 ‎（2）①正三棱锥底面为正三角形，侧面为全等的等腰三角形，可证明三组对棱两两垂直，所以①符合要求.②三条侧棱两两垂直，任一条侧棱垂直另外两条侧棱所在的平面，也可证明对棱垂直，所以②符合要求.③高垂直于底面棱，在侧面的射影垂直于此面的底面棱，所以底面棱垂直于高和射影所在的平面，即垂直于对棱，所以③符合要求.④假设四面体为垂心四面体，设BF交CD于E，则AC2﹣AD2＝CF2﹣DF2＝CE2﹣DE2＝BC2﹣BD2，即AC2+BD2＝AD2+BC2，反之，若故AC2+BD2＝AD2+BC2，则有C2﹣AD2＝CF2﹣DF2＝CE2﹣DE2＝BC2﹣BD2成立，即同理可证其他，故④符合要求．‎ ‎①②③④均符合要求.‎ ‎【点睛】本题为立体几何新定义题型，解题的关键是反复利用线面垂直的判定和性质，属于难题.‎ ‎22.平面直角坐标系中，已知椭圆，抛物线的焦点是的一个顶点，设是上的动点，且位于第一象限，记在点处的切线为.‎ ‎ ‎ ‎（1）求的值和切线的方程（用表示）‎ ‎（2）设与交于不同的两点，线段的中点为，直线与过且垂直于轴的直线交于点.‎ ‎（i）求证：点在定直线上;‎ ‎（ii）设与轴交于点，记的面积为，的面积为，求的最大值.‎ ‎【答案】（1），切线方程为（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）的最大值为 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据椭圆的方程可求出过的定点，按照抛物线的标准方程即可求出的值；利用在点处的导数可求出直线的斜率，利用点斜式即可求出直线方程.（2）（i）利用点差法求出，写出直线OD的方程，代入，可求出为定值，即可证明. （ii）中，为底，点的横坐标为高，用表示三角形的面积，中，为底，到的距离为高，依然用表示三角形的面积，换元求最值即可.‎ ‎【详解】解：（I）由题意可得，，所以抛物线的焦点F为，则，.‎ 直线的斜率为，所以切线方程，利用化简可得：.‎ ‎（2）（i）证明：设，‎ 由点差法可得，，即有，‎ 直线OD的方程为，当时，可得即有点M在定直线上；（ii）直线l的方程为，令，可得，‎ 则，‎ 则令，‎ 则 当，即时，取得最大值 ‎【点睛】本题考查求抛物线的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的应用，考查学生的计算能力与转化能力，属于难题.‎ ‎ ‎