2017-2018学年山西省陵川一中高二上学期期末数学理试题（解析版）

2017-2018学年山西省陵川一中高二上学期期末数学理试题（解析版）

‎2017-2018学年山西省陵川一中高二上学期期末数学理试题（解析版）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故焦点坐标为.‎ ‎2. 已知命题，则命题的否定为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】特称命题的否定是全称命题，故选.‎ ‎3. 直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线的倾斜角为（ ）‎ A. 30° B. 45° C. 120° D. 135°‎ ‎【答案】D ‎【解析】斜率为时满足题意，故倾斜角为.‎ ‎4. 已知向量，，若平行，则实数等于（ ）‎ A. -1 B. -2 C. -3 D. -6‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于两个向量平行，故，故.‎ ‎5. 已知双曲线的一条渐近线方程为，虚轴长为2，则该双曲线的焦距为（ ）‎ A. 4 B. 2或 C. D. 4或 ‎【答案】D ‎【解析】当焦点在轴上时，，解得；当焦点在轴上时，解得.故选.‎ ‎6. “”是“方程表示椭圆”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】设，表示圆，不一定为椭圆.反之，若方程表示椭圆，则.故为必要不充分条件.‎ ‎7. 半径为1的圆与相切，则圆的圆心轨迹为（ ）‎ A. 两个圆 B. 一个圆 C. 两个点 D. 一个点 ‎【答案】A ‎8. 在平行六面体中，若分别为的中点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由图可知.故选.‎ ‎9. 已知，：对于任意的恒成立，成立是成立的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】对于，；对于，当时，成立.当时，，解得.故.所以是的充分不必要条件.‎ ‎10. 在直三棱柱中，，，，则该三棱柱外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于三角形为直角三角形，故其外心在的中点处.球心在其正上方，且位于高的一半处.故，故体积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查几何体的外接球问题，考查了矩形的几何性质，考查了等腰直角三角形的几何性质.一般来说，几何体外接球球心的找法如下：先找到一个面的外心，再找到另一个面的外心，球心就在这两个外心的正上方.等边三角形的外心在重心的位置，矩形的外心在对角线交点的位置，等腰直角三角形的外心在斜边中线上.‎ ‎11. 在空间直角坐标系中，到轴和轴距离相等的点的轨迹为（ ）‎ A. 一个平面 B. 两个平面 C. 一条直线 D. 两条直线 ‎【答案】B ‎【解析】到轴和轴距离相等的点的轨迹为如图所示的两个平面，故选.‎ ‎12. 为双曲线上一点，分别为的左、右焦点，，若的外接圆半径是其内切圆半径的2.5倍，则的离心率为（ ）‎ A. B. 2 C. 或 D. 2或3‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于为直角三角形，故外心在斜边中线上.由于，所以，故外接圆半径为.设内切圆半径为，根据三角形的面积公式，有，解得，故两圆半径比为，化简得，解得或.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的基本概念和性质，考查双曲线的通径长，考查直角三角形的外心和内心的求法.首先根据题意画出图象.根据双曲线的定义，可将直角三角形的三条边长求出来.直角三角形的外心在斜边的中点，而内切圆半径可以采用面积公式，利用等面积法来计算.‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 向量与互相垂直，则__________．‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】依题意有.‎ ‎14. 已知圆与圆有公切线，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】两个圆有公切线，则两圆不能内含.圆心为，圆心距为，两圆内含时：，，故的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系，考查两圆公切线存在的情况.设两圆半径分别为，圆心距为，当时，两圆外离，有条公切线；当时，两圆外切，有条公切线；当时，两圆相交，有条公切线；当时，两圆内切，有条公切线；当，两圆内含，没有公切线.‎ ‎15. 设分别是正方体的棱上两点，且，，给出下列四个命题：‎ ‎①三棱锥的体积为定值； ②异面直线与所成的角为45°；‎ ‎③平面； ④直线与平面所成的角为60°.‎ 其中正确的命题为__________．‎ ‎【答案】①② ‎ ‎【解析】①:三角形在平面内，到平面的距离为定值，故为定值，命题正确. ②将平移到，由此可知异面直线与所成的角为45°，命题正确.③由图可知命题显然不成立.④如图所示，连接交于，易得平面，所以是所求线面角，由于，故线面角大小为.综上，正确命题为①②.‎ ‎【点睛】本题主要考查空间点线面的位置关系，考查空间几何体的体积.第一个命题是关于三棱锥的体积，体积公式是底面积乘以高除以三，根据分析可知底面积一定，高也一定，故体积一定.第二个命题是异面直线所成的角，判断方法是利用平移将两条直线移到一起，然后解三角形得到.‎ ‎16. 如图，网格中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三视图可知，该几何体可以补形为正方体，其外接球直径为正方体的体对角线，即，故球的表面积为.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17. 已知，设：指数函数在实数集上为减函数，，使得不等式恒成立.若是真命题，且是假命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】【试题分析】依题意，解得.利用分离常数法求得命题的，两者取交集求得.‎ ‎【试题解析】‎ 当真时，∵函数在上为减函数，‎ ‎∴，‎ ‎∴当真时，.‎ 当真时，，，‎ 在为单调递增函数，∴.‎ 由真假，即.‎ ‎∴综上所述，的取值范围是.‎ ‎18. 已知圆过点，，.‎ ‎（1）求圆的方程；‎ ‎（2）直线与圆相交于两点，若为锐角，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】【试题分析】（1）由平面几何知识可知，直接得出圆心和半径，由此写出圆的标准方程.（2）若直线过圆心，则，求得.当直线与圆相切时，利用圆心到直线的距离等于半径求得，结合图形可知.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由平面几何知识可知，所求圆心为，半径，‎ ‎∴圆的方程为.‎ ‎（2）当直线过圆心时，，此时，‎ 当直线与圆相切时或-18，‎ 结合图形可知，.‎ ‎19. 在正方体中，为的中点，满足.‎ ‎（1）当时，求证：；‎ ‎（2）若与平面所成的角为30°，求的值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）由题可知为的中点，设正方形的边长为1，通过计算证明勾股定理得出.（2）以为轴建立空间直角坐标系，利用直线的方向向量和平面的法向量建立方程，来求得的值.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由题可知为的中点，设正方形的边长为1，计算可得 ‎，，．‎ ‎∵，∴.‎ ‎（2）以为轴建立坐标系，‎ 设，，，，平面的法向量为，‎ 由，的坐标为，∴．‎ ‎∴.‎ 解得（负值舍去）.‎ ‎20. 平面内动点到定点的距离比到轴的距离大1.‎ ‎（1）求点的轨迹方程；‎ ‎（2）过作直线与（1）中位于轴右侧的曲线相交于两点，若，求.‎ ‎【答案】（1）或（2）.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）设，则，‎ 当时，，当时，．‎ 所以，所求轨迹方程为或．‎ ‎（2）设过的直线方程为，代入得 ‎.‎ 设，（不妨设），‎ 则①，②，‎ 由得，③‎ ‎①②③联立得，，‎ 则，代入直线的方程得，‎ ‎∴.‎ ‎21. 在长方体中，，，为的中点.‎ ‎（1）求二面角的大小；‎ ‎（2）在矩形内部是否存在点，使平面，若存在，求出其中的一个点，若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）30°（2）见解析 ‎【解析】【试题分析】（1）分别以为轴建立空间直角坐标系，通过计算平面及的法向量，利用向量夹角公式可求得二面角的大小.（2）通过计算平面的法向量和直线的方向向量，这两个向量的数量积应该为零，由此求得为所求点的其中之一.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，‎ 所以，．‎ 设平面的法向量为，‎ 则即 令，得.‎ 又为平面的法向量，‎ ‎∴，‎ 故二面角的大小为30°.‎ ‎（2）设，则，‎ ‎∵平面，∴．即，∴．‎ 令，，得为所求点的其中之一.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用空间向量求两个平面所成的二面角的大小，考查利用空间向量求证存在性问题.要求两个平面所成二面角的大小，则先建立空间直角坐标系，求出两个平面对应的法向量，通过向量的夹角公式计算得二面角的余弦值，然后判断二面角的大小.‎ ‎22. 已知椭圆过点，且椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过点的直线与相交于两点，且，求直线的方程.‎ ‎【答案】（1）（2）.‎ ‎【解析】【试题分析】（1）将点坐标代入方程，结合，列方程组可求得的值，进而求得椭圆方程.（2）设直线的方程为，代入椭圆的方程，写出韦达定理，通过计算，可求得的值，进而求得直线的方程.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由已知得，解得，．‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）由题得不为轴，∴设直线的方程为，代入椭圆的方程得 ‎，‎ 设，，则，.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎．‎ 即，∴（舍）或．‎ 直线的方程为．‎ 综上，直线的方程为.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线和椭圆的位置关系，考查椭圆方程的求法.由于椭圆参数有两个，那要两个条件列方程组就可以求得的值，注意结合隐藏条件.由于两条直线垂直，故可将此转化为两个向量垂直来建立方程，通过解方程来求得的值，进而求得直线方程.‎