数学理卷·2018届福建省闽侯第六中学高三12月月考（2017

数学理卷·2018届福建省闽侯第六中学高三12月月考（2017

福建省闽侯第六中学2018届高三12月月考试题 数学（理科） ‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.已知,复数，若为纯虚数，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3.某学校共有师生人，现用分层抽样的方法，从所有师生中抽取一个容量为的样本，调查师生对学校食堂就餐问题的建议，已知从学生中抽取的人数为人，那么该校的教师人数为（ ）‎ A．人 B．人 C．人 D．人 ‎4.已知条件关于的不等式有解；条件为减函数，则成立是成立的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（ ）‎ A. B． C. D．‎ ‎6.下列说法正确的是（ ）‎ A．命题“”，则是真命题 B．命题“使得”的否定是：“” ‎ C.“”是“”的必要不充分条件 ‎ D．“”是“在上为增函数”的充要条件 ‎7.程序框图如图所示：‎ 如果上述程序运行的结果，那么判断框中应填入（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.若关于的不等式组， 表示的平面区域是等腰直角三角形区域，则其表示的区域面积为（ ）‎ A．或 B．或 C. 或 D．或 ‎9.已知函数，用表示中最小值，设函数，则函数的零点个数为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.已知函数，其在区间上单调递增，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知函数，若关于的不等式恰有个整数解，则实数的最大值是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.定义域为的偶函数满足对，有，且当时，‎ ‎， 若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知两个单位向量的夹角为，若与垂直，则 ．‎ ‎14.设是等差数列的前项和，若，则 ．‎ ‎15.已知是上的减函数，是其图像上两个点，则不等式的解集是 ．‎ ‎16.已知函数，若函数有个零点，则实数的取值范围为 ；‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知函数 ‎（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；‎ ‎（2）若在中，角的对边分别为为锐角，且，求面积的最大值.‎ ‎18.已知函数，将的图像向左平移个单位后得到的图像，且在区间内的最大值为 ‎（Ⅰ） 求实数的值；‎ ‎（Ⅱ） 在中，内角的对边分别是，若，且，求的周长的取值范围.‎ ‎19.已知且，函数，记，‎ ‎（1）求函数的定义域及其零点；‎ ‎（2）若关于的方程在区间内仅有一解，求实数的取值范围.‎ ‎20.已知函数，其中 ‎（Ⅰ）若函数存在相同的零点，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若存在两个正整数，当时，有与同时成立，求的最大值及取最大值时的取值范围.‎ ‎21.已知函数在其定义域内有两个不同的极值点.‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）记两个极值点分别为，且，已知，若不等式恒成立，求的范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-1：几何证明选讲 如图，为圆的直径，为圆外一点，过点作于，交圆于点，交圆于点，交于点.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）求证：‎ ‎23. 选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为（），曲线的极坐标方程为：，若曲线与相交于两点.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）求点到两点的距离之积.‎ ‎24.选修4-5：不等式选讲 已知函数 ‎（Ⅰ）若，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若方程有三个不同的解，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: 6-10: 11、12：‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17. 解：（Ⅰ）‎ 的最小正周期为；‎ ‎（Ⅱ）， ， ，‎ ‎, 为锐角，即，‎ 又，由余弦定理得：,‎ 即， ，‎ ‎ ‎ ‎18.解：（Ⅰ）由题设得，‎ ‎，‎ 因为当时，，‎ 所以由已知得，即时，，‎ 所以；‎ ‎（Ⅱ）由已知，因为三角形中，‎ 所以,所以，即，‎ 又因为，由余弦定理得：‎ ‎。‎ 当且仅当时等号成立，‎ 又，所以的周长，‎ 故的周长的取值范围是 ‎19.解：（1） （且）‎ ‎，解得，所以函数的定义域为 令，则 （※）‎ 方程边为，即 解得 经检验是（※）的增根，所有方程（※）的解为，所以函数的零点为.‎ ‎（2）‎ 设，则函数在区间上是减函数，当时，此时，所以 ‎①若，则，方程有解；②若，则，方程有解.‎ ‎20.解：（Ⅰ）‎ 或或，‎ 经检验上述的值均符合题意，所以的值为 ‎（Ⅱ）令，则为正整数，，即，‎ 记，‎ 令，即的解集为，则由题意得区间 ‎①当时，因为，故只能，‎ 即或，又因为，故，此时 又，所以 当且仅当，即时，可以取，‎ 所以，的最大整数为；‎ ‎②当时，,不合题意；‎ ‎③当时，因为，‎ 故只能，无解；‎ 综上，的最大整数为，此时的取值范围为 ‎21.解：（Ⅰ）依题意，函数的定义域为，所以方程在有两个不同根，即 方程在有两个根.‎ 转化为函数与函数的图像在上有两个不同交点.‎ 又，即时，时，，‎ 所以在上单调增，在上单调减，从而，‎ 又有且只有一个零点是，且在时，，在时，，‎ 所以的草图如下，可见，要想函数与函数的图像在上有两个不同交点，‎ 只需 ‎（Ⅱ）因为等价于 由（Ⅰ）可知分别是方程的两个根，即，‎ 所以原式等价于，因为，‎ 所以原式等价于，又由作差得，，‎ 即 所以原式等价于，‎ 因为，原式恒成立，即恒成立.‎ 令，则不等式在上恒成立.‎ 令，‎ 又 当时，可见时，，所以在上单调增，又，‎ 在恒成立，符合题意.‎ 当时，可见时，时，‎ 所以在时单调增，在时单调减，又，‎ 所以在上不能恒小于，不符合题意，舍去.‎ 综上所述，若不等式恒成立，只需，又，所以 ‎22.解：，所以在中，；在中，‎ ‎；所以 ‎（Ⅱ）在中，，由①得，‎ ‎，所以 ‎23.解：（Ⅰ），则的参数方程为：，（为参数），代入得，‎ ‎（Ⅱ）‎ ‎24.解：（Ⅰ）时，‎ 当时，不合题意；‎ 当时，，‎ 解得；‎ 当时，符合题意.‎ 综上，的解集为 ‎（Ⅱ）设的图像和的图像如图：‎ 易知的图像向下平移个单位内（不包括个单位）与的图像始终有个交点，‎ 从而