2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练40+垂直关系

2019高三数学文北师大版一轮课时分层训练40+垂直关系

课时分层训练(四十)　垂直关系 ‎ (对应学生用书第258页)‎ A组　基础达标 ‎(建议用时：30分钟)‎ 一、选择题 ‎1．(2018·广州模拟)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是(　　)‎ A．若m⊥n，n∥α，则m⊥α B．若m∥β，β⊥α，则m⊥α C．若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α D．若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α C　[A中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；‎ B中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误；‎ C中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；‎ D中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或mα，错误．]‎ ‎2．在下列四个正方体中，能得出AB⊥CD的是(　　)‎ A　[A选项中，因为CD⊥平面AMB，所以CD⊥AB，B选项中，AB与CD成60°角； C选项中，AB与CD成45°角；D选项中，AB与CD 夹角的正切值为.]‎ ‎3．如图7510，在正四面体PABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是(　　)‎ 图7510‎ A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面PAE D．平面PDE⊥平面ABC D　[因为BC∥DF，DF平面PDF，‎ BC平面PDF，‎ 所以BC∥平面PDF，故选项A正确．‎ 在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，‎ 所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此选项B，C均正确．]‎ ‎4．如图7511，在三棱锥DABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是(　　) 【导学号：00090259】‎ 图7511‎ A．平面ABC⊥平面ABD B．平面ABD⊥平面BCD C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE D．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE C　[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]‎ ‎5．(2017·全国卷Ⅲ)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CD的中点，则(　　)‎ A．A1E⊥DC1　　　　 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC C　[如图，∵A1E在平面ABCD上的投影为AE，而AE不与AC，BD垂直，∴B，D错；‎ ‎∵A1E在平面BCC1B1上的投影为B1C，且B1C⊥BC1，‎ ‎∴A1E⊥BC1，故C正确；‎ ‎(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，‎ ‎∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1)‎ ‎∵A1E在平面DCC1D1上的投影为D1E，而D1E不与DC1垂直，故A错．]‎ 二、填空题 ‎6．如图7512所示，在四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD．(只要填写一个你认为是正确的条件即可)‎ 图7512‎ DM⊥PC(或BM⊥PC等)　[由定理可知，BD⊥PC．‎ ‎∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD．‎ 又PC平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．]‎ ‎7．如图7513，在三棱柱ABCA1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．‎ 图7513‎ 　[取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面BB1C1C．‎ 所以∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．‎ 设三棱柱的所有棱长为a，‎ 在Rt△AED中，‎ AE＝a，DE＝.‎ 所以tan∠ADE＝＝，则∠ADE＝.‎ 故AD与平面BB1C1C所成的角为.]‎ ‎8．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.‎ ‎③如果α∥β，mα，那么m∥β.‎ ‎④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．‎ 其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号) ‎ ‎【导学号：00090260】‎ ‎②③④　[对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．‎ 对于②，由线面平行的性质定理知存在直线lα，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．‎ 对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又mα，所以m，β 没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．‎ 对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]‎ 三、解答题 ‎9. (2015·北京高考)在三棱锥VABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC且AC＝BC＝，O，M分别为AB，VA的中点．‎ 图7514‎ ‎(1)求证：VB∥平面MOC；‎ ‎(2)求证：平面MOC⊥平面VAB；‎ ‎(3)求三棱锥VABC的体积．‎ ‎[解]　(1)证明：因为O，M分别为AB，VA的中点，‎ 所以OM∥VB．3分 又因为VB/平面MOC，所以VB∥平面MOC． 5分 ‎(2)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB．‎ 又因为平面VAB⊥平面ABC，且OC平面ABC，‎ 所以OC⊥平面VAB．‎ 所以平面MOC⊥平面VAB． 8分 ‎(3)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝，‎ 所以AB＝2，OC＝1.‎ 所以等边三角形VAB的面积S△VAB＝. 9分 又因为OC⊥平面VAB，‎ 所以三棱锥CVAB的体积等于OC·S△VAB＝.‎ 又因为三棱锥VABC的体积与三棱锥CVAB的体积相等，所以三棱锥VABC的体积为. 12分 ‎10．⊙O的直径AB＝4，点C，D为⊙O上两点，且∠CAB＝45°，F为的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图7515②)．‎ ‎①　　　　　　②‎ 图7515‎ ‎(1)求证：OF∥平面ACD；‎ ‎(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎[解]　(1)证明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°， 1分 又因为F为的中点，‎ 所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC， 3分 又AC平面ACD，OF平面ACD，‎ 所以OF∥平面ACD． 5分 ‎(2)存在，E为AD中点，‎ 因为OA＝OD，所以OE⊥AD． 7分 又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直．‎ 所以OC⊥平面OAD． 9分 又AD平面OAD，所以AD⊥OC，‎ 由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，‎ 所以AD⊥平面OCE.‎ 又AD平面ACD，‎ 所以平面OCE⊥平面ACD． 12分 B组　能力提升 ‎(建议用时：15分钟)‎ ‎1．(2017·贵州贵阳二模)如图7516，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是(　　)‎ 图7516‎ A．O是△AEF的垂心 B．O是△AEF的内心 C．O是△AEF的外心 D．O是△AEF的重心 A　[由题意可知PA，PE，PF两两垂直，‎ 所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，‎ 而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，‎ 所以EF⊥平面PAO，‎ 所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，‎ 所以O为△AEF的垂心．]‎ ‎2．如图7517，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.‎ 图7517‎ a或2a　[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D．‎ 为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．‎ 设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，‎ ‎∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2A．]‎ ‎3．(2016·四川高考)如图7518，在四棱锥PABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD．‎ 图7518‎ ‎(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；‎ ‎(2)证明：平面PAB⊥平面PBD． 【导学号：00090261】‎ ‎[解]　(1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．‎ 理由如下：连接CM，‎ 因为AD∥BC，BC＝AD，‎ 所以BC∥AM，且BC＝AM. 2分 所以四边形AMCB是平行四边形，‎ 所以CM∥AB．‎ 又AB平面PAB，CM平面PAB，‎ 所以CM∥平面PAB．‎ ‎(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点) 5分 ‎(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，‎ 因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交，‎ 所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD． 8分 因为AD∥BC，BC＝AD，M为AD的中点，连接BM，‎ 所以BC∥MD，且BC＝MD，‎ 所以四边形BCDM是平行四边形，‎ 所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB．‎ 又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB．‎ 又BD平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD． 12分