专题60+曲线的参数方程及应用（检测）-2019年高考数学（文）名师揭秘之一轮总复习

专题60+曲线的参数方程及应用（检测）-2019年高考数学（文）名师揭秘之一轮总复习

‎【学习目标】‎ ‎1.了解曲线参数方程的意义，掌握直线、圆及圆锥曲线的参数方程，会应用参数方程解决有关的问题.‎ ‎2.掌握参数方程与普通方程的互化，会根据已知给出的参数，依据条件建立参数方程.‎ ‎【高考模拟】 ‎ ‎1．已知某圆的极坐标方程为：．‎ ‎（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程；‎ ‎（2）若点P（x，y）在该圆上，求的最大值和最小值．‎ ‎【答案】(1) 为参数）； (2) 2.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用两角差的余弦公式展开极坐标方程，再将直角坐标与极坐标的互化公式代入，极坐标方程即，即．‎ ‎（2）圆的参数方程为，故，故，由于，可得．‎ ‎【详解】‎ ‎（2）由（1）圆的参数方程为，‎ ‎∴．‎ 由于，∴，故的最大值为6，最小值等于2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点的极坐标和直角坐标的互化，利用直角坐标与极坐标间的关系，即利用，，，进行代换即得．‎ ‎2．在直角坐标系中，已知圆的圆心坐标为，半径为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的参数方程为：（为参数）．‎ ‎（1）求圆和直线l的极坐标方程；‎ ‎（2）点的极坐标为，直线l与圆相交于A，B，求的值．‎ ‎【答案】（1）圆的极坐标方程为，的极坐标方程为；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）代入圆C得圆C的极坐标方程；直线l的参数方程转化成普通方程，进而求得直线l的极坐标方程；（2）将直线l的参数方程代入圆的方程，求得关于t的一元二次方程，令A，B对应参数分别为t1，t2，根据韦达定理、直线与圆的位置关系，即可求得|PA|+|PB|的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（2）由点的极坐标为得点的直角坐标为，‎ ‎∴直线的参数方程可写成：（为参数）．‎ 代入圆得：化简得：，‎ ‎∴，，‎ ‎∴．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的极坐标方程与普通方程的转换，直线与圆的位置关系，考查分析问题及解决问题的能力，属于中档题．一般t的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故，，均可用t来表示，从而转化为韦达定理来解决.‎ ‎3．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，为参数．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．与交于两点．‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程及直线的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设点，求的值．‎ ‎【答案】⑴：，：；⑵‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）利用三种方程互化方法，曲线C的普通方程及直线l的直角坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）点P（0，﹣2）在l上，l的参数方程为为（t为参数），代入x2+y2=1整理得，3t2﹣10t+15=0，即可求|PA|+|PB|的值．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三种方程互化，考查参数的几何意义，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎4．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）经过点作直线交曲线于两点，若恰好为线段的三等分点，求直线的普通方程.‎ ‎【答案】（1）曲线的普通方程为；（2）直线的普通方程为或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角函数平方关系消参数得曲线的普通方程；（2）先设直线的参数方程，代入圆方程，根据参数几何意义，列方程解得，最后根据点斜式得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由曲线的参数方程，得（为参数）‎ 所以曲线的普通方程为. ‎ ‎【点睛】‎ 直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)‎ 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 ‎(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).‎ ‎(2)|M1M2|＝|t1－t2|.‎ ‎(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.‎ ‎(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.‎ ‎5．在平面直角坐标系xoy中，圆O的参数方程为（为参数）．过点（）且倾斜角为的直线与圆O交于A、B两点.‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）求AB中点P的轨迹的参数方程.‎ ‎【答案】（1）(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）⊙O的普通方程为x2+y2=1，圆心为O（0，0），半径r=1，当α=时，直线l的方程为x=0，成立；当α≠时，过点（0，﹣）且倾斜角为α的直线l的方程为y=tanα•x+，从而圆心O（0，0）到直线l的距离d=＜1，进而求出或，由此能求出α的取值范围．‎ ‎（2）设直线l的方程为x=m（y+），联立，得（m2+1）y2+2+2m2﹣1=0，由此利用韦达定理、中点坐标公式能求出AB中点P的轨迹的参数方程．‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎(2)的参数方程为:‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎ ，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线直线的倾斜角的取值范围的求法，考查线段的中点的参数方程的求法，考查参数方程、直角坐标方和、韦达定理、中点坐标公式等基础知识，考查数形结合思想的灵活运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎6．在直角坐标系中，直线的参数方程为．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为．‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程和直线普通方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)极坐标方程化为直角坐标方程可得圆的直角坐标方程为参数方程化为普通方程可得直线普通方程为.‎ ‎(2)联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，结合直线参数方程的几何意义可得的值为.‎ ‎【详解】‎ ‎（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，‎ 得，整理得．‎ 由于，故可设t1，t2是上述方程的两实根，‎ ‎∴ ‎ ‎ 又直线过点，故由上式及的几何意义得．‎ ‎【点睛】‎ 直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化. ‎ ‎7．在直角坐标系中，过点的直线的倾斜角为，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线和曲线的交点为点.‎ ‎（1）求直线的参数方程； ‎ ‎（2）求的值.‎ ‎【答案】（1）为参数)； （2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据直线的倾斜角，和特殊点得到直线的参数方程即可；（2）联立直线的参数方程和抛物线方程，得到关于t的二次方程，由得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查了参数方程化的写法，考查了直线参数中t的几何意义，一般t的绝对值表示方程中的定点到动点的距离，故，，均可用t来表示，从而转化为韦达定理来解决.‎ ‎8．在直角坐标系中，直线的参数方程为．在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴正半轴为极轴）中，圆的方程为．‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程和直线普通方程；‎ ‎（2）设圆与直线交于点，若点的坐标为，求的值．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)极坐标方程化为直角坐标方程可得圆的直角坐标方程为参数方程化为普通方程可得直线普通方程为.‎ ‎(2)联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程，结合直线参数方程的几何意义可得的值为.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得， ‎ 从而可得，即，‎ 故圆的直角坐标方程为 直线的普通方程为．‎ ‎【点睛】‎ 直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化. ‎ ‎9．在以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立的极坐标系中，曲线的极坐标方程为，正三角形的顶点都在上，且依逆时针次序排列，点的坐标为．‎ ‎（I）求点的直角坐标；‎ ‎（II）设是圆上的任意一点，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）B(-1,),C；（2）[8,24].‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出曲线C1的直角坐标方程，由此能求出点B，C的直角坐标．‎ ‎（2）由圆C2的参数方程结合两点间距离公式，利用三角函数性质能求出|PB2|+|PC|2的取值范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意，得曲线的普通方程为，其参数方程为为参数，‎ 又因为点的坐标为，所以点的坐标为，即；‎ 点的坐标为，即． ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查点的坐标的求法，考查代数和的取值范围的求法，是基础题，解题时要注意公式参数方程和普通方程的互化和两点间距离公式、三角函数性质的合理运用．‎ ‎10．已知在直角坐标系中，直线的参数方程是（为参数），曲线的参数方程是（为参数），点.‎ ‎（Ⅰ）将曲线的方程化为普通方程，并指出曲线是哪一种曲线；‎ ‎（Ⅱ）直线与曲线交于点，当时，求直线的斜率..‎ ‎【答案】(Ⅰ)，圆;(Ⅱ)1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）消去参数可得曲线的普通方程是，曲线是圆.‎ ‎（Ⅱ）联立直线的参数方程与圆的普通方程，结合直线参数的几何意义计算可得直线的斜率为.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）参数方程化为普通方程可得曲线的普通方程是，曲线是圆.‎ ‎（Ⅱ）点满足：‎ 所以，即.‎ 因为，所以.‎ 从而.‎ 所以.‎ 据此可得直线的斜率为.‎ ‎【点睛】‎ 直角坐标方程转为极坐标方程的关键是利用公式 ‎，而极坐标方程转化为直角坐标方程的关键是利用公式，后者也可以把极坐标方程变形尽量产生，,以便转化.‎ ‎11．在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.‎ ‎（Ⅰ）求曲线的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）经过点作直线交曲线于两点，若恰好为线段的三等分点，求直线的普通方程.‎ ‎【答案】（1）曲线的普通方程为；（2）直线的普通方程为或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据三角函数平方关系消参数得曲线的普通方程；（2）先设直线的参数方程，代入圆方程，根据参数几何意义，列方程解得，最后根据点斜式得结果. ‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由曲线的参数方程，得（为参数）‎ 所以曲线的普通方程为. ‎ ‎【点睛】‎ 直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)‎ 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 ‎(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).‎ ‎(2)|M1M2|＝|t1－t2|.‎ ‎(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.‎ ‎(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.‎ ‎12．在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数)，以原点为极点，轴非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎(1)分别写出曲线的普通方程及曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)若点为曲线上的一动点，点为曲线上的一动点，求的最小值.‎ ‎【答案】⑴：；：；⑵‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用同角三角函数平方关系进行消参，求得曲线的普通方程，根据极坐标和直角坐标互化公式求解，即可得到曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）利用已知，曲线是以为圆心，半径为的圆，得到，借助于三角函数的取值情况进行求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 该题考查的是有关参数方程与极坐标的问题，涉及到的知识点有参数方程向普通方程的转化，极坐标方程向直角坐标方程的转化，以及有关距离的最值的求解问题，正确应用相关的公式是解题的关键.‎ ‎13．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在以直角坐标系的原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线极坐标方程为。‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，求弦长。‎ ‎【答案】⑴直线：，曲线：；⑵‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）两式相加消去参数，即可得直线的普通方程，利用即可得出曲线 直角坐标方程；（2）联立直线与圆的方程，求出交点坐标，利用两点间距离公式即可得结果. ‎ ‎【详解】‎ ‎（2）将直线方程与圆的方程联立解得或 即交点坐标为A，B，∴‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了把极坐标方程化为直角坐标方程、参数方程化为普通方程、直线与圆相交弦长问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎14．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅰ）求的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）求直线被截得的弦长．‎ ‎【答案】(1) 的参数方程为（为参数）;(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）根据圆的极坐标方程，先转化为圆的直角坐标方程；再根据参数方程与直角坐标的关系，求得圆的参数方程。‎ ‎（Ⅱ）将直线的参数方程化为直角坐标方程，利用点到直线距离与垂径定理求得弦长。‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）因为的极坐标方程为，‎ 所以的直角坐标方程为，即，‎ 所以的参数方程为（为参数）. ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的关系，点到直线距离与垂径定理的简单应用，属于中档题。‎ ‎15．已知直线的参数方程为（为参数），在平面直角坐标系中，以为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的方程为.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线只有一个公共点，求倾斜角的值.‎ ‎【答案】(1)；(2)或.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）极坐标方程化为直角坐标方程可得曲线的直角坐标方程为；‎ ‎（2）联立直线的参数方程与曲线的直角坐标方程可得，满足题意时，二次方程的判别式，据此计算可得直线的倾斜角或.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴，即，‎ 此即为曲线的直角坐标方程.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线的参数方程的应用，极坐标方程转换为直角坐标方程的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎16．在直角坐标系中，圆的参数方程为以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（1）求圆的普通方程；‎ ‎（2）直线的极坐标方程是，射线：与圆的交点为、，与直线的交点为,求线段的长.‎ ‎【答案】(1)；(2)1.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 参数方程化为普通方程可得圆的普通方程为.‎ 圆的极坐标方程得，联立极坐标方程可得，，结合极坐标的几何意义可得线段的长为1.‎ ‎【详解】‎ 圆的参数方程为 消去参数可得圆的普通方程为.‎ 化圆的普通方程为极坐标方程得，‎ 设,则由解得，，‎ 设,则由解得，，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查参数方程与普通方程的应用，极坐标的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎17．在极标坐系中，已知圆的圆心，半径 ‎（1）求圆的极坐标方程；‎ ‎（2）若，直线的参数方程为（t为参数），直线交圆于两点，求弦长的取值范围.‎ ‎【答案】（1）ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0（2）[2，2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）极坐标化为直角坐标可得C（1，1），则圆C的直角坐标方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=3．化为极坐标方程是ρ2﹣2ρ（cosθ+sinθ）﹣1=0 . ‎ ‎（2）联立直线的参数方程与圆的直角坐标方程可得t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．结合题意和直线参数的几何意义讨论可得弦长|AB|的取值范围是[2，2）.‎ ‎【详解】‎ ‎（2）将代入圆C的直角坐标方程（x﹣1）2+（y﹣1）2=3，‎ 得（1+tcosα）2+（1+tsinα）2=3，‎ 即t2+2t（cosα+sinα）﹣1=0．‎ ‎∴t1+t2=﹣2（cosα+sinα），t1•t2=﹣1．‎ ‎∴|AB|=|t1﹣t2|==2．‎ ‎∵α∈[0，），∴2α∈[0，），‎ ‎∴2≤|AB|＜2．‎ 即弦长|AB|的取值范围是[2，2）.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直角坐标方程与极坐标方程的互化，直线参数方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎18．已知平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数，0≤α＜π且），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．已知直线l与曲线C交于A、B两点，且．‎ ‎（1）求α的大小；‎ ‎（2）过A、B分别作l的垂线与x轴交于M，N两点，求|MN|．‎ ‎【答案】（1）；（2）4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化，再利用点到直线的距离公式求出结果．‎ ‎（2）直接利用关系式求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由已知直线l的参数方程为：（t为参数，0≤α＜π且），‎ 则：，‎ ‎∵，，‎ ‎∴O到直线l的距离为3，‎ 则，‎ 解之得．‎ ‎∵0＜α＜π且，‎ ‎∴‎ ‎（2）直接利用关系式，‎ 解得：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，点到直线的距离公式的应用．‎ ‎19．以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）．‎ ‎（1）求直线l和曲线的普通方程；‎ ‎（2）设直线l和曲线交于两点，求．‎ ‎【答案】（1）和；（2）1‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直线的极坐标方程为，利用互化公式，能求出直线的普通方程，曲线的参数方程利用代入法消去参数能求出曲线的普通方程；（2）点的直角坐标为，点在直线上，求出直线的参数方程，得到，由此利用韦达定理，结合直线参数方程的几何意义，能求出的值.‎ ‎【详解】‎ ‎（2）点的直角坐标为，点在直线l上，设直线的参数方程：（t为参数），‎ 对应的参数为． ‎ ‎ ‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化，属于简单题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程，只要将和换成和即可 ‎20．选修:坐标系与参数方程选讲 ‎ 在直角坐标系中,曲线:(为参数).以为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线的极坐标方程为().‎ ‎(Ⅰ) 求曲线的极坐标方程与直线的直角坐标方程；‎ ‎(Ⅱ) 若直线与,在第一象限分别交于,两点,为上的动点,求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)先求出曲线的普通方程,再把普通方程化为极坐标方程.再写出直线的直角坐标方程.( Ⅱ)先求出,再求出以为底边的的高的最大值为, ‎ 再求面积的最大值.‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)依题意得,曲线的普通方程为,‎ 曲线的极坐标方程为,‎ 直线的直角坐标方程为． ‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查参数方程、极坐标方程和直角坐标方程的互化，考查直线和圆的位置关系，考查面积的最值的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）本题的解题的关键是求出.‎ ‎21．极坐标与参数方程 已知曲线：（为参数），：（为参数）．‎ ‎（1）将、的方程化为普通方程；‎ ‎（2）若与交于M、N，与x轴交于P，求的最小值及相应的值．‎ ‎【答案】（1）x2+12y2=1,（2），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用sin2θ+cos2θ=1，即可将曲线化为普通方程；消去参数，即可得出的普通方程.‎ ‎（2）C2与x轴交于P，把C2的参数方程代入曲线化为普通方程，整理等关于t的一元二次方程，利用直线参数方程的几何意义，得|PM|•|PN|=﹣t1t2，进而求出最小值.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由曲线C1：（θ为参数），利用sin2θ+cos2θ==1，化为x2+12y2=1．‎ 由C2：（t为参数），消去参数t可得：．‎ ‎（2）C2与x轴交于P，‎ 把C2：（t为参数）．代入曲线C1可得：（2+22sin2α）t2+﹣1=0．‎ ‎∴|PM|•|PN|=﹣t1t2=≥，‎ ‎∴|PM|•|PN|的最小值，此时．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查参数方程化为普通方程，直线参数方程的几何意义的应用，考查了推理能力和计算能力.‎ ‎22．在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），直线的参数方程为（为参数）．‎ ‎（1）若直线与圆相交于，两点，求弦长,若点,求的值；‎ ‎（2）以该直角坐标系的原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，圆的极坐标方程为，圆和圆的交点为，，求弦所在直线的直角坐标方程．‎ ‎【答案】（1），16；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先把直线和圆的参数方程化成直角坐标方程再求弦长，利用直线参数方程t的几何意义求的值.(2)直接把两圆是方程相减即得直线PQ的方程.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由直线l的参数方程为（t为参数）消去参数t，可得，即直线l的普通方程为．‎ 圆的参数方程为（为参数），根据消去参数，可得，所以圆心O到直线l的距离，故弦长．‎ 把直线的参数方程代入圆的方程得 所以 .‎ ‎（2）圆C的极坐标方程为，利用，，，可得圆C的普通方程为．∵圆O方程为，‎ ‎∴弦PQ所在直线的直角坐标方程为，即．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)本题主要考查参数方程极坐标与直角坐标的互化，考查直线和圆的位置关系，考查圆中弦长的计算，考查直线的参数方程，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)利用直线的参数方程t的几何意义求值时，一定要把直线的参数方程化成标准的参数方程.‎ ‎23．[选修4—4：坐标系与参数方程] ‎ 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是 (t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，求直线l被圆C截得的弦长．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，消去参数即可得到直线的普通方程，利用极坐标与直角坐标的互化公式，即可得到曲线的极坐标方程，再利用圆的弦长公式，即可求解弦长.‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. ‎ ‎24．在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为，的参数方程为（为参数，）.‎ ‎（1）写出和的普通方程；‎ ‎（2）在上求点，使点到的距离最小，并求出最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）l的极坐标方程转化为ρcosθ+ρsinφ﹣10=0，由x=ρcosθ，y=ρsinθ．能求出l的普通方程；C的参数方程消去参数θ，能求出C的普通方程．‎ ‎（2）在C上取点M（3cosφ，2sinφ），利用点到直线的距离公式求出d=．由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线的普通方程和曲线的普通方程的求法，考查点到直线的最小距离的求法，考查参数方程、直角坐标方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．‎ ‎25．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线经过曲线的左焦点．‎ ‎（1）求的值及直线的普通方程；‎ ‎（2）设曲线的内接矩形的周长为，求的最大值．‎ ‎【答案】（1）见解析．（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将， 代入上式并化简得，所以，又直线的普通方程为，将焦点代入得得，所以直线的普通方程为；（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为，所以椭圆的内接矩形的周长为（其中），此时椭圆的内接矩形的周长取得最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为曲线的极坐标方程为，即，将， 代入上式并化简得，所以曲线的直角坐标方程为，于是， ，‎ 直线的普通方程为，将代入直线方程得，所以直线的普通方程为．　‎ ‎（2）设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点为（），所以椭圆的内接矩形的周长为（其中），此时椭圆的内接矩形的周长取得最大值．‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.‎ ‎26．[选修4－4：坐标系与参数方程] ‎ 已知曲线的极坐标方程是．以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数），直线与曲线相交于两点．‎ ‎（1）求的长；‎ ‎（2）求点到两点的距离之积．‎ ‎【答案】(1) .‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先求曲线C和直线l的直角坐标方程，再利用弦长公式求AB.(2)利用直线参数方程t的几何意义和韦达定理求点到两点的距离之积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得，所以， ‎ 即，所以曲线是以为圆心，为半径的圆．‎ 直线的普通方程为．‎ 所以圆心到直线的距离为，‎ 所以．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）本题主要考查极坐标参数方程和普通方程的互化，考查直线参数方程t的几何意义，意在考查学生对这些知识的掌握水平和计算能力.(2) 过定点、倾斜角为的直线的参数方程（为参数）.当动点在定点上方时,. 当动点在定点下方时,. 由直线参数方程中参数的几何意义得：如果求直线上两点间的距离,不管两点在哪里，总有.‎ ‎27．选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系，曲线 ，(为参数)在以原点为极点轴的正半轴为极轴的极坐标系中，圆的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的普通方程和圆的直角坐标方程 ‎(2)设曲线与圆E相交于两点，求的值.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用sin2α+cos2α=1可得曲线C的普通方程，利用及其ρ2=x2+y2即可得到圆的直角坐标方程；（2）联立曲线与圆E的普通方程可得两点坐标，从而得到的值.‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ ‎(2)联立 化简,得，‎ 解得或 (舍).‎ 当时，，‎ 设直线与轴交于点，数形结合，得，‎ 所以 ，‎ 故的值为.‎ ‎【点睛】‎ ‎(1)直角坐标方程化为极坐标方程，只要运用公式及直接代入并化简即可； (2)极坐标方程化为直角坐标方程时常通过变形，构造形如的形式，进行整体代换.其中方程的两边同乘以(或同除以) 及方程两边平方是常用的变形方法.但对方程进行变形时，方程必须同解，因此应注意对变形过程的检验.‎ ‎28．在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数），圆的参数方程为（为参数）．若直线分别与圆和圆交于不同于原点的点和．‎ ‎（1）以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，求圆和圆的极坐标方程；‎ ‎（2）求的面积．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先写出直角坐标方程，然后转化为极坐标方程可得圆的极坐标方程为，圆的极坐标方程为．‎ ‎（2）直线的极坐标方程为（），结合极坐标方程的几何意义计算可得的面积为．‎ ‎【详解】‎ ‎（2）直线的极坐标方程为（），‎ ‎∵直线与圆，交于不同于原点的点，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 又点到直线的距离为，‎ ‎∴，‎ ‎∴的面积为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查直线参数方程转化为极坐标方程的方法，直线极坐标方程的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎29．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为为参数以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．‎ 写出曲线C的极坐标方程；‎ 设点M的极坐标为，过点M的直线l与曲线C相交于A，B两点，若，求AB的弦长．‎ ‎【答案】（1）；（2）3‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将参数方程转化为直角坐标方程，然后转化为极坐标方程可得曲线C的极坐标方程为．‎ 设直线l的参数方程是(为参数，与圆的方程联立可得，结合题意和直线参数的几何意义可得弦长．‎ ‎【详解】‎ ‎ ‎ 设直线l的参数方程是(为参数，‎ 曲线C的直角坐标方程是，，‎ 联立，得，‎ ‎，且，，‎ 则，或，，‎ 的弦长．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查参数方程与极坐标方程的转化方法，直线参数方程的几何意义及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎