专题27 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

专题27 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题-2018年高考数学（理）热点题型和提分秘籍

‎【高频考点解读】‎ ‎1．会从实际情境中抽象出二元一次不等式组。‎ ‎2．了解二元一次不等式的几何意义，能用平面区域表示二元一次不等式组。‎ ‎3．会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题，并能加以解决。‎ ‎【热点题型】‎ 热点题型一 二元一次不等式(组)表示平面区域 例1、 (1)在平面直角坐标系xOy中，不等式组表示图形的面积等于(　　)‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎(2)已知不等式组表示的平面区域为D，若直线y＝kx＋1将区域D分成面积相等的两部分，则实数k的值是________。‎ 解析：(1)不等式组对应的平面区域如图，‎ 对应的区域为正方形ABCD，‎ 其中A(0,1)，D(1,0)，‎ 边长AD＝，‎ 则正方形的面积S＝×＝2，‎ 故选B。‎ ‎(2)区域D如图中的阴影部分所示，直线y＝kx＋1经过定点C(0,1)，如果其把区域D划分为面积相等的两个部分，则直线y＝kx＋1只要经过AB的中点即可。‎ ‎【提分秘籍】‎ 平面区域面积问题的解题思路 ‎(1)求平面区域的面积：‎ ‎①首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域；‎ ‎②对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形(如平行四边形或梯形)，可利用面积公式直接求解。若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可。‎ ‎(2)利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为(　　)‎ A．1　　　B．－‎1 C．0　　　D．－2‎ 解析：先作出不等式组 对应的平面区域，如图：‎ 热点题型二 求线性目标函数的最值 例2、【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】A ‎【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：‎ z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，‎ 由 解得A(−6,−3)，‎ 则z=2x+y的最小值是：−15.‎ 故选：A. ‎ ‎【变式探究】设x，y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值为(　　)‎ A．8 B．7 C．2 D．1‎ ‎【提分秘籍】 ‎ 利用可行域求线性目标函数最值的方法 首先利用约束条件作出可行域，根据目标函数找到最优解时的点，解得点的坐标代入求解即可。‎ ‎【举一反三】 ‎ 设x，y满足约束条件且z＝x＋ay的最小值为7，则a＝(　　)‎ A．－5 B．3 C．－5或3 D．5或－3‎ 答案：B 热点题型三 　线性目标函数的最优解问题 ‎ 例3．x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)‎ A.或－1 B．2或 C．2或1 D．2或－1‎ 解析：由线性约束条件可得其图象如图所示，由图象可知直线z＝y－ax经过AB或AC 时取得最大值的最优解不唯一，此时a＝2或－1。‎ ‎　　‎ ‎【提分秘籍】‎ 利用可行域及最优解求参数及其范围的方法 利用约束条件作出可行域，通过分析可行域及目标函数确定最优解的点，再利用已知可解参数的值或范围。‎ ‎【举一反三】 ‎ 若x，y满足约束条件且z＝kx＋y取得最小值时的点有无数个，则k＝(　　)‎ A．－1 B．2 C．－1或2 D．1或－2‎ 解析：作出不等式组对应的平面区域如图(阴影部分)。‎ 由z＝kx＋y，得y＝－kx＋z，‎ 若k＝0，此时y＝z，此时z只在B处取得最小值，不满足条件。‎ 若k>0，则目标函数的斜率－k<0。平移直线y＝－kx＋z，‎ 由图象可知当直线y＝－kx＋z和直线x＋y－1＝0平行时，此时目标函数取得最小值时最优解有无数多个。‎ 此时－k＝－1，即k＝1。‎ 热点题型四 求非线性目标函数的最值 例4、 (1)已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2时，a2＋b2的最小值为(　　)‎ A．5 B．4 C. D．2‎ ‎(2)已知实数x，y满足约束条件则w＝的最小值是(　　)‎ A．－2 B．2 C．－1 D．1‎ 解析：(1)不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(2,1)处取得最小值，故‎2a＋b＝2。‎ ‎(2)作出不等式组对应的平面区域如图：‎ ω＝的几何意义是区域内的点P(x，y)到定点A(0，－1)之间的斜率，由图象可知当P位于点D(1,0)时，直线AP的斜率最小，此时的最小值为＝1，故选D。‎ ‎【提分秘籍】‎ 利用可行域求非线性目标函数最值的方法 画出可行域，分析目标函数的几何意义是斜率问题还是距离问题，依据几何意义可求得最值。‎ ‎【举一反三】 ‎ 已知，则x2＋y2的最大值为________，最小值为________。‎ 解析：不等式组表示的平面区域为如图所示△ABC的内部(包括边界)，‎ 此时z＝x2＋y2＝(－1)2＋(－6)2＝37，‎ 由得C点坐标(－3,2)，‎ 此时z＝x2＋y2＝(－3)2＋22＝13，‎ 而在原点处， 此时z＝x2＋y2＝02＋02＝0，‎ 所以当时x2＋y2取得最大值37，‎ 当时x2＋y2取得最小值0。‎ 热点题型五 线性规划的实际应用 ‎ 例5、某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为(　　)‎ A．31 200元 B．36 000元 C．36 800元 D．38 400元 平移直线l：y＝－x到l0过点A(5,12)时，‎ zmin＝5×1 600＋2 400×12＝36 800.故选C。‎ ‎【提分秘籍】‎ 求解线性规划应用题的注意点 ‎(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件中是否能够取到等号。‎ ‎(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、非负数等。‎ ‎(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式。‎ ‎【举一反三】 ‎ 某公司生产甲、乙两种桶装产品。已知生产甲产品1桶需耗A原料‎1千克、B原料‎2千克；生产乙产品1桶需耗A原料‎2千克，B原料‎1千克。每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元。公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A、B原料都不超过12千克。通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是(　　)‎ A．1 800元 B．2 400元 C．2 800元 D．3 100元 ‎【高考风向标】‎ ‎ ‎ ‎1.【2017课标II，理5】设，满足约束条件，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎【答案】A ‎【解析】x、y满足约束条件的可行域如图：‎ z=2x+y经过可行域的A时，目标函数取得最小值，‎ 由 解得A(−6,−3)，‎ 则z=2x+y的最小值是：−15.‎ 故选：A.‎ ‎2.【2017天津，理2】设变量满足约束条件则目标函数的最大值为 ‎（A） （B）1（C） （D）3‎ ‎【答案】D ‎ ‎3.【2017山东，理4】已知x,y满足，则z=x+2y的最大值是 ‎（A）0 （B） 2 （C） 5 （D）6‎ ‎【答案】C ‎【解析】由画出可行域及直线如图所示，平移发现，‎ 当其经过直线与的交点时，最大为，选C.‎ ‎1.【2016高考浙江理数】在平面上，过点P作直线l的垂线所得的垂足称为点P在直线l 上的投影．由区域 ‎ 中的点在直线x+y2=0上的投影构成的线段记为AB，则│AB│=（ ）‎ A．2 B．‎4 ‎‎ C．3 D．‎ ‎【答案】C ‎2.【2016年高考北京理数】若，满足，则的最大值为（ ）‎ A.0 B.3 C.4 D.5‎ ‎【答案】C ‎3.【2016年高考四川理数】设p：实数x，y满足，q：实数x，y满足 则p是q的( )‎ ‎（A）必要不充分条件 （B）充分不必要条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】画出可行域（如图所示），可知命题中不等式组表示的平面区域在命题中不等式表示的圆盘内，故选A. ‎ ‎4.【2016高考新课标3理数】若满足约束条件 则的最大值为 ‎_____________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎5.【2016高考新课标1卷】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料．生产一件产品A需要甲材料1.5kg,乙材料1kg,用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg,乙材料0.3kg,用3个工时．生产一件产品A的利润为2100元,生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg,乙材料90kg,则在不超过600个工时的条件下,生产产品A、产品B的利润之和的最大值为 元．‎ ‎ 【答案】‎ ‎【解析】设生产产品、产品分别为、件,利润之和为元,那么 ‎ ①‎ 目标函数.‎ 二元一次不等式组①等价于 ‎ ②‎ 作出二元一次不等式组②表示的平面区域（如图）,即可行域.‎ ‎6.【2016高考江苏卷】 已知实数满足 ，则的取值范围是 ▲ .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图知原点到直线距离平方为最小值，为，原点到点距离平方为最大值，为，因此取值范围为 ‎1.【2015高考北京，理2】若，满足则的最大值为（ ）‎ A．0 B．1 C． D．2‎ ‎【答案】D ‎2．【2015高考广东，理6】若变量，满足约束条件则的最小值为（ ）‎ A． B. 6 C. D. 4‎ ‎【答案】C ‎ ‎【解析】不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，‎ 则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，‎ 此时z最小，‎ 由，解得，即A（1，），‎ 此时z=3×1+2×=，‎ 故选：B．‎ ‎3.【2015高考天津，理2】设变量 满足约束条件 ，则目标函数的最大值为( )‎ ‎（A）3 （B）4 （C）18 （D）40‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎4.【2015高考陕西，理10】某企业生产甲、乙两种产品均需用A，B两种原料．已知生产1吨每种产品需原料及每天原料的可用限额如表所示，如果生产1吨甲、乙产品可获利润分别为3万元、4万元，则该企业每天可获得最大利润为（ ）‎ A．12万元 B．16万元 C．17万元 D．18万元 甲 乙 原料限额 ‎（吨）‎ ‎（吨）‎ ‎【答案】D 当直线过点时，取得最大值，所以，故选D．‎ ‎5.【2015高考福建，理5】若变量 满足约束条件 则 的最小值等于 ( )‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎6.【2015高考山东，理6】已知满足约束条件，若的最大值为4，则 （ ）‎ ‎（A）3 （B）2 （C）-2 （D）-3‎ ‎【答案】B ‎【解析】不等式组 在直角坐标系中所表示的平面区域如下图中的阴影部分所示，‎ 若的最大值为4，则最优解可能为 或 ，经检验，是最优解，此时 ；不是最优解.故选B. ‎ ‎7.【2015高考新课标1，理15】若满足约束条件，则的最大值为 .‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A（1,3）与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.‎ ‎8.【2015高考浙江，理14】若实数满足，则的最小值是 ．‎ ‎【答案】.‎ ‎9．【2015高考新课标2，理14】若x，y满足约束条件，则的最大值为____________．‎ ‎【答案】‎ ‎【考点定位】线性规划．‎ ‎10.【2015高考湖南，理4】若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A.-7 B.-1 C.1 D.2‎ ‎【答案】A.‎ ‎【解析】如下图所示，画出线性约束条件所表示的区域，即可行域，作直线：，平移，从而可知当，时，的最小值是，故选A.‎ ‎ 11．（2014·安徽卷）x，y满足约束条件若z＝y－ax取得最大值的最优解不唯一，则实数a的值为(　　)‎ A.或－1 B．2或 ‎ C．2或1 D．2或－1‎ ‎【答案】D　‎ ‎【解析】‎ 方法二：画出可行域，如图中阴影部分所示，z＝y－ax可变为y＝ax＋z，令l0：y＝ax，则由题意知l0∥AB或l0∥AC，故a＝－1或a＝2.‎ ‎12．（2014·北京卷）若x，y满足 且z＝y－x的最小值为－4，则k的值为(　　)‎ A．2 B．－‎2 C. D．－ ‎13．（2014·福建卷）若变量x，y满足约束条件则z＝3x＋y的最小值为________．‎ ‎【答案】1　【解析】作出不等式组表示的平面区域(如图所示)，‎ 把z＝3x＋y变形为y＝－3x＋z，则当直线y＝3x＋z经过点(0，1)时，z最小，将点(0，1)代入z＝3x＋y，得zmin＝1，即z＝3x＋y的最小值为1. ‎ ‎14．（2014·广东卷）若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝(　　)‎ A．5 B．6 C．7 D．8‎ ‎【答案】B　‎ ‎【解析】本题考查运用线性规划知识求目标函数的最值，注意利用数形结合思想求解．画出不等式组表示的平面区域，如图所示．‎ 当目标函数线经过点A(－1，－1)时，z取得最小值；当目标函数线经过点B(2，－1)时，z取得最大值．故m＝3，n＝－3，所以m－n＝6.‎ ‎15．（2014·湖南卷）若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最小值为－6，则k＝________.‎ ‎16．（2014·全国卷）设x，y满足约束条件则z＝x＋4y的最大值为________．‎ ‎【答案】5　【解析】如图所示，满足约束条件的可行域为△ABC的内部(包括边界), z＝x＋4y的最大值即为直线y＝－x＋z的纵截距最大时z的值．结合题意，当y＝－x＋z经过点A时，z取得最大值．‎ 由可得点A的坐标为(1，1)，‎ 所以zmax＝1＋4＝5.‎ ‎17．（2014·新课标全国卷Ⅰ] 不等式组的解集记为D，有下面四个命题：‎ p1：∀(x，y)∈D，x＋2y≥－2，‎ p2：∃(x，y)∈D，x＋2y≥2，‎ p3：∀(x，y)∈D，x＋2y≤3，‎ p4：∃(x，y)∈D，x＋2y≤－1.‎ 其中的真命题是(　　)‎ A．p2，p3 B．p1，p2‎ C．p1，p4 D．p1，p3‎ ‎【答案】B　‎ ‎18．（2014·新课标全国卷Ⅱ] 设x，y满足约束条件则z＝2x－y的最大值为(　　)‎ A．10 B．‎8 C．3 D．2‎ ‎【答案】B　【解析】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分所示，根据目标函数的几何意义可知，目标函数在点A(5，2)处取得最大值，故目标函数的最大值为2×5－2＝8.‎ ‎19．（2014·山东卷）已知x，y满足约束条件当目标函数z＝ax＋by(a＞0，b＞0)在该约束条件下取到最小值2　时，a2＋b2的最小值为(　　)‎ A. 5 B. ‎4 C. D. 2‎ ‎【答案】B　‎ ‎20．（2014·陕西卷）在直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，点P(x，y)在△ABC三边围成的区域(含边界)上．‎ ‎(1)若＋＋＝0，求||；‎ ‎(2)设＝m＋n(m，n∈R)，用x，y表示m－n，并求m－n的最大值．‎ ‎【解析】解：(1)方法一：∵＋＋＝0，‎ 又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，‎ ‎(2)∵＝m＋n，‎ ‎∴(x，y)＝(m＋2n，‎2m＋n)，‎ ‎∴ 两式相减得，m－n＝y－x，‎ 令y－x＝t，由图知，当直线y＝x＋t过点B(2，3)时，t取得最大值1，故m－n的最大值为1.‎ ‎21．（2014·天津卷）设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝x＋2y的最小值为(　　)‎ A．2 B．‎3 C．4 D．5‎ ‎【答案】B　【解析】画出可行域，如图所示．解方程组得即点A(1，1)．‎ 当目标函数线过可行域内A点时，目标函数有最小值，即zmin＝1×1＋2×1＝3.‎ ‎22．（2014·浙江卷）当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．‎ ‎【答案】　‎ ‎【高考冲刺】‎ ‎1．若2m＋2n<4，则点(m，n)必在(　　)‎ A．直线x＋y－2＝0的左下方 B．直线x＋y－2＝0的右上方 C．直线x＋2y－2＝0的右上方 D．直线x＋2y－2＝0的左下方 解析：因为2m＋2n≥2·，‎ 所以4>2，即2m＋n<4，‎ 所以m＋n<2，即m＋n－2<0，‎ 所以点(m，n)必在直线x＋y－2＝0的左下方。‎ 答案：A ‎2．设变量x，y满足约束条件：则z＝x－3y的最小值为(　　)‎ A．－2 B．－4‎ C．－6 D．－8‎ 解析：根据题意，画出可行域与目标函数线如图所示，‎ 由图可知目标函数在点(－2,2)处取最小值－8。故选D。‎ 答案：D ‎3．若实数x，y满足，则S＝2x＋y－1的最大值为(　　)‎ A．6 B．4‎ C．3 D．2‎ 答案：A ‎4．设z＝x＋y，其中实数x，y满足若z的最大值为12，则z的最小值为(　　)‎ A．－3 B．－6‎ C．3 D．6‎ 解析：可行域如图：‎ 答案：B ‎5．变量x，y满足约束条件若使z＝ax＋y取得最大值的最优解有无数个，则实数a的取值集合是(　　)‎ A．{－3,0} B．{3，－1}‎ C．{0,1} D．{－3,0,1}‎ 解析：作出不等式组表示的区域如图所示。‎ 由z＝ax＋y得：y＝－ax＋z。当－a＞0时，平行直线的倾斜角为锐角，从第一个图可看出，a＝－1时，线段AC上的所有点都是最优解；当－a＜0时，平行直线的倾斜角为钝角，从第二个图可看出 ，当a＝3时，线段BC上的所有点都是最优解。故选B。‎ 答案：B ‎6．某运输公司有12名驾驶员和19名工人，有8辆载重量为10吨的甲型卡车和7辆载重量为6吨的乙型卡车。某天需送往A地至少72吨的货物，派用的每辆车需满载且只运送一次，派用的每辆甲型卡车需配2名工人，运送一次可得利润450元；派用的每辆乙型卡车需配1名工人，运送一次可得利润350元。该公司合理计划当天派用两类卡车的车辆数，可得最大利润z＝(　　)‎ A．4 650元 B．4 700元 C．4 900元 D．5 000元 解析：设派用甲型卡车x辆，乙型卡车y辆，则 ，目标函数z＝450x＋350y，‎ 画出可行域如图，当目标函数经过A(7,5)时，利润z最大，为4 900元。‎ 答案：C ‎7．设m>1，已知在约束条件下，目标函数z＝x2＋y2的最大值为，则实数m的值为________。‎ 答案：2＋ ‎8．已知实数x，y满足则目标函数z＝的最大值与最小值的和是________。‎ 解析：作出表示的可行域，如图。把z＝变形为z＝＝1＋，解得A，C(3,1)，最大值为zmax＝1＋＝6，最小值为zmin＝1＋＝3，所以最大值与最小值的和为9。‎ 答案：9‎ ‎9．已知x，y满足约束条件则x2＋4y2的最小值是________。‎ 答案： ‎10．画出不等式组表示的平面区域，并回答下列问题：‎ ‎(1)指出x，y的取值范围；‎ ‎(2)平面区域内有多少个整点？‎ 解析：(1)不等式x－y＋5≥0表示直线x－y＋5＝0上及其右下方的点的集合，x＋y≥0表示直线x＋y＝0上及其右上方的点的集合，x≤3表示直线x＝3上及其左方的点的集合。‎ 所以，不等式组表示的平面区域如图所示。‎ 结合图中可行域得x∈，y∈[－3,8]。‎ ‎11．某工厂生产甲、乙两种产品，其产量分别为45个和55个，所用原料为A，B两种规格金属板，每张面积分别为2 m2与3 m2。用A种规格金属板可造甲种产品3个，乙种产品5个；用B种规格金属板可造甲、乙两种产品各6个。问A，B两种规格金属板各取多少张才能完成计划，并使总的用料面积最省？‎ 解析：设A，B两种金属板各取x张、y张，用料面积为z，则约束条件为目标函数z＝2x＋3y。‎ 作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图所示。‎ z＝2x＋3y变成y＝－x＋，得斜率为－，在y轴上截距为，且随z变化的一组平行直线。‎ 当直线z＝2x＋3y过可行域上点M时，截距最小，z最小，‎ 解方程组得M点的坐标为(5,5)。‎ 此时zmin＝2×5＋3×5＝25(m2)。‎ 答：两种金属板各取5张时，用料面积最省。‎ ‎12．变量x，y满足 ‎(1)设z＝，求z的最小值；‎ ‎(2)设z＝x2＋y2，求z的取值范围；‎ ‎(3)设z＝x2＋y2＋6x－4y＋13，求z的取值范围。‎ 解析：由约束条件作出(x，y)的可行域如图阴影部分所示。‎ 由解得A。‎ 由解得C(1,1)。‎ 由解得B(5,2)。‎ ‎(1)∵z＝＝。‎ ‎∴z的值即是可行域中的点与原点O连线的斜率。观察图形可知zmin＝kOB＝。‎ ‎ ‎