数学文卷·2018届福建省厦门市高三下学期第一次质量检查（3月）（2018

数学文卷·2018届福建省厦门市高三下学期第一次质量检查（3月）（2018

福建省厦门市2018届高三下学期第一次质量检查（3月）‎ 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，则（ ）‎ A. B． C． D．‎ ‎2.已知为虚数单位，，若，则（ ）‎ A． B．0 C．2 D．4‎ ‎3.甲乙两名同学分别从“象棋”、“文学”、“摄影” 三个社团中随机选取一个社团加入，则这两名同学加入同一个社团的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4.已知双曲线的渐近线方程为，焦距为，则该双曲线的标准方程是（ ）‎ A． B． C．或 D．或 ‎5. 设满足约束条件则的最大值是（ ）‎ A． B．0 C．1 D．2‎ ‎6.把函数的图象向右平移个单位，再把所得图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象，则的一个可能值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.已知函数的图象如图所示，则该函数的解析式可能是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知，则的大小关系是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10.公元263年左右，我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法，所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率近似值的方法.如图是利用刘徽的割圆术”思想设汁的一个程序框图，若输出的值为24，则判断框中填入的条件可以为（ ）‎ ‎(参考数据：)‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎11．矩形中，，为中点，将沿所在直线翻折，在翻折过程中，给出下列结论：‎ ‎①存在某个位置，； ②存在某个位置，；‎ ‎③存在某个位置，； ④存在某个位置，.‎ 其中正确的是（ ）‎ A．①② B．③④ C．①③ D．②④‎ ‎12.的内角的对边分别为，若，则的最大值为（ ）‎ A． B． C．3 D．4‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知向量，若，则 ．‎ ‎14.已知，则 ．‎ ‎15.若函数在上单调递增，则的取值范围是 ．‎ ‎16.已知是圆上两点，点在抛物线上，当取得最大值时， ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知等差数列的前项和味，，.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）记数列求数的前项和.‎ ‎18. 为了解学生的课外阅读时间情况，某学校随机抽取了 50人进行统计分析，把这50人每天阅读的时间(单位:分钟)绘制成频数分布表，如下表所示：‎ 若把每天阅读时间在60分钟以上（含60分钟）的同学称为“阅读达人”，根据统计结果中男女生阅读达人的数据，制作出如图所示的等高条形图.‎ ‎（1）根据抽样结果估计该校学生的每天平均阅读时间（同一组数据用该区间的中点值作为代表）；‎ ‎（2）根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“阅读达人”跟性别有关？‎ 附：参考公式 ‎，其中.‎ 临界值表：‎ ‎ 19.如图，平面平面，四边形是菱形，,,‎ ‎.‎ ‎（1）求四棱锥的体积；‎ ‎（2）在上有一点，使得，求的值.‎ ‎20.设为坐标原点，椭圆的左焦点为，离心率为.直线与交于两点，的中点为，.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设点，求证:直线过定点，并求出定点的坐标.‎ ‎21.已知函数，其中为自然对数的底数.‎ ‎（1）当时，证明：；‎ ‎（2）讨论函数极值点的个数.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）若曲线上一点的极坐标为，且过点，求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设点，与的交点为，求的最大值.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）设关于的不等式的解集为，且，求的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:DBBCC 6-10:DAABC 11、12：CA 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）由条件可得：‎ 消去得：，解得或（舍），所以 所以.‎ ‎（2）由（1）得：‎ 所以数列的前项和为：‎ ‎18. 解：（1）该校学生的每天平均阅读时间为：‎ ‎（分）‎ ‎（2）由频数分布表得，“阅读达人”的人数是人，‎ 根据等高条形图列联表 ‎ ‎ 由于，故没有的把握认为“阅读达人”跟性别有关.‎ ‎19.解：（1）∵四边形是菱形，∴，‎ 又∵平面平面,平面平面,平面 ‎∴平面 在中,,设,计算得 在梯形中,‎ 梯形的面积 ‎∴四棱锥的体积为.‎ ‎（2）在平面内作,且,连接交于 则点满足,证明如下：‎ ‎∵,‎ ‎∴,且,且,∴四边形是平行四边形.‎ ‎∴‎ 又菱形中,,∴‎ ‎∴四边形是平行四边形 ∴,即.‎ ‎∵,∴,又,∴.‎ ‎ 20.解：（1）设椭圆的右焦点为，则为的中位线，‎ 所以，所以 因为，所以 所以，所以椭圆的方程为:‎ ‎（2）设 联立,消去整理得：‎ 所以，‎ 所以 因为 所以 所以 整理得： ‎ 解得：或（舍去） ‎ 所以直线过定点.‎ ‎21.解：（1）依题意，，故原不等式可化为，因为，只要证，‎ 记，则 当时，，单调递减；当时，，单调递增 所以，即，原不等式成立.‎ ‎（2）‎ 记 ‎（ⅰ）当时，，在上单调递增，，‎ 所以存在唯一，且当时，；当 ‎①若，即时，对任意，此时在上单调递增，无极值点 ‎②若，即时，此时当或时，.即在上单调递增；当时，，即在上单调递减；此时有一个极大值点和一个极小值点 ‎③若，即时，此时当或时，.即在上单调递增；当时，，即在上单调递减：此时有一个极大值点和一个极小值点.‎ ‎（ⅱ）当时，，所以，显然在单调递减；在上 单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点 ‎（ⅲ）当时，‎ 由（1）可知，对任意，从而 而对任意，所以对任意 此时令，得；令，得 所以在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点 ‎，无极大值点 ‎ ‎（ⅳ）当时，由（1）可知，对任意，当且仅当时取等号 ‎ 此时令，得；令得 所以在单调递减；在上单调递增；此时有一个极小值点，无极大值点 ‎ 综上可得：‎ ‎①当或时，有两个极值点；‎ ‎②当时，无极值点；‎ ‎③当时，有一个极值点. ‎ ‎22.（1）把代入曲线可得 ‎ 化为直角坐标为，‎ 又过点，得直线的普通方程为；‎ 可化为. ‎ 由可得，‎ 即曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）把直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，，‎ 化简得，① ‎ ‎ ‎ 可得，故与同号 ‎，‎ 所以时，有最大值.‎ 此时方程①的，故有最大值. ‎ ‎23.（1）当时，，.‎ 即或或 ‎ 解得 或 或，所以或 或.‎ 所以原不等式的解集为.‎ ‎（2）因为，‎ 所以当时，不等式恒成立，‎ 即在上恒成立，‎ ‎①当时，，即，‎ 所以，所以在上恒成立，‎ 所以，即；‎ ‎②当时，，即，即，‎ 所以在上恒成立，‎ 所以，即；‎ 综上，的取值范围为.‎