专题3-2+导数在研究函数中的应用（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测

专题3-2+导数在研究函数中的应用（讲）-2018年高考数学（理）一轮复习讲练测

‎2018年高考数学讲练测【新课标版理】【讲】第三章 导数 第02节 导数在研究函数中的应用 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 ‎5年统计 分析预测 ‎1.导数在研究函数中的应用 ‎①了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（对多项式函数一般不超过三次）。‎ ‎②了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（对多项式函数一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（对多项式函数一般不超过三次）。‎ ‎2013·新课标I.16，21;新课标II.10，21;‎ ‎2014•新课标I.11， 21;新课标II. 8,21; ‎ ‎2015•新课标I. II.12,21;‎ ‎2016•新课标I. 7，21;II.16,21;III.15,21;‎ ‎2017•新课标I.21；II. III.11,21.‎ ‎1.以研究函数的单调性、单调区间、极值（最值）等问题为主，与不等式、函数与方程、函数的图象相结合； ‎ ‎2.单独考查利用导数研究函数的某一性质以小题呈现，综合研究函数的性质以大题呈现；‎ ‎3.适度关注生活中的优化问题.‎ ‎3.备考重点：‎ ‎ (1) 熟练掌握导数公式及导数的四则运算法则是基础；‎ ‎(2)‎ ‎ 熟练掌握利用导数研究函数的单调性、极值（最值）的基本方法，灵活运用数形结合思想、分类讨论思想、函数方程思想等，分析问题解决问题.‎ ‎2.生活中的优化问题 会利用导数解决某些实际问题。‎ 近5年无.‎ ‎【知识清单】‎ ‎1．利用导数研究函数的单调性 在内可导函数，在任意子区间内都不恒等于0.‎ 在上为增函数．‎ 在上为减函数．‎ 对点练习：‎ ‎【2016北京理数】设函数，曲线在点处的切线方程为，‎ ‎（1）求，的值； ‎ ‎（2）求的单调区间.‎ ‎【答案】（Ⅰ），；（2）的单调递增区间为.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）因为，所以.‎ 依题设，即 解得；（2）由（Ⅰ）知.‎ 由即知，与同号.‎ 令，则.‎ 所以，当时，，在区间上单调递减；‎ 当时，，在区间上单调递增.‎ 故是在区间上的最小值，‎ 从而.‎ 综上可知，，，故的单调递增区间为.‎ ‎2．函数的极值 ‎ (1)函数的极小值：‎ 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．‎ ‎(2)函数的极大值：‎ 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．‎ 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．‎ 对点练习：‎ ‎【2017课标II，理11】若是函数的极值点，则的极小值为（ ）‎ A. B. C. D.1‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎3．函数的最值 ‎ (1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．‎ ‎(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．‎ 对点练习：‎ ‎【2017北京，理19】已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）求函数在区间上的最大值和最小值． 【答案】(Ⅰ)；（Ⅱ）最大值1；最小值.‎ ‎【解析】‎ 所以函数在区间上单调递减.‎ 因此在区间上的最大值为，最小值为.‎ ‎【考点深度剖析】‎ 导数是研究函数性质的重要工具，它的突出作用是用于研究函数的单调性、极值与最值、函数的零点等．从题型看，往往有一道选择题或填空题，有一道解答题.其中解答题难度较大，常与不等式、方程等结合考查．‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1 确定函数的单调性或求函数的单调区间 ‎【1-1】【2017山西五校联考】已知函数与的图象如下图所示，则函数的递减区间为（ ）‎ A． B．， C． D．，‎ ‎【答案】B ‎【1-2】2017·深圳模拟】已知函数f(x)＝x2－2aln x＋(a－2)x，当a<0时，讨论函数f(x)的单调性．‎ ‎【答案】当a＝－2时，f(x)在(0，＋∞)上单调递增；当－22时，f′(x)>0；－a2，即a<－2时，‎ ‎∵0－a时，f′(x)>0；20得x>2.故选D.‎ ‎【变式二】已知函数.‎ ‎(1)若曲线与曲线在它们的交点(1，c)处具有公共切线，求a，b的值；‎ ‎(2)当时，求函数的单调区间．‎ ‎【答案】（1）（2）单调递增区间是单调递减区间为.‎ ‎【解析】‎ ‎ (1)f′(x)＝2ax，g′(x)＝3x2＋b，‎ 由已知可得解得 ‎(2)令 令得 由得，或；‎ 由得，‎ ‎∴单调递增区间是单调递减区间为.‎ ‎【综合点评】解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，否则，写出的单调区间易出错；另外，函数的单调区间不能出现“并”的错误写法.‎ 考点2 已知函数的单调性求参数的范围 ‎【2-1】已知函数在上是减函数，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 由题意得，，因为函数在上是减函数，所以在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，又因为，当且仅当是取等号，所以，故选C．‎ ‎【2-2】若在(1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是(　　)‎ A．[－1，＋∞) B．(－1，＋∞)‎ C．(－∞，－1] D．(－∞，－1)‎ ‎【答案】C ‎【领悟技法】‎ 已知函数单调性，求参数范围的两个方法：‎ ‎(1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集．‎ ‎(2)转化为不等式的恒成立问题：即“若函数单调递增，则f′(x)≥0；若函数单调递减，则f′(x)≤0”来求解．‎ 提醒：f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上f′(x)≠0.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】已知向量，，若函数在区间(－1,1)上存在增区间，则t的取值范围为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】 ，函数在⊆(－1,1)上单调递增，‎ 故时恒成立，又，故.‎ ‎【变式二】已知函数，（其中）.‎ ‎（1）求的单调区间；‎ ‎（2）若函数在区间上为增函数，求的取值范围；‎ ‎【答案】（1）单调增区间为，单调减区间为.（2）.‎ ‎（2），则，由题意可知在上恒成立，即在上恒成立，因函数开口向上，且对称轴为，故在上单调递增，因此只需使，解得；‎ 易知当时，且不恒为0. ‎ 故.‎ 考点3 应用导数研究函数的极（最）值问题 ‎【3-1】【2017河北武邑三调】已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的极值；‎ ‎（2）当时，求函数的单调增区间.‎ ‎【答案】（1）极小值为，无极大值；（2）当时，增区间，当时，增区间，当时，增区间.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）函数的定义域为，令 ，得(舍去). 然后列表可求得：函数的极小值为，无极大值；（2）令，得,然后利用分类讨论思想对分三种情况进行讨论.‎ 试题解析： （1） 函数的定义域为，令 ，得(舍去). 当变化时，的取值情况如下:‎ 减 极小值 增 所以，函数的极小值为，无极大值.‎ ‎（2）,令，得,当时，，函数的在定义域单调递增; 当时，在区间上单调递增; 当时，在区间上单调递增.‎ ‎【3-2】【2016新课标2理数】(Ⅰ)讨论函数的单调性，并证明当时，； ‎ ‎(Ⅱ)证明：当时，函数有最小值.设的最小值为，求函数的值域．‎ ‎【答案】（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）先求定义域，用导数法求函数的单调性，当时，证明结论；（Ⅱ）用导数法求函数的最值，在构造新函数，又用导数法求解.‎ ‎（II）‎ 由（I）知，单调递增，对任意 因此，存在唯一使得即，‎ 当时，单调递减；‎ 当时，单调递增.‎ 因此在处取得最小值，最小值为 于是，由单调递增 所以，由得 因为单调递增，对任意存在唯一的 使得所以的值域是 综上，当时，有，的值域是 ‎【领悟技法】‎ ‎1.求函数f(x)极值的步骤：‎ ‎(1)确定函数的定义域；‎ ‎(2)求导数f′(x)；‎ ‎(3)解方程f′(x)＝0，求出函数定义域内的所有根；‎ ‎(4)列表检验f′(x)在f′(x)＝0的根x0左右两侧值的符号，如果左正右负，那么f(x)在x0处取极大值，如果左负右正，那么f(x)在x0处取极小值．‎ ‎2. 求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤 ‎(1)求函数在(a，b)内的极值；‎ ‎(2)求函数在区间端点的函数值f(a)，f(b)；‎ ‎(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】已知等比数列的前项的和为，则的极大值为（ ）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【变式二】已知函数,若是的一个极大值点,则实数的取值范围为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因,即,由题设条件及导函数的图象可以推知方程的两根在的两边,即,也即 ‎,所以.‎ ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：已知函数f(x)＝(x－k)ex.‎ ‎(1)求f(x)的单调区间；‎ ‎(2)求f(x)在区间[0,1]上的最小值．‎ 易错分析：解答本题时，易于忽视对k－1不同取值情况的讨论，而错误得到f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k-1)．‎ 正确解析： (1)f′(x)＝(x－k＋1)ex.‎ 令f′(x)＝0，得x＝k－1.‎ f(x)与f′(x)的情况如下：‎ x ‎(－∞，k－1)‎ k－1‎ ‎(k－1，＋∞)‎ f′(x)‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ f(x)‎   所以，f(x)的单调递减区间是(－∞，k－1)；单调递增区间是(k－1，＋∞)．‎ ‎(2)当k－1≤0，即k≤1时，函数f(x)在[0,1]上单调递增，‎ 所以f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)＝－k；‎ 当0

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