数学文·福建省福州市闽侯三中2017届高三上学期期中数学试卷（文科） Word版含解析

数学文·福建省福州市闽侯三中2017届高三上学期期中数学试卷（文科） Word版含解析

‎2016-2017学年福建省福州市闽侯三中高三（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题35，满分58分）‎ ‎1．定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，则N﹣M=（　　）‎ A．M B．N C．{1，4，5} D．{6}‎ ‎2．函数f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域为（　　）‎ A．（0，+∞） B．（1，9] C．（0，1） D．[9，+∞）‎ ‎3．已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=3，则动点P的轨迹是（　　）‎ A．双曲线 B．双曲线左边一支 C．双曲线右边一支 D．一条射线 ‎4．已知球的表面积为4π，则球的内接正方体的边长的长为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎5．设{an}是正项等比数列，且a5a6=10，则lga1+lga2+…+lga9+lga10=（　　）‎ A．5 B．1+lg5 C．2 D．10‎ ‎6．已知|=2，||=1，，则与的夹角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎7．给出下列四个命题：‎ ‎①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；‎ ‎②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；‎ ‎③如果平面外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α；‎ ‎④一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等；‎ 其中真命题的为（　　）‎ A．①③ B．②④ C．②③ D．③④‎ ‎8．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+4y的最大值是（　　）‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎9．6名志愿者选4人去“”鸟巢”和“水立方”实地培训，每处2人，其中乙不能去“水立方”，则选派方法有（　　）‎ A．60 B．70 C．80 D．90‎ ‎10．在△ABC中，“”，是“△ABC为锐角三角形”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎11．已知函数f（x）=2sinxcos|x|（x∈R），则下列叙述错误的是（　　）‎ A．f（x）的最大值是1‎ B．f（x）是奇函数 C．f（x）在[0，1]上是增函数 D．f（x）是以π为最小正周期的函数 ‎12．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根，当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，给出下列命题：‎ ‎①f（x）﹣4=0和f'（x）=0有一个相同的实根；‎ ‎②f（x）=0和f'（x）=0有一个相同的实根；‎ ‎③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根；‎ ‎④f（x）+5=0的任一实根小于于f（x）﹣2=0的任一实根；‎ 其中正确命题的个数为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是　　．‎ ‎14．（2x+1）8展开式中的中间项系数为　　．‎ ‎15．过点P（3，0）的直线l交圆C：x2+y2﹣4x=0于A，B两点，C为圆心，则的最小值为　　．‎ ‎16．定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合（x，y）|⊆A，则称A为一个开集．给出下列集合：‎ ‎①{（x，y）|x2+y2=1}； ②{（x，y）|x+y+2＞0}；‎ ‎③{（x，y）||x+y|≤6}； ④．‎ 其中不是开集的是　　．（请写出所有符合条件的序号）‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知f（x）=sin2x．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调增区间；‎ ‎（2）求函数f（x）的图象在y轴右边的第一个对称中心的坐标．‎ ‎18．某车间某两天内，每天都生产n件产品，其中第一天生产了1件次品，第二天生产了2件次品，质检部每天要从生产的产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．已知第一天通过检查的概率为．‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）求两天都通过检查的概率；‎ ‎（3）求两天中至少有一天通过检查的概率．‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，O为棱AD的中点．‎ ‎（1）求证：PO⊥平面ABCD；‎ ‎（2）求二面角A﹣PD﹣B的大小；‎ ‎（3）求C点到平面PDB的距离．‎ ‎20．已知数列{an}满足an=2an﹣1+2n﹣1（n∈N*，n≥2）且a1=5．‎ ‎（1）求a2，a3的值；‎ ‎（2）若数列为等差数列，请求出实数λ；‎ ‎（3）求数列{an}的通项公式及前n项和为Sn．‎ ‎21．设函数y=f（x）的定义域D，若对任意x1，x2∈D，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，则称函数y=f（x）为“storm”函数．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+1的图象为曲线C，直线y=kx﹣1与曲线C相切于（1，﹣10）．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）设0＜m≤2，若对x∈[m﹣2，m]，函数g（x）=为“storm”函数，求实数m的最小值．‎ ‎22．已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？‎ ‎（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年福建省福州市闽侯三中高三（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（共12小题，每小题35，满分58分）‎ ‎1．定义A﹣B={x|x∈A且x∉B}，若M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，则N﹣M=（　　）‎ A．M B．N C．{1，4，5} D．{6}‎ ‎【考点】集合的含义．‎ ‎【分析】利用新定义，欲求集合N﹣M，即找属于N但不属于M的元素组成的集合，由已知集合M，N可得．‎ ‎【解答】解；∵A﹣B={x|x∈A且x∉B}，∴N﹣M={x|x∈N且x∉M}，‎ 又∵M={1，2，3，4，5}，N={2，3，6}，‎ ‎∴N﹣M={6）‎ 故选D ‎　‎ ‎2．函数f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域为（　　）‎ A．（0，+∞） B．（1，9] C．（0，1） D．[9，+∞）‎ ‎【考点】反函数．‎ ‎【分析】利用反函数的定义域就是原函数的值域，转化为求原函数的值域，再利用单调性求出原函数的值域．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=3x（0＜x≤2）的反函数的定义域就是函数f（x）=3x（0＜x≤2）的值域，‎ 由函数f（x）在其定义域内是单调增函数得 1＜f（x）≤9，‎ 故选 B．‎ ‎　‎ ‎3．已知M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=3，则动点P的轨迹是（　　）‎ A．双曲线 B．双曲线左边一支 C．双曲线右边一支 D．一条射线 ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】根据题意可得PM|﹣|PN|＜|MN|，利用双曲线的定义，即可得到动点P的轨迹为以M，N 为焦点的双曲线的右支．‎ ‎【解答】解：∵M（﹣2，0），N（2，0），|PM|﹣|PN|=3‎ ‎∴|PM|﹣|PN|＜|MN|‎ ‎∴动点P的轨迹为以M，N 为焦点的双曲线的右支．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．已知球的表面积为4π，则球的内接正方体的边长的长为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；棱柱、棱锥、棱台的体积．‎ ‎【分析】设正方体的棱长为x，利用球的内接正方体的对角线即为球的直径、球的表面积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设正方体的棱长为x，则π=4π，‎ 解得x=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．设{an}是正项等比数列，且a5a6=10，则lga1+lga2+…+lga9+lga10=（　　）‎ A．5 B．1+lg5 C．2 D．10‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】利用等比数列以及对数运算法则化简求解即可．‎ ‎【解答】解：{an}是正项等比数列，且a5a6=10，则lga1+lga2+…+lga9+lga10=lg（a1•a2•…•a9•a10）=lg（a5a6）5=5．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．已知|=2，||=1，，则与的夹角为（　　）‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎【考点】数量积表示两个向量的夹角．‎ ‎【分析】根据平面向量的数量积与夹角公式，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：|=2，||=1，，‎ ‎∴•﹣=0，‎ 即2×1×cosθ﹣12=0，‎ 解得cosθ=，‎ 又θ∈[0°，180°]，‎ ‎∴与的夹角为60°．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．给出下列四个命题：‎ ‎①如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线与这个平面垂直；‎ ‎②过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直；‎ ‎③如果平面外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α；‎ ‎④一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等；‎ 其中真命题的为（　　）‎ A．①③ B．②④ C．②③ D．③④‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．‎ ‎【分析】对于①，如果一条直线垂直于一个平面内的任意直线，那么这条直线与这个平面垂直，故错；‎ 对于②，因为垂直同一平面的两直线平行，所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；‎ 对于③，根据线面平行的判定定理，如果平面外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α，故正确；‎ 对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等或互补，故错；‎ ‎【解答】解：对于①，如果一条直线垂直于一个平面内的任意直线，那么这条直线与这个平面垂直，故错误；‎ 对于②，因为垂直同一平面的两直线平行，所以过空间一定点有且只有一条直线与已知平面垂直，故正确；‎ 对于③，根据线面平行的判定定理，如果平面外一条直线a与平面α内一条直线b平行，那么a∥α，故正确；‎ 对于④，一个二面角的两个半平面分别垂直于另一个二面角的两个半平面，则这两个二面角相等或互补，故错误；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+4y的最大值是（　　）‎ A．11 B．12 C．13 D．14‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义，利用数形结合即可得到结论．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=2x+4y得y=﹣x+，‎ 平移直线y=﹣x+，由图象可知当直线y=﹣x+经过点A时，‎ 直线y=﹣x+的截距最大，此时z最大，‎ 由，解得，‎ 即A（），‎ 此时z=2×=5+6=11，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．6名志愿者选4人去“”鸟巢”和“水立方”实地培训，每处2人，其中乙不能去“水立方”，则选派方法有（　　）‎ A．60 B．70 C．80 D．90‎ ‎【考点】排列、组合的实际应用．‎ ‎【分析】根据题意可考虑利用分类计数原理分为：①乙没选中，②乙被选中2类考虑进行求解．‎ ‎【解答】解：若乙没选中，则此时的安排方法有C52C32种，‎ 若乙被选中，则此时的安排方法有C51C42种，‎ 则所有安排方法有方法有C52C32+C51C42=60‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．在△ABC中，“”，是“△ABC为锐角三角形”的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】平面向量数量积的运算；必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】在△ABC中，“”⇔C为锐角，根据充要条件的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，‎ ‎∵“”⇔⇔cosC＞0⇔C为锐角，‎ 故，“”，是“△ABC为锐角三角形”的必要不充分条件，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）=2sinxcos|x|（x∈R），则下列叙述错误的是（　　）‎ A．f（x）的最大值是1‎ B．f（x）是奇函数 C．f（x）在[0，1]上是增函数 D．f（x）是以π为最小正周期的函数 ‎【考点】三角函数的最值．‎ ‎【分析】由三角函数的倍角公式及诱导公式化简已知函数，再由y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质逐一核对四个选项得答案．‎ ‎【解答】解：f（x）=2sinxcos|x|=2sinxcosx=sin2x，‎ ‎∴f（x）max=1，故A正确；‎ f（x）的定义域为R，且f（﹣x）=sin（﹣2x）=﹣sin2x=﹣f（x），函数为减函数，故B正确；‎ 当0≤x≤1时，0≤2x≤2，f（x）先增后减，故C错误；‎ 由周期公式可得T=，故D正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．设f（x）=x3+bx2+cx+d，又k是一个常数，已知k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根，当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，给出下列命题：‎ ‎①f（x）﹣4=0和f'（x）=0有一个相同的实根；‎ ‎②f（x）=0和f'（x）=0有一个相同的实根；‎ ‎③f（x）+3=0的任一实根大于f（x）﹣1=0的任一实根；‎ ‎④f（x）+5=0的任一实根小于于f（x）﹣2=0的任一实根；‎ 其中正确命题的个数为（　　）‎ A．3 B．2 C．1 D．0‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用；函数的零点与方程根的关系．‎ ‎【分析】由已知中f（x）=x3+bx2+cx+d，当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，故函数即为极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0，分析出函数简单的图象和性质后，逐一分析四个结论的正误，即可得到答案．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=x3+bx2+cx+d，‎ 当k＜0或k＞4时，f（x）﹣k=0只有一个实根；‎ 当0＜k＜4时，f（x）﹣k=0有三个相异实根，‎ 故函数即有极大值，又有极小值，且极大值为4，极小值为0‎ 故f（x）﹣4=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极大值点，故（1）正确；‎ f（x）=0与f'（x）=0有一个相同的实根，即极小值点，故（2）正确；‎ f（x）+3=0有一实根且小于函数最小的零点，f（x）﹣1=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（3）错误；‎ f（x）+5=0有一实根且小于函数最小的零点，f（x）﹣2=0有三个实根均大于函数最小的零点，故（4）正确；‎ 故选：A．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎13．为了解一片经济林的生长情况，随机测量了其中100株树木的底部周长（单位：cm）．根据所得数据画出样本的频率分布直方图（如右），那么在这100株树木中，底部周长小于110cm的株数是　70　．‎ ‎【考点】频率分布直方图．‎ ‎【分析】在频率分布表中，频数的和等于样本容量，频率的和等于1，每一小组的频率等于这一组的频数除以样本容量．频率分布直方图中，小矩形的面积等于这一组的频率．底部周长小于110cm的矩形的面积求和乘以样本容量即可．‎ ‎【解答】解：70由图可知：底部周长小于110cm的株树为：100×（0.01×10+0.02×10+0.04×10）=70，‎ 故答案为70．‎ ‎　‎ ‎14．（2x+1）8展开式中的中间项系数为　1120　．‎ ‎【考点】二项式定理的应用．‎ ‎【分析】由题意可得它的中间为第5项，再利用二项展开式的通项公式，求得中间项系数．‎ ‎【解答】解：（2x+1）8展开式中共有9项，故它的中间为第5项，‎ 即T5=•（2x）4，故中间项系数为=1120，‎ 故答案为：1120．‎ ‎　‎ ‎15．过点P（3，0）的直线l交圆C：x2+y2﹣4x=0于A，B两点，C为圆心，则的最小值为　﹣4　．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】设∠ACB=θ，则由数量积的定义可得=||||cosθ=4cosθ，故而当θ=180°时取得最小值．‎ ‎【解答】解：圆C的标准方程为（x﹣2）2+y2=4，‎ ‎∴圆C的半径为2，即||=||=2，‎ 设∠ACB=θ，则=2×2×cosθ=4cosθ，‎ ‎∴当θ=180°时，取得最小值﹣4．‎ 故答案为﹣4．‎ ‎　‎ ‎16．定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合（x，y）|⊆A，则称A为一个开集．给出下列集合：‎ ‎①{（x，y）|x2+y2=1}； ②{（x，y）|x+y+2＞0}；‎ ‎③{（x，y）||x+y|≤6}； ④．‎ 其中不是开集的是　①③　．（请写出所有符合条件的序号）‎ ‎【考点】集合的包含关系判断及应用．‎ ‎【分析】根据新定义进行计算后判断，弄清开集的定义是解决本题的关键．即所选的集合需要满足存在以该集合内任意点为圆心，任意正实数为半径的圆内部分均在该集合内．初步确定该集合不含边界 ‎【解答】解：对于①：A={（x，y）|x2+y2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足B={（x，y）|＜r}⊆A，‎ 故①不是开集．‎ 对于②：A={（x，y）|x+y+2＞0}平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到直线的距离为d，取r=d，则满足B={（x，y）|＜r}⊆A，‎ 故②是开集；‎ 对于③：A={（x，y）||x+y|≤6}，在曲线|x+y|=6任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足B={（x，y）|＜r}⊆A，‎ 故该集合不是开集；‎ ‎ 对于④：A=表示以点（0，）为圆心，1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足B={（x，y）|＜r}⊆A，‎ 故该集合是开集；‎ 故答案为：①③．‎ ‎　‎ 三、解答题 ‎17．已知f（x）=sin2x．‎ ‎（1）求函数f（x）的单调增区间；‎ ‎（2）求函数f（x）的图象在y轴右边的第一个对称中心的坐标．‎ ‎【考点】正弦函数的单调性；正弦函数的奇偶性．‎ ‎【分析】（1）将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，然后内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；‎ ‎（2）根据正弦函数的图象及性质，令，求解对称坐标方程，根据k的取值，可得y轴右边的第一个对称中心的坐标．‎ ‎【解答】解：函数f（x）=sin2x．‎ 化简可得： ==sin（2x）‎ ‎∵2x∈[，]是单调增区间，即，‎ 可得：，‎ 解得：，‎ ‎∴函数的单调增区间为．‎ ‎（2）由（1）可得f（x）=sin（2x），‎ ‎∵，k∈Z，‎ 化简得，k∈Z，‎ 故得：，k∈Z，‎ 当k=1时，，‎ ‎∴函数在y轴右边的第一个对称中心的坐标为．‎ ‎　‎ ‎18．某车间某两天内，每天都生产n件产品，其中第一天生产了1件次品，第二天生产了2件次品，质检部每天要从生产的产品中随意抽取4件进行检查，若发现有次品，则当天的产品不能通过．已知第一天通过检查的概率为．‎ ‎（1）求n的值；‎ ‎（2）求两天都通过检查的概率；‎ ‎（3）求两天中至少有一天通过检查的概率．‎ ‎【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．‎ ‎【分析】（1）依题意得：，由此能求出n的值．‎ ‎（2）记事件A为：两天通过检查，事件A1为第一天通过检查，事件A2为第二天通过检查，A=A1A2，由此利用相互独立事件概率乘法公式能求出两天都通过检查的概率．‎ ‎（3）利用对立事件概率计算公式能求出两天中至少有一天通过检查的概率．‎ ‎【解答】解：（1）依题意得：，‎ 解得n=10．‎ ‎（2）记事件A为：两天通过检查，事件A1为第一天通过检查，事件A2为第二天通过检查，‎ 第二天通过检查的概率，‎ 记事件A为：两天通过检查，事件A1为第一天通过检查，事件A2为第二天通过检查，‎ ‎∴两天都通过检查的概率．‎ ‎（3）两天中至少有一天通过检查的概率为：‎ ‎．‎ ‎　‎ ‎19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，且平面PAD⊥平面ABCD，O为棱AD的中点．‎ ‎（1）求证：PO⊥平面ABCD；‎ ‎（2）求二面角A﹣PD﹣B的大小；‎ ‎（3）求C点到平面PDB的距离．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；点、线、面间的距离计算．‎ ‎【分析】（1）推导出PO⊥AD，由此能证明PO⊥平面ABCD．‎ ‎（2）以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣PD﹣B的大小．‎ ‎（3）求出C（﹣1，2，0），=（﹣1，2，﹣），利用向量法能求出C点到平面PDB的距离．‎ ‎【解答】证明：（1）∵侧面PAD是正三角形，O为棱AD的中点，‎ ‎∴PO⊥AD，‎ ‎∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD，‎ ‎∴PO⊥平面ABCD．‎ 解：（2）∵PO⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD是正三角形，‎ ‎∴以O为原点，OA为x轴，过O作AB的平行线为y轴，OP为z轴，建立空间直角坐标系，‎ 则A（1，0，0），P（0，0，），B（1，2，0），D（﹣1，0，0），‎ ‎=（1，0，﹣），=（1，2，﹣），=（﹣1，0，﹣），‎ 设平面PAB的法向量=（x，y，z），‎ 则，取z=，得=（3，0，），‎ 设平面PBD的法向量=（a，b，c），‎ 则，取c=，得=（﹣3，3，），‎ 设二面角A﹣PD﹣B的平面角为θ，‎ 则cosθ===．‎ ‎∴．‎ ‎∴二面角A﹣PD﹣B的大小为arccos．‎ ‎（3）C（﹣1，2，0），=（﹣1，2，﹣），‎ ‎∴C点到平面PDB的距离d===．‎ ‎　‎ ‎20．已知数列{an}满足an=2an﹣1+2n﹣1（n∈N*，n≥2）且a1=5．‎ ‎（1）求a2，a3的值；‎ ‎（2）若数列为等差数列，请求出实数λ；‎ ‎（3）求数列{an}的通项公式及前n项和为Sn．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【分析】（1）直接由数列递推式结合数列首项求得a2，a3的值；‎ ‎（2）由数列为等差数列可得，求解可得λ；‎ ‎（3）由（2）求得数列的通项公式，进一步可得数列{an}的通项公式，再由错位相减法求和．‎ ‎【解答】解：（1）∵，‎ ‎∴a1=5，，得a2=13，，得a3=33；‎ ‎（2）∵为等差数列，∴，‎ 即，得λ=32﹣33=﹣1；‎ ‎（3）由（2）得，‎ ‎∴d=1，则，‎ ‎∴，‎ 令，‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎21．设函数y=f（x）的定义域D，若对任意x1，x2∈D，都有|f（x1）﹣f（x2）|≤1，则称函数y=f（x）为“storm”函数．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+1的图象为曲线C，直线y=kx﹣1与曲线C相切于（1，﹣10）．‎ ‎（1）求f（x）的解析式；‎ ‎（2）设0＜m≤2，若对x∈[m﹣2，m]，函数g（x）=为“storm”函数，求实数m的最小值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）求出函数的导数，求出k的值，得到关于b，c的方程，求出函数的解析式即可；‎ ‎（2）问题等价于f（x）max﹣f（x）min≤16m，根据函数的单调性分别求出f（x）的最大值和f（x）的最小值，从而得到关于m的不等式，解出即可．‎ ‎【解答】解：（1）f'（x）=3x2+2bx+c，‎ 又∵（1，﹣10）在直线y=kx﹣1上，∴k=﹣9，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴f（x）=x3﹣12x2+1，‎ ‎（2）已知条件等价于在[m﹣2，m]上，f（x）max﹣f（x）min≤16m．‎ ‎∵f（x）在[﹣2，2]上为减函数，且0＜m≤2，∴[m﹣2，m]⊂[﹣2，2]，‎ ‎∴f（x）在[m﹣2，m]上为减函数，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ 得m≤﹣2或，又0＜m≤2，‎ ‎∴．‎ ‎　‎ ‎22．已知点是离心率为的椭圆C：上的一点．斜率为的直线BD交椭圆C于B、D两点，且A、B、D三点不重合．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）△ABD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？‎ ‎（Ⅲ）求证：直线AB、AD的斜率之和为定值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由，，能导出椭圆C的方程．‎ ‎（Ⅱ）设直线BD的方程为， ，△=﹣8b2+64＞0，设d为点A到直线BD：的距离，由，故，由此知当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为．‎ ‎（Ⅲ）设D（x1，y1），B（x2，y2），直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，则kAD+kAB==，由此能导出即kAD+kAB=0．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵，，a2=b2+c2‎ ‎∴a=2，，，∴．‎ ‎（Ⅱ）设直线BD的方程为，∴，∴△=﹣8b2+64＞0，①，‎ ‎②‎ ‎∵，‎ 设d为点A到直线BD：的距离，∴，‎ ‎∴，‎ 当且仅当b=±2时取等号．‎ 因为±2，所以当b=±2时，△ABD的面积最大，最大值为 ‎（Ⅲ）设D（x1，y1），B（x2，y2），‎ 直线AB、AD的斜率分别为：kAB、kAD，‎ 则kAD+kAB==，*‎ 将（Ⅱ）中①、②式代入*式整理得=0，‎ 即kAD+kAB=0‎ ‎　‎ ‎2016年12月16日