数学卷·2018届上海市杨浦区高三上学期期末质量调研（2018

数学卷·2018届上海市杨浦区高三上学期期末质量调研（2018

上海市杨浦区2018届高三上期末（一模）‎ 数学试卷 ‎2017.12‎ 一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分）‎ ‎1. 计算的结果是 ‎ ‎2. 已知集合，，若，则实数 ‎ ‎3. 已知，则 ‎ ‎4. 若行列式，则 ‎ ‎5. 已知一个关于、的二元一次方程组的增广矩阵是，则 ‎ ‎6. 在的二项展开式中，常数项的值为 ‎ ‎7. 若将一颗质地均匀的骰子（一种各面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具），‎ 先后抛掷2次，则出现向上的点数之和为4的概率是 ‎ ‎8. 数列的前项和为，若点（）在函数的反函数的图像上，则 ‎ ‎9. 在中，若、、成等比数列，则角的最大值为 ‎ ‎10. 抛物线的焦点与双曲线的左焦点重合，则这条双曲线的两条渐近 线的夹角为 ‎ ‎11. 已知函数，，设，若函数 为奇函数，则的值为 ‎ ‎12. 已知点、是椭圆上的两个动点，且点，若，则实 数的取值范围为 ‎ 二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）‎ ‎13. 在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎14. 给出下列函数：①；②；③；④.‎ 其中图像关于轴对称的函数的序号是（ ）‎ ‎ A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ②④‎ ‎15. “”是“函数在内存在零点”的（ ）‎ ‎ A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既非充分也非必要条件 ‎16. 设、、、是半径为1的球面上的四个不同点，且满足，，，用、、分别表示、、的面积，则的最大值是（ ）‎ ‎ A. B. 2 C. 4 D. 8‎ 三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）‎ ‎17. 如图所示，用总长为定值的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.‎ ‎（1）设场地面积为，垂直于墙的边长为，试用解析 式将表示成的函数，并确定这个函数的定义域；‎ ‎（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？‎ ‎18. 如图，已知圆锥的侧面积为，底面半径和互相垂直，且，是母线的中点.‎ ‎（1）求圆锥的体积；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的大小. ‎ ‎（结果用反三角函数值表示）‎ ‎19. 已知函数的定义域为集合，集合，且.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：函数是奇函数但不是偶函数.‎ ‎20. 设直线与抛物线相交于不同两点、，为坐标原点.‎ ‎（1）求抛物线的焦点到准线的距离；‎ ‎（2）若直线又与圆相切于点，且为线段的中点，求直线的方程；‎ ‎（3）若，点在线段上，满足，求点的轨迹方程.‎ ‎21. 若数列：，，，（）中（）且对任意的，恒成立，则称数列为“数列”.‎ ‎（1）若数列1，，，7为“数列”，写出所有可能的、；‎ ‎（2）若“数列” ：，，，中，，，求的最大值；‎ ‎（3）设为给定的偶数，对所有可能的“数列”：，，，，记，其中表示，，，这s个数中最大的数，求的最小值.‎ 参考答案 一. 填空题 ‎1. 3 2. 3. 2 4. 6 5. ‎ ‎6. 7. 1 8. 9. 10. ‎ ‎11. 12. ‎ 二. 选择题 ‎13. C 14. B 15. A 16. B 三. 解答题 ‎17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 解：（1）设平行于墙的边长为，‎ 则篱笆总长，‎ 即， ……2分 所以场地面积， （定义域2分） ……6分 ‎（2）， ……8分 所以当且仅当时， ……12分 综上，当场地垂直于墙的边长为时，最大面积为 ……14分 ‎18．（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）‎ 解1：‎ ‎（1）由题意，得， ……2分 ‎ 故 ……4分 ‎ 从而体积. ……7分 ‎（2）如图，取中点，联结. 由是的中点知，则（或其补角）就是异面直线与所成角. ……10分 由平面平面.‎ 在中，由得；……11分 在中，，，……12分 则，‎ 所以异面直线与所成角的大小 …14分 ‎(其他方法参考给分)‎ ‎19．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）‎ 解：（1）令，解得，所以， ……3分 因为，所以，解得，即实数的取值范围是 ……6分 ‎（2）函数的定义域，定义域关于原点对称 ……8分 ‎ ……12分 而，，所以 ……13分 所以函数是奇函数但不是偶函数. ……14分 ‎20．（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）‎ 解：（1）抛物线的焦点到准线的距离为2 ……4分 ‎（2）设直线 当时，和符合题意 ……5分 当时，、的坐标满足方程组，‎ 所以的两根为、。‎ ‎，，所以，‎ 所以线段的中点 ……7分 因为，，所以，得 所以，得 因为，所以（舍去） ‎ 综上所述，直线的方程为：， ……9分 ‎（3）设直线，‎ ‎、的坐标满足方程组，‎ 所以的两根为、‎ ‎，，‎ 所以，得或 ……12分 时，直线AB过原点，所以； ……13分 时，直线AB过定点 ‎ 设，因为，‎ 所以（）， ……15分 综上，点的轨迹方程为 ……16分 ‎21．（本题满分18分，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分9分）‎ 解：（1）x=1时，，所以y=2或3；‎ x=2时，，所以y=4；时，无整数解 所以所有可能的x，y为，或 …… 3分 ‎（2）的最大值为，理由如下 …… 4分 一方面，注意到：‎ 对任意的，令，则且（），故对任意的恒成立． （★）‎ 当，时，注意到，得 ‎（）‎ 即，此时 ‎ （★★）‎ 即，解得：，故 …… 7分 另一方面，为使（**）取到等号，所以取（），则对任意的，‎ ‎，故数列为“数列”，‎ 此时由（★★）式得，‎ 所以，即符合题意． 综上，的最大值为65． ……… 9分 ‎（3）的最小值为，证明如下： ……… 10分 当（，）时，‎ 一方面：由（★）式，，‎ ‎．此时有：‎ 即 故 因为，所以………… 15分 另一方面，当，，…，，，，‎ 时，‎ 取，则，，，且 此时．‎ 综上，的最小值为． ……18分