专题6-4+数列求和（讲）-2018年高考数学（文）一轮复习讲练测

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全品教学网2018年高考数学讲练测【新课标版文】【讲】【来.源：全,品…中&高*考*网】第六章 数列 第04节 数列求和 ‎【考纲解读】‎ 考　点 考纲内容 五年统计 分析预测 数列求和及其应用 ‎1.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.‎ ‎2.了解等差数列与一次函数、等比数列与指数函数的关系.‎ ‎2017课标Ⅲ,文17【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎2014课标Ⅰ,文17‎ ‎2013课标Ⅱ,文17‎ ‎2013课标Ⅰ,文17【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎1.高频考向:根据数列的递推式或者通项公式选择合适的方法求和.‎ ‎2.低频考向:数列与函数相结合.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ ‎3.特别关注:‎ 数列求和与不等式证明、不等式恒成立相结合求解参数的范围问题.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 与数列相关的综合问题 ‎2016课标Ⅱ,文17‎ ‎【知识清单】‎ 一．数列求和 ‎1. 等差数列的前和的求和公式：.‎ ‎2．等比数列前项和公式 一般地，设等比数列的前项和是，当时，或；当时，（错位相减法）.‎ ‎3. 数列前项和 ‎①重要公式：（1） ‎ ‎（2）‎ ‎（3） ‎ ‎（4） ‎ ‎②等差数列中，；‎ ‎③等比数列中，.‎ 对点练习：‎ 1. 在数列中，，若的前项和为，则项数为_______.‎ ‎【答案】2015‎ ‎【解析】由已知得，，所以，‎ 而已知，所以，解得. ‎ ‎2.【2016北京文15】已知是等差数列，是等比数列，且，，，.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）设 ，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2）由（1）知，，.因此.‎ 从而数列的前项和 ‎.‎ ‎【考点深度剖析】‎ 数列求和是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，以解答题为主，难度中等或稍难，数列求和问题为先导，在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题综合.‎ ‎【重点难点突破】‎ ‎ 考点1 数列求和 ‎【1-1】【河南省林州市第一中学2018届高三10月调研】数列中，已知对任意正整数，有，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【1-2】【河南省中原名校2018届高三第三次质量考评试卷】设为等差数列的前项和，已知， ．　‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）令， ，若对一切成立，求实数的最小值．‎ ‎【答案】（1）（）；（2）5．‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等差数列的通项公式，前n项和公式，列方程组求解即可；（2）采用裂项相消的方法求和，分析单调性即可求参数的范围.‎ 试题解析：（1）∵等差数列中， ， ，‎ ‎∴解得 ‎∴ ，‎ ‎∴（）．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵随着增大而增大，‎ ‎∴是递增数列，又，∴，‎ ‎∴，∴实数的最小值为5．‎ ‎【1-3】【改编自2014高考全国1第17题】已知是递增的等差数列，，是方程的根，则数列的前项和 .‎ ‎【答案】‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1．公式法：如果一个数列是等差、等比数列或者是可以转化为等差、等比数列的数列，我们可以运用等差、等比数列的前项和的公式来求和.对于一些特殊的数列（正整数数列、正整数的平方和立方数列等）也可以直接使用公式求和.‎ ‎2．倒序相加法：类似于等差数列的前项和的公式的推导方法，如果一个数列的前项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前项和即可用倒序相加法，如等差数列的前项和公式即是用此法推导的．‎ ‎3．错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的．‎ 若，其中是等差数列，是公比为等比数列，令 ‎ ，则两式错位相减并整理即得.‎ ‎4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，即数列的每一项都可按此法拆成两项之差，在求和时一些正负项相互抵消，于是前项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法.适用于类似（其中是各项不为零的等差数列，为常数）的数列、部分无理数列等.用裂项相消法求和，需要掌握一些常见的裂项方法： ‎ ‎（1），特别地当时，；‎ ‎（2），特别地当时，；‎ ‎（3）‎ ‎（4）‎ ‎（5）‎ ‎5．分组转化求和法：有一类数列，它既不是等差数列，也不是等比数列，但是数列是等差数列或等比数列或常见特殊数列，则可以将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比数列或常见的特殊数列，然后分别求和，再将其合并即可.‎ ‎6．并项求和法：一个数列的前项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如类型，可采用两项合并求解．例如，.‎ ‎7.‎ ‎ 在利用裂项相消法求和时应注意：(1)在把通项裂开后，是否恰好等于相应的两项之差；(2)在正负项抵消后，是否只剩下了第一项和最后一项，或有时前面剩下两项，后面也剩下两项．‎ 对于不能由等差数列、等比数列的前n项和公式直接求和的问题，一般需要将数列通项的结构进行合理的拆分，转化成若干个等差数列、等比数列的求和．‎ 应用公式法求和时，要保证公式使用的正确性，尤其要区分好等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式．‎ 使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ 用错位相减法求和时，应注意(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“”与“”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“”的表达式．‎ ‎8. [易错提示]　利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面：‎ ‎(1)裂项过程中易忽视常数，如容易误裂为，漏掉前面的系数；‎ ‎(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误．‎ 应用错位相减法求和时需注意：‎ ‎①给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论；‎ ‎②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【江西省赣州市崇义中学2018届高三上学期第二次月考】已知数列的前项和为， ， ．等 差数列中， ，且公差．‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）是否存在正整数，使得?．若存在，求出的最小值；若 ‎ 不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）， ；（2）4．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由可得， 两式相减得， ，数列是以为首项， 为公比的等比数列，从而可得数列的通项公式，利用等差数列的定义可得的通项公式；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求出，利用错位相减法可得数列的前项和，解不等式即可得结果.‎ 试题解析：（Ⅰ） ， 当时， 两式相减得， ，又， 数列是以为首项， 为公比的等比数列， ，又， .‎ ‎（Ⅱ）,令 ①‎ 则 ②‎ ‎①-②得： ， ，即， ， 的最小正整数为.‎ ‎【变式二】【湖南省益阳市、湘潭市2018届高三9月调研考试数学（文）】已知为数列的前项和，若且.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项之和.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 数列前项之和为．‎ ‎【解析】试题分析：（1）由可得数列是首项为，公比为的等比数列，然后 根据数列的通项与前项和之间的关系，即可求数列的通项公式；（2）根据（1）求出的通项公式，利用裂项相消法即可求数列的前项和.‎ 考点2 数列综合 ‎【2-1】【安徽省六安市第一中学2018届高三上学期第二次月考】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（参考数据：）（ ）‎ A. 2021年 B. 2020年 C. 2019年 D. 2018年 ‎【答案】C ‎【解析】设第年开始超过万元，则，化为，，取，因此开始超过万元的年份是年，故选C.‎ ‎【2-2】已知，已知数列满足，且，则( )‎ A．有最大值6030 B . 有最小值6030 C.有最大值6027 D . 有最小值6027‎ ‎【答案】A ‎ ‎【2-3】【河南省师范大学附属中学2018届高三8月开学考试】设数列的前项和为， ， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正整数，使得？若存在，求出值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）根据求解； （Ⅱ）先求得，然后求得的表达式，从而根据条件等式求得的值．‎ 试题解析：（Ⅰ） ‎ 所以时， ‎ 两式相减得: ‎ 即，也即，所以为公差为的等差数列，‎ 所以 ‎（Ⅱ），‎ 所以，‎ 所以 所以，所以 即当时， ‎ ‎【领悟技法】‎ ‎1. 数列与不等式的综合问题是近年来的高考热门问题，与不等式相关的大多是数列的前n项和问题，对于这种问题，在解答时需要利用化归的思想将问题转化为我们较熟悉的问题来解决，要掌握常见的解决不等式的方法，以便更好地解决问题． ‎ 数列与不等式的结合，一般有两类题：一是利用基本不等式求解数列中的最值；二是与数列中的求和问题相联系，证明不等式或求解参数的取值范围，此类问题通常是抓住数列通项公式的特征，多采用先求和后利用放缩法或数列的单调性证明不等式，求解参数的取值范围．‎ 以数列为背景的不等式恒成立问题，或不等式的证明问题，多与数列求和相联系，最后利用函数的单调性求解，或利用放缩法证明.‎ 解决数列和式与不等式证明问题的关键是求和，特别是既不是等差、等比数列，也不是等差乘等比的数列求和，要利用不等式的放缩法，放缩为等比数列求和、错位相减法求和、裂项相消法求和，最终归结为有限项的数式大小比较．‎ 数列与不等式综合的问题是常见题型，常见的证明不等式的方法有：①作差法；②作商法；③综合法；④分析法；⑤放缩法.‎ ‎2. 数列与解析几何交汇问题主要是解析几何中的点列问题，关键是充分利用解析几何的有关性质、公式，建立数列的递推关系式，然后借助数列的知识加以解决．‎ ‎3. 处理探索性问题的一般方法是：假设题中的数学对象存在或结论成立或其中的一部分结论成立，然后在这个前提下进行逻辑推理．若由此导出矛盾，则否定假设，否则，给出肯定结论，其中反证法在解题中起着重要的作用．还可以根据已知条件建立恒等式，利用等式恒成立的条件求解．‎ ‎4. 解答数列综合问题要善于综合运用函数方程思想、化归转化思想等数学思想以及特例分析法，一般递推法，数列求和及求通项等方法来分析、解决问题．数列与解析几何的综合问题解决的策略往往是把综合问题分解成几部分，先利用解析几何的知识以及数形结合得到数列的通项公式，然后再利用数列知识和方法求解．‎ ‎5.数列是一种特殊的函数，故数列有着许多函数的性质．等差数列和等比数列是两种最基本、最常见的数列，它们是研究数列性质的基础，它们与函数、方程、不等式、三角等内容有着广泛的联系，等差数列和等比数列在实际生活中也有着广泛的应用，随着高考对能力要求的进一步增加，这一部分内容也将受到越来越多的关注．‎ ，解决此类问题时要注意把握以下两点：‎ ‎(1)正确审题，深抠函数的性质与数列的定义；‎ ‎(2)明确等差、等比数列的通项、求和公式的特征．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】【河南省林州市第一中学2018届高三8月调研考试数学（文）】已知数列满足： ，令，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】15‎ ‎【变式二】【湖北省部分重点中学2018届高三7月联考数学（文）】设数列的前项和为，且，则___________.‎ ‎【答案】‎ 三、易错试题常警惕 易错典例：已知等差数列{an}的前3项和为6，前8项和为－4.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝(4－an)qn－1(q≠0，n∈N*)，求数列{bn}的前n项和Sn.‎ 易错分析：未对q＝1或q≠1分别讨论，相减后项数、符号均出现了错误．‎ 错解：(1)由已知得 即 解得a1＝3，d＝－1，∴an＝4－n.‎ ‎(2)由(1)知bn＝n·qn－1，‎ ‎∴Sn＝1＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1，‎ qSn＝1·q＋2·q2＋3·q3＋…＋n·qn，‎ 两式相减得：(1－q)Sn＝1＋q＋q2＋…＋qn－1＋n·qn ‎＝＋n·qn.∴.‎ 正确解析：(1)设{an}的公差为d，则由已知得 即 解得a1＝3，d＝－1，故an＝3－(n－1)＝4－n.‎ ‎(2)由(1)知，bn＝n·qn－1，‎ 于是Sn＝1·q0＋2·q1＋3·q2＋…＋n·qn－1，‎ 若q≠1，上式两边同乘以q.‎ qSn＝1·q1＋2·q2＋…＋(n－1)·qn－1＋n·qn，‎ 两式相减得：(1－q)Sn＝1＋q1＋q2＋…＋qn－1－n·qn ‎＝－n·qn.‎ ‎∴.‎ 若q＝1，则，‎ ‎∴‎ 温馨提醒：错位相减法适合于一个由等差数列{an}及一个等比数列{bn}对应项之积组成的数列．考生在解决这类问题时，都知道利用错位相减法求解，也都能写出此题的解题过程，但由于步骤繁琐、计算量大导致了漏项或添项以及符号出错等．因此利用错位相减法求解时，两边乘公比后，对应项的幂指数会发生变化，应将相同幂指数的项对齐，这样有一个式子前面空出一项，另外一个式子后面就会多了一项，两项相减，除第一项和最后一项外，剩下的n－1项是一个等比数列．‎ 四、学科素养提升之思想方法篇 求数列的前n项和 求数列{|an|}的前n项和一般步骤如下：‎ 第1步：求数列{an}的前n项和；‎ 第2步：令an≤0(或an≥0)确定分类标准；‎ 第3步：分两类分别求出前n项和；‎ 第4步：利用分段函数的形式表示结论；‎ 第5步：反思回顾，查看{|an|}的前n项和与{an}的前n项和的关系，以防求错结论．‎ ‎【典例】【2018届安徽池州开学考试】在公差为的等差数列中，已知，且成等比数列.‎ （1） 求；‎ （1） 若，求 ‎【答案】（1）或.所以或；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎（2）设数列的前项和为.‎ 因为，由（1）得，，所以当时，‎ ‎；当时，.‎ 综上所述， ‎ ‎ ‎