甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高二上学期第二次学段期中考试数学（理）试题 含解析

甘肃省天水市第一中学2019-2020学年高二上学期第二次学段期中考试数学（理）试题 含解析

天水一中 2018 级 2019—2020 学年度高二第一学期第二阶 段考试试题 数学（理科） 一、选择题 1.在等比数列 中， ， ， ，则 等于() A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 直接利用等比数列公式计算得到答案. 【详解】 故选 C 【点睛】本题考查了等比数列的计算，属于简单题. 2.若 ，则下列不等式中一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 结合不等式，指数函数以及对数函数的性质判断即可得出答案. 【详解】对 A，当 时， ，故 A 错误； 对 B，当 时， ，则 ，故 B 错误; 对 C，因为 在 上是增函数， ，所以 ，故 C 正确； 对 D，当 时， ，故 D 错误； 故选 C. { }na 1 1a = 2q = 16na = n 3 4 5 6 1 1 1 2 16, 5n n na a q n− −= = = = a b> 1b a < 1 1 a b < 2 2a b> lg( ) 0a b− > 1, 2a b= − = − 2 2 11 b a −= = >− 1, 1a b= = − ,1 11 1a b = = − 1 1 a b > 2xy = R a b> 2 2a b> 1 1,2 2a b= = − lg( ) lg1 0a b− = = 【点睛】本题主要考查了不等式的性质，判断不等式的恒成立问题，可以通过举反例，从而 得到不等式成立或不成立. 3.已知实数 满足 ，则 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合数形结合即可得到结论． 【详解】由线性约束条件作出可行域，如下图三角形 阴影部分区域（含边界），令 ， 直 线 ： ， 平 移 直 线 ， 当 过 点 时 取 得 最 大 值 ，当过点 时取得最小值 ，所以 的取 值范围是 . 【点睛】本题主要考查线性规划的应用．本题先正确的作出不等式组表示的平面区域，再结 合目标函数的几何意义进行解答是解决本题的关键． 4.已知椭圆 分别过点 和 ，则该椭圆的焦距为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由题意可得 a2＝4，b2＝1，利用隐含条件求得 c，则 2c 即为所求． ,x y 2 0 5 0 3 7 0 x y x y x y − ≤  + − ≤  + − ≥ 3z x y= − + [ ]5,11 [ ]1,13 [ ]5,13 [ ]1,11 ABC 3 0z x y= − + = 0l 3 0x y− + = 0l (1,4)A 1 3 4 11z = − + × = (2,1)B 2 3 1 1z = − + × = 3z x y= − + [1,11] 2 2 2 2 1x y a b + = ( )0a b> > ( )2,0A ( )0, 1B − 3 2 3 5 2 5 【详解】由题意可得 ， ，所以 a2＝4，b2＝1， 所以 ，从而 . 故选 B 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用，是基础 题． 5.《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，书中有这样一道题：“今有大夫、不 更、簪褭、上造、公士，凡五人，共猎得五鹿．欲以爵次分之，问各得几何?”其译文是“现 有从高到低依次为大夫、不更、簪褭、上造、公士的五个不同爵次的官员，共猎得五只鹿， 要按爵次高低分配（即根据爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列），问各得多少鹿?” 已知上造分得 只鹿，则大夫所得鹿数为（ ） A. 只 B. 只 C. 只 D. 只 【答案】B 【解析】 【分析】 将爵次从高到低分配的猎物数设为等差数列 ，可知 ， ，从而求得等差数 列的公差，根据等差数列通项公式可求得首项，即为所求结果. 【详解】设爵次高低分配得到的猎物数依次成等差数列 ,则 又 ，即大夫所得鹿数为 只 本题正确选项： 【点睛】本题考查等差数列基本量的计算，涉及到等差数列性质和通项公式的应用，属于基 础题. 6.“ ”是“ ”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件 【答案】B 【解析】 2a = 1b = 4 1 3c = − = 2 2 3c = 2 3 1 5 3 4 3 2 { }na 4 2 3a = 5 5S = { }na 4 2 3a = 5 1 2 3 4 5 35 5S a a a a a a= + + + + = = 3 1a∴ = 4 3 1 3d a a∴ = − = − 1 3 52 3a a d∴ = − = 5 3 B tan 1x = − ( )24x k k π π= − + ∈Z 【分析】 解方程 ，得出 的值，然后根据集合的包含关系可判断出“ ”是 “ ”的必要非充分条件关系. 【详解】解方程 ，得 ， 因此，“ ”是“ ”的必要非充分条件. 故选 B. 【点睛】本题考查必要不充分条件的判断，一般转化为两集合的包含关系来进行判断，也可 以根据两条件的逻辑性关系进行判断，考查推理能力，属于基础题. 7.已知向量 ， 且 ，若实数 x，y 均为正数，则 最小值是 （ ） A. 10 B. 13 C. 16 D. 19 【答案】C 【解析】 【分析】 根据两个向量共线可得 ,再将 化为 后,用基 本不等式可求得. 【详解】因为 ,所以 , 所以 , 因为 , 所以 , 当且仅当 时等号成立. 故选 . 【点睛】本题考查了向量共线的坐标表示以及基本不等式求最小值.属于中档题.解题关键是 tan 1x = − x tan 1x = − ( )24x k k π π= − + ∈Z tan 1x = − ( ) 4x k k Z π π= − + ∈ tan 1x = − ( )24x k k π π= − + ∈Z ( )1,3a = ( ),1b x y= − a b∥ 3 1 x y + 3 1x y+ = 3 1 x y + 3 1( )(3 )x yx y + + 3 310 y x x y = + + / /a b 1 (1 ) 3 0y x× − − = 3 1x y+ = 0, 0x y> > 3 1 x y + 3 1( )(3 )x yx y = + + 3 310 y x x y = + + 3 310 2 y x x y ≥ + ⋅ 16= 1 4x y= = C 这一步的变形. 8.若双曲线 E： 的左、右焦点分别为 ，点 是双曲线上的一点，且 则 （ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】 求得双曲线的 ，由双曲线的定义可得 ，代入已知条件解方程即 可得到所求值． 【详解】解：双曲线 E： 可得 ， 由双曲线的定义可得 ， 由 ，可得 ， 解得 （−2 舍去）． 故选 B． 【点睛】本题考查双曲线的定义和方程，考查定义法的运用，以及运算能力，属于基础 题． 9. 为坐标原点， 为抛物线 的焦点， 为 上一点，若 ，则 的面积为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由抛物线的标准方程 可得抛物线的焦点坐标和准线方程,设出 ,由 PF=4 以 及抛物线的定义列式可得 ,即 ,再代入抛物线方程可得点 P 的纵坐标,再由 3 1( )(3 )x yx y + + 3 310 y x x y = + + 2 2 14 9 x y− = 1 2,F F P 1 2,PF = 2PF = 2a = 1 2 2 4PF PF a− = = 2 2 14 9 x y− = 2a = 1 2 2 4PF PF a− = = 1 2=PF 2| 2 | || 4PF− = 2 6PF = O F 2: 4C y x= P C 4PF = POF 2 3 2 3 2 4y x= ( , )P x y ( 1) 4x − − = 3x = 三角形的面积公式 可得. 【详解】由 可得抛物线的焦点 F(1,0),准线方程为 , 如图:过点 P 作准线 的垂线,垂足为 ,根据抛物线的定义可知 PM=PF=4, 设 ,则 ,解得 ,将 代入 可得 , 所以△ 的面积为 = . 故选 B. 【点睛】本题考查了抛物线 几何性质,定义以及三角形的面积公式,关键是①利用抛物线的 定义求 P 点的坐标;②利用 OF 为三角形的底,点 P 的纵坐标的绝对值为高计算三角形的面 积.属中档题. 10.如图，平行六面体 中， 与 交于点 ，设 ，则 （ ） 的 1 | |2S y OF= 2 4y x= 1x = − 1x = − M ( , )P x y ( 1) 4x − − = 3x = 3x = 2 4y x= 2 3y = ± POF 1 | |2 y OF⋅ 1 2 3 1 32 × × = 1 1 1 1ABCD A B C D− AC BD M 1, ,AB a AD b AA c= = =    1B M = A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由于 ， ， ，代入化简即可得出． 【详解】 ， ， ， ∴ ， 故选 D． 【点睛】本题考查了向量 三角形法则、平行四边形法则、平行六面体的性质，考查了推理 能力与计算能力，属于中档题． 11.在四棱锥 中， 底面 ABCD，底面 ABCD 为正方形， ， ， 则异面直线 PA 与 BD 所成角 余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由题意建立空间直角坐标系，求出 的坐标，由两向量所成角的余弦值求解． 【详解】解：由题意，建立如图的空间坐标系， 底面 正方形， ， ， 底面 ， 点 ， ， ， ， 则 ， ， ． 的 的 为 1 1 2 2a b c− − −  1 1 2 2a b c+ −  1 1 2 2a b c− −  1 1 2 2a b c− + −  1 1B M B B BM= +   1 2BM BD=  BD BA BC= +   1 1B M B B BM= +   1 2BM BD=  BD BA BC= +   ( )1 1 1 2B M AA AB AD   = − + − + 1 1 2 2c a b = − − + P ABCD− PD ⊥ 1AB = 2PD = 5 5 − 5 5 10 10 − 10 10 ,PA DB   ABCD 1AB = 2PD = PD ⊥ ABCD ∴ ( )1,0,0A ( )0 0 2P , , ( )0,0,0D ( )1,1,0B (1,0, 2)PA = − (1,1,0)DB = 1 10cos , 10| | | | 5 2 PA DBPA DB PA DB ∴ < >= = = ×       异面直线 与 所成角的余弦值为 ． 故选： ． 【点睛】本题考查利用空间向量求解空间角，考查计算能力，是中档题． 12.若椭圆 : 的上顶点与右顶点的连线 垂直于下顶点与右焦点连 线 ，则椭圆的离心率 为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 根据椭圆上下顶点的坐标、焦点坐标求得直线 的斜率，利用斜率乘积为 列方程，结 合 求得离心率的值. 【详解】椭圆上顶点坐标为 ，右顶点的坐标为 ，故直线 的斜率为 .椭圆下 顶 点 坐 标 为 ， 右 焦 点 的 坐 标 为 ， 故 直 线 的 斜 率 为 .由 于 ， 故 ，即 ，由于 ，所以 ，即 ，解 得 . 故选 C. 【点睛】本小题主要考查椭圆离心率的求法，考查椭圆的几何性质，考查两直线两直线垂直 ∴ PA BD 10 10 D C 2 2 2 2 1 0)x y a ba b + = > >（ 1l 2l e 1 2 2 2 5-1 2 3 2 1 2,l l 1− 2 2 2a b c= + ( )0,b ( ),0a 1l b a − ( )0, b− ( ),0c 2l b c 1 2l l⊥ 1b b a c  − ⋅ = −   2b ac= 2 2 2a b c= + 2 2a ac c= + 2 1 0e e+ − = 5 1 2e −= 的表示，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题. 二、填空题 13.命题“ ， “的否定为______． 【答案】 ， 【解析】 【分析】 命题“ ， ”，是一个全称命题，其否定命题一定是一个特称命题，由 全称命题的否定方法，我们易得到答案． 【详解】 命题“ ， ”， 命题“ ， ”的否定为： ， ． 故答案为 ， ． 【点睛】对命题“ ， ”的否定是：“ ， ”；对命题“ ， ”的否定是：“ ， ”，即对特称命题的否定是一个全称命题，对一个全 称命题的否定是特称命题． 14.已知双曲线 的一条渐近线为 ，那么双曲线的离心率为 ______． 【答案】2 【解析】 【分析】 根据渐近线方程求得 的值，根据离心率的公式求得双曲线的离心率. 【 详 解 】 由 于 双 曲 线 的 一 条 渐 近 线 为 ， 故 . 所 以 双 曲 线 离 心 率 . 【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题. 15.已知命题“¬p 或¬q”是假命题，有下列结论： x 0∀ > 2x 3x 1 0+ + > x 0∃ > 2x 3x 1 0+ + ≤ x 0∀ > 2x 3x 1 0+ + >  x 0∀ > 2x 3x 1 0+ + > ∴ x 0∀ > 2x 3x 1 0+ + > x 0∃ > 2x 3x 1 0+ + ≤ x>0∃ 2x 3x 1 0+ + ≤ x A∃ ∈ ( )P X x A∀ ∈ ( )P X￢ x A∀ ∈ ( )P X x A∃ ∈ ( )P X￢ 2 2 2 2 x y 1(a 0,b 0)a b − = > > y 3x= b a 3y x= 3b a = 2 1 2c be a a  = = + =   ①命题“p 且 q”是真命题； ②命题“p 且 q”是假命题； ③命题“p 或 q”是真命题； ④命题“p 或 q”是假命题． 其中正确的是________(只填序号)． 【答案】①③ 【解析】 【分析】 由“¬p 或¬q”是假命题，知¬p 与¬q 均为假，故 p，q 均为真．再判断每一个命题得解. 【详解】由“¬p 或¬q”是假命题，知¬p 与¬q 均为假，故 p，q 均为真． 故答案为①③ 【点睛】（1）本题主要考查复合命题的真假，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理 能力.(2) 、复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且” 才真. 16.已知抛物线 ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 、 两点，若 线段 的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 ． 【答案】 【解析】 试题分析：由 ，准线 考点：抛物线方程及性质 三、解答题 17.已知数列{ }满足 ，且 . （I）证明：数列{ }是等差数列； （II）求数列{ }的前 项和 . 【答案】（I）见解析（II） 【解析】 2 2 ( 0)y px p= > A B AB 1x = − 2 2 2 1 2 2 { 2 0 2 4 2 2 y px y py p y y p ppy x = ∴ − − = ∴ + = = ∴ = = − 1x = − na 1 1 +2 2 ( )n n na a n R+ + = + ∈ 1 1a = 2 n n a na n nS (2 3) 2 3n nS n= − × + 【分析】 （I）根据题意，对于 ，变形可得 ，根据等差数列的定 义分析可得结论； （II）由（1）中的结论，结合等差数列的通项公式可得 ，即可得出 ，再根据错位相减法即可求解出结果． 【详解】解：（I）由 ， 可得 所以得 为等差数列，公差为 1； （II） ， ① ② ①-②得 【点睛】本题主要考查了构利用定义法证明等差数列以及错位相减法求数列的前 项和 ， 证明时采用了构造的方法，错位相减法主要用于数列的形式为等差乘等比． 18.如图，在四棱锥 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 底面 ABCD，且 ，设 E，F 分别为 PC，BD 的中点． 1 1 +2 2 ( )n n na a n R+ + = + ∈ 1 1 12 2 n n n n a a+ + − = 1 1( 1)2 2 2 n n a n n= + − = − 1(2 1) 2n na n −− ⋅= 1 1 2 2n n na a + + = + 1 1 12 2 n n n n a a+ + − = 2 n n a    1 1( 1) 12 2 2 n n a a n n= + − × = − 11 2 (2 1) 22 n n na n n − = − ⋅ − ⋅  =  2 1=1 3 2 5 2 (2 1) 2n nS n −+ × + × +…+ − × 2 32 1 2 3 2 5 2 (2 1) 2nS n= × + × + × + + − × 2 11 2 2 2 2 2 2 (2 1) 2n n nS n−− = + × + × +…+ × − − × ( )14 1 2 1 (2 1) 21 2 n nn −− = + − − ×− (2 3) 2 3n nS n= − × + n nS P ABCD− PAD ⊥ 2 2PA PD AD= = （1）求证： 平面 PAD； （2）求直线 EF 与平面 PBD 所成角的正弦值． 【答案】（1）见解析；（2） ． 【解析】 【分析】 （1）利用线面平行的判定定理：连接 ，只需证明 ，利用中位线定理即可得证； （2）取 的中点 ，连接 ，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出直线 与平面所成角的正弦值. 【详解】解：（1）证明： 为平行四边形， 连结 ， 为 中点， 为 中点， 在 中 ，且 平面 ， 平面 ， 平面 ； （2）取 的中点 ，连接 ， 且 为 的中点， ， 又侧面 底面 ， 底面 ； 建立如图所示的空间直角坐标系，令正方形的边长 ，则 ， ， ， ， ， ， ， ， 设面 的法向量为 ， EF  6 3 AC / /EF PA AD O PO ABCD AC BD F∩ = F AC E PC ∴ CPA∆ / /EF PA PA ⊂ PAD EF ⊂/ PAD / /EF∴ PAD AD O PO PA PD= O AD PO AD∴ ⊥ PAD ⊥ ABCD PO∴ ⊥ ABCD 2AD = ( )1,2,0B ( )1,0,0D − ( )1,2,0C − ( )0,0,1P ( )0,1,0F 1 3, ,02 2E  −   ( )1,2, 1PB = − ( )1,0, 1PD = − − 1 1, ,02 2EF  = −    PBD ( ), ,n x y z= 令 则 ， ， 设直线 与平面 所成角为 ，则 故直线 与平面 所成角的正弦值为 . 【点睛】本题考查线面平行，线面角的求解，考查学生的推理论证能力及逻辑思维能力，属 中档题． 19.如图，直三棱柱 中， 且 ，D，E 分别为 ， 的 中点，若 ， ． （1）证明： 平面 ； （2）求锐二面角 的正切值． 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 2 0 0 x y z x z + − =∴− − = 1x = 1z = − 1y = − ( )1, 1, 1n∴ = − − EF PBD θ ( ) 2 2 1 11 12 2 6sin 31 13 2 2 n EF n EF θ  × + − × − ⋅  = = = ⋅    × + −           EF PBD 6 3 1 1 1ABC A B C− AB AC= AB AC⊥ 1AA 1B C 2AB = 1 2 2AA = DE ⊥ 1BCC A BD C− − 3 【分析】 建立如图所示的空间直角坐标系 ，求出 ， ， ， ， ， ，坐标． （1）通过计算向量的数量积为 0，证明 ， ，利用直线与平面垂直的判 定定理证明 平面 ． （2）求出平面 的一个法向量和平面 的一个法向量，利用向量的数量积求解二面 角 的余弦值． 【详解】解：建立如图所示的空间直角坐标系 ， 则 ， ， ， ， ， ， 、 分别为 、 的中点 ， （1）证明：由已知，得 ， 又 ， ， 即 ， 又 平面 ， 平面 ，且 A xyz− A B C 1C 1B 1A DE BC⊥ 1DE CC⊥ DE ⊥ 1BCC DBC BDA A BD C− − A xyz− ( )0,0,0A ( )2,0,0B ( )0,2,0C ( )1 0,2,2 2C ( )1 2,0,2 2B ( )1 0,0,2 2A D E 1AA 1B C ( )0,0, 2D∴ ( )1,1, 2E 1( 2,2,0), (0,0,2 2)BC CC= − =  (1,1,0)DE =  1 ( 2) 1 2 0 0 0DE BC = × − + × + × =   1 1 0 1 0 0 2 2 0DE CC = × + × + × =   ∴ DE BC⊥  1DE CC⊥  ∴ DE BC⊥ 1DE CC⊥ DE ⊂ 1BCC 1CC ⊂ 1BCC 1BC CC C= 平面 （2）由已知得 ，设平面 的一个法向量为 ，则 ， ，令 ，则 ， ， 易知平面 的一个法向量为 ， 则 故锐二面角 的正切值为 【点睛】本题考查向量在立体几何中的应用，二面角的平面角的求法，直线与直线的垂直， 直线与平面的垂直数量积为 0 的应用．考查空间想象能力以及计算能力． 20.已知椭圆 C： （ ）过点 ，短轴一个端点到右焦点的距离为 2． （1）求椭圆 C 的方程； （2）设过定点 的直线 1 与椭圆交于不同的两点 A，B，若坐标原点 O 在以线段 AB 为直径的圆上，求直线 l 的斜率 k． 【答案】（1） ；（2） 或 【解析】 【分析】 （1）通过短轴的一个端点到右焦点的距离为 2 可知 ，且椭圆过点 ，得到方程 组，解得； DE∴ ⊥ 1BCC ( 2,0, 2)BD = − − DBC ( , , )n x y z= ,n BD n BC⊥ ⊥    ∴ 0, 0n BD n BC⋅ = ⋅ =    ∴ 2 2 0 2 2 0 x z x y − − =− + = 1x = 1y = 2Z = − ∴ (1,1, 2)n = − BDA (0,1,0)m = 1cos , 2 n mn m n m ⋅= =      3sin , 2n m∴ =  sin , tan , 3 cos , n m n m n m ∴ = =       A BD C− − 3 2 2 2 2 1x y a b + = 0a b> > 31, 2       ( )0 2,M 2 2 14 x y+ = 2k = 2k = − 2a = 31, 2       （2）设直线方程为 ，通过 以线段 为直径的圆过坐标原点 可知 ，通过联立直线 与椭圆方程、利用韦达定理化简 ，进而计算可 得结论； 【详解】解：（1）由题意可得 ， 解得： ， ， 椭圆 方程为 ； （2）由题意知，直线的斜率存在，设过 的直线方程为 ， 联立 ，消去 、整理得： ， 因为直线 与椭圆有两个交点， 解得 或 设 ， ， ， ， 则 ， 以线段 为直径的圆过坐标原点 ， ，即 ， ， 的 2y kx= + AB AB O · 0OAOB =  l 1 2 1 2 0x x y y+ = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 21 1 b c a b c a b  + =        + =   = − 2a = 1b = ∴ C 2 2 14 x y+ = ( )0 2,M 2y kx= + 2 2 2 14 y kx x y = + + = y 2 2(1 4 ) 16 12 0k x kx+ + + = 2y kx= + ( ) ( )2 2 216 4 12 (1 4 ) 16 4 3 0k k k∴∆ = − × × + = − > 3 2k > 3 2k < − 1(A x 1)y 2(B x 2 )y 1 2 2 1 2 2 16 1 4 12 1 4 kx x k x x k − + = +  = + AB AB O ∴ · 0OAOB =  1 2 1 2 0x x y y+ = ∴ 1 2 1 2( 2)( 2) 0kx kx x x+ + + = 2 1 2 1 2( 1) 2 ( ) 4 0k x x k x x∴ + + + + = 即 ，解得： 满足条件， 故 【点睛】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累， 属于中档题． 2 2 2( 1) 2 4 06 1 4 4 2 1 1 1 kk kk k ∴ + + + =+ + − ∴ 2 4k = 2k = ± 2k = ±