2018届二轮复习方法指导-圆锥曲线中的综合问题课件（全国通用）

2018届二轮复习方法指导-圆锥曲线中的综合问题课件（全国通用）

第 3 讲 圆锥曲线中的综合问题 考情分析 总纲目录 考点一   范围、最值问题 考点二 定点、定值问题 考点三 探索性问题 考点一  范围、最值问题 典型例题 (2017浙江,21,15分)如图,已知抛物线 x 2 = y ,点 A   , B   ,抛物线上 的点 P ( x , y )   .过点 B 作直线 AP 的垂线,垂足为 Q . (1)求直线 AP 斜率的取值范围; (2)求| PA |·| PQ |的最大值.   解析 　(1)设直线 AP 的斜率为 k , k =   = x -   , 因为-   < x <   ,所以直线 AP 斜率的取值范围是(-1,1). (2)解法一:联立方程得   解得点 Q 的横坐标是 x Q =   . 因为| PA |=     =   ( k +1), | PQ |=   ( x Q - x )=-   , 所以| PA |·| PQ |=-( k -1)( k +1) 3 , 令 f ( k )=-( k -1)( k +1) 3 .因为 f '( k )=-(4 k -2)( k +1) 2 , 所以 f ( k )在区间   上单调递增,   上单调递减,因此当 k =   时,| PA |·| PQ |取得最大值   . 解法二:如图,连接 BP ,| AP |·| PQ |=| AP |·| PB |·cos∠ BPQ =   ·(   -   )=   ·   -   .   易知 P ( x , x 2 )   , 则   ·   =2 x +1+2 x 2 -   =2 x 2 +2 x +   ,   =   +   = x 2 + x +   + x 4 -   x 2 +   = x 4 +   x 2 + x +   . ∴| AP |·| PQ |=- x 4 +   x 2 + x +     . 设 f ( x )=- x 4 +   x 2 + x +     , 则 f '( x )=-4 x 3 +3 x +1=-( x -1)(2 x +1) 2 , ∴ f ( x )在   上为增函数,在   上为减函数, ∴ f ( x ) max = f (1)=   . 故| AP |·| PQ |的最大值为   . 方法归纳 求解范围、最值问题的五种方法 解决有关范围、最值问题时,先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、 斜率等),建立目标函数,然后利用函数的有关知识和方法求解. (1)利用判别式构造不等式,从而确定参数的取值范围; (2)利用已知参数的取值范围,求新参数的范围,解这类问题的核心是在 两个参数之间建立相等关系; (3)利用隐含的不等关系,求出参数的取值范围; (4)利用已知不等关系构造不等式,从而求出参数的取值范围; (5)利用函数值域的求法,确定参数的取值范围. 跟踪集训 (2017合肥第一次教学质量检测)已知椭圆 E :   +   =1( a > b >0)的两焦点 与短轴的一个顶点构成一个等边三角形,直线   +   =1与椭圆 E 有且仅有 一个交点 M . (1)求椭圆 E 的方程; (2)设直线   +   =1与 y 轴交于 P ,过点 P 的直线 l 与椭圆 E 交于不同的两点 A , B ,若 λ |   | 2 =| PA |·| PB |,求实数 λ 的取值范围. 由   得 x 2 -2 x +4-3 c 2 =0, ∵直线   +   =1与椭圆 E 有且仅有一个交点 M , ∴ Δ =4-4(4-3 c 2 )=0 ⇒ c 2 =1, ∴椭圆 E 的方程为   +   =1. (2)由(1)得 M   , ∵直线   +   =1与 y 轴交于 P (0,2), ∴| PM | 2 =   , 当直线 l 与 x 轴垂直时,| PA |·| PB |=(2+   ) × (2-   )=1, 解析 　(1)由题意,得 a =2 c , b =   c ,则椭圆 E 为   +   =1. ∴ λ | PM | 2 =| PA |·| PB | ⇒ λ =   , 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y = kx +2, A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 由   消去 y ,得(3+4 k 2 ) x 2 +16 kx +4=0, 依题意得, x 1 x 2 =   ,且 Δ =48(4 k 2 -1)>0,∴ k 2 >   . ∴| PA |·| PB |=(1+ k 2 ) x 1 x 2 =(1+ k 2 )·   =1+   =   λ ,∴ λ =     , ∵ k 2 >   ,∴   < λ <1. 综上所述, λ 的取值范围是   . 考点二    定点、定值问题 典型例题 (2017课标全国Ⅰ,20,12分)已知椭圆 C :   +   =1( a > b >0),四点 P 1 (1,1), P 2 (0,1), P 3   , P 4   中恰有三点在椭圆 C 上. (1)求 C 的方程; (2)设直线 l 不经过 P 2 点且与 C 相交于 A , B 两点.若直线 P 2 A 与直线 P 2 B 的斜 率的和为-1,证明: l 过定点. 因此   解得   故 C 的方程为   + y 2 =1. (2)证明:设直线 P 2 A 与直线 P 2 B 的斜率分别为 k 1 , k 2 . 如果 l 与 x 轴垂直,设 l : x = t ,由题设知 t ≠ 0,且| t |<2,可得 A , B 的坐标分别为   ,   . 则 k 1 + k 2 =   -   =-1,得 t =2,不符合题设. 从而可设 l : y = kx + m ( m ≠ 1).将 y = kx + m 代入   + y 2 =1得 解析 　(1)由于 P 3 , P 4 两点关于 y 轴对称,故由题设知 C 经过 P 3 , P 4 两点. 又由   +   >   +   知, C 不经过点 P 1 ,所以点 P 2 在 C 上. (4 k 2 +1) x 2 +8 kmx +4 m 2 -4=0. 由题设可知 Δ =16(4 k 2 - m 2 +1)>0. 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则 x 1 + x 2 =-   , x 1 x 2 =   . 而 k 1 + k 2 =   +   =   +   =   , 由题设 k 1 + k 2 =-1,故(2 k +1) x 1 x 2 +( m -1)( x 1 + x 2 )=0. 即(2 k +1)·   +( m -1)·   =0. 解得 k =-   . 当且仅当 m >-1时, Δ >0,于是 l : y =-   x + m , 即 y +1=-   ( x -2),所以 l 过定点(2,-1). 方法归纳 定点与定值问题的求解策略 (1)解决动直线恒过定点问题的一般思路是设出直线 y = kx + m ( k 存在的情 形),然后利用条件建立 k 与 m 的关系,借助于点斜式方程确定定点坐标. (2)定值的证明与探索一般是先利用特殊情形确定定值,再给出一般化 的证明或直接推证得出与参数无关的数值.在这类试题中选择消元的方 法是非常关键的. 跟踪集训 (2017宝鸡质量检测(一))已知椭圆 C :   +   =1( a > b >0)经过(1,1)与   两点. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A 、 B 两点,椭圆 C 上一点 M 满足| MA |=| MB |.求证:   +   +   为定值.   解析 　(1)将(1,1)与   代入椭圆 C 的方程, 得   解得   ∴椭圆 C 的方程为   +   =1. (2)证明:由| MA |=| MB |知 M 在线段 AB 的垂直平分线上,由椭圆的对称性知 A 、 B 关于原点对称. ①若点 A 、 B 是椭圆的短轴端点,则点 M 是椭圆长轴的一个端点,此时   +   +   =   +   +   =2   =2. 同理,若点 A 、 B 是椭圆的长轴端点,则点 M 是椭圆短轴的一个端点,此时   +   +   =   +   +   =2   =2. ②若点 A 、 B 、 M 不是椭圆的顶点,设直线 l 的方程为 y = kx ( k ≠ 0),则直线 OM 的方程为 y =-   x ,设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 由   解得   =   ,   =   , ∴| OA | 2 =| OB | 2 =   +   =   ,同理,| OM | 2 =   , 所以   +   +   =2 ×   +   =2. 综上,   +   +   =2,为定值. 考点三    探索性问题 典型例题 (2017武汉武昌调研考试)已知直线 y = k ( x -2)与抛物线 Γ : y 2 =   x 相交于 A , B 两点, M 是线段 AB 的中点,过 M 作 y 轴的垂线交 Γ 于点 N . (1)证明:抛物线 Γ 在点 N 处的切线与直线 AB 平行; (2)是否存在实数 k 使   ·   =0?若存在,求 k 的值;若不存在,请说明理由. 解析 　(1)证明:由   消去 y 并整理,得2 k 2 x 2 -(8 k 2 +1) x +8 k 2 =0, 设 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ),则 x 1 + x 2 =   , x 1 x 2 =4, ∴ x M =   =   , y M = k ( x M -2)= k   =   . 由题设条件可知, y N = y M =   , x N =2   =   ,∴ N   . 设抛物线 Γ 在点 N 处的切线 l 的方程为 y -   = m   , 将 x =2 y 2 代入上式,得2 my 2 - y +   -   =0. ∵直线 l 与抛物线 Γ 相切, ∴ Δ =(-1) 2 -4 × 2 m ×   =   =0, ∴ m = k ,即 l ∥ AB . (2)假设存在实数 k ,使   ·   =0,则 NA ⊥ NB . ∵ M 是 AB 的中点,∴| MN |=   | AB |. 由(1),得| AB |=   | x 1 - x 2 |=   ·   =   ·   =   ·   . ∵ MN ⊥ y 轴,∴| MN |=| x M - x N |=   -   =   . ∴   =     ·   ,解得 k = ±   .故存在 k = ±   ,使   ·   =0. 方法归纳 解决探索性问题的注意事项 存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确,则存在,若结 论不正确,则不存在. (1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论. (2) 当给出结论要求推导出存在的条件时 , 先假设成立 , 再推出条件 . (3) 当条件和结论都未知 , 按常规方法解题很难时 , 要思维开放 , 采取其他 的途径 . 跟踪集训 (2017兰州诊断考试)已知椭圆 C :   +   =1( a > b >0)经过点(   ,1),且离心 率为   . (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 M , N 是椭圆上的点,直线 OM 与 ON ( O 为坐标原点)的斜率之积为-   . 若动点 P 满足   =   +2   ,试探究是否存在两个定点 F 1 , F 2 ,使得| PF 1 |+| PF 2 |为定值.若存在,求 F 1 , F 2 的坐标;若不存在,请说明理由. 解析 　(1)∵ e =   ,∴   =   ,可得   =   , 又椭圆 C 经过点(   ,1), ∴   +   =1, 解得 a 2 =4, b 2 =2. ∴椭圆 C 的方程为   +   =1. (2)设 P ( x , y ), M ( x 1 , y 1 ), N ( x 2 , y 2 ),则由   =   +2   得 x = x 1 +2 x 2 , y = y 1 +2 y 2 , ∵点 M , N 在椭圆   +   =1上, ∴   +2   =4,   +2   =4, 故 x 2 +2 y 2 =(   +4 x 1 x 2 +4   )+2(   +4 y 1 y 2 +4   )=(   +2   )+4(   +2   )+4( x 1 x 2 +2 y 1 y 2 )=20+4( x 1 x 2 +2 y 1 y 2 ). ∵ k OM · k ON =   =-   ,∴ x 1 x 2 +2 y 1 y 2 =0. ∴ x 2 +2 y 2 =20, 故点 P 是椭圆   +   =1上的点. ∴由椭圆的定义知存在点 F 1 , F 2 满足| PF 1 |+| PF 2 |=2   =4   ,为定值, 又| F 1 F 2 |=2   =2   , ∴ F 1 , F 2 的坐标分别为(-   ,0),(   ,0). 随堂检测 (2017东北四市高考模拟)已知椭圆 C :   + y 2 =1( a >1), B 1 , B 2 分别是其上、 下顶点,椭圆 C 的左焦点 F 1 在以 B 1 B 2 为直径的圆上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 F 1 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,线段 AB 的垂直 平分线与 x 轴交于点 N ,点 N 的横坐标的取值范围是   ,求| AB |的取值 随堂检测 (2017东北四市高考模拟)已知椭圆 C :   + y 2 =1( a >1), B 1 , B 2 分别是其上、 下顶点,椭圆 C 的左焦点 F 1 在以 B 1 B 2 为直径的圆上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过点 F 1 且不与坐标轴垂直的直线 l 交椭圆 C 于 A , B 两点,线段 AB 的垂直 平分线与 x 轴交于点 N ,点 N 的横坐标的取值范围是   ,求| AB |的取值范围. 解析 　(1)由题知 b = c =1, ∴ a =   =   ,∴椭圆的方程为   + y 2 =1. (2)设直线 l : y = k ( x +1),联立方程得   消去 y ,得(2 k 2 +1) x 2 +4 k 2 x +2 k 2 -2=0,记 A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ), 由根与系数的关系可得   则 y 1 + y 2 = k ( x 1 + x 2 +2)=   , 设 AB 的中点为 Q ,则 Q   , ∴直线 QN 的方程: y -   =-     =-   x -   , ∴ N   ,已知条件得-   <-   <0,即0<2 k 2 <1. | AB |=     =     , ∵0<2 k 2 <1,∴   <   <1, ∴| AB |∈   , ∴| AB |的取值范围为   .