数学文卷·2018届江西省九江一中高三上学期第一次月考（2017

数学文卷·2018届江西省九江一中高三上学期第一次月考（2017

九江一中2017-2018学年度高三上学期第一次月考 数学（文科）试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共在60分） ‎ ‎1 . 已知复数，是z的共轭复数，则（ ）‎ ‎(A) 2 (B) 1 (C) (D) ‎ ‎2. 设集合，则（ ）‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ ‎3. 如图，给出了样本容量均为的两组样本数据的散点图，已知组样本数据的相关系数为，组数据的相关系数为，则（ ）‎ 组数据 组数据 ‎(A) (B) 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎(C) (D)无法判定 ‎4. =（ ）【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎(A) (B) (C) (D) 【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（ ）‎ ‎(A) 96里 (B)192里 (C) 48里 (D) 24里 ‎ ‎6. 若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是(　　)‎ ‎(A)a<－3 (B)a ≤－3 (C)a>－3 (D) a≥－3‎ ‎7． 阅读如图所示的程序框图，若输出的数据大于58，则判断框中应填入的条件可能为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎8. 图象的大致形状是( )‎ ‎9. 已知x＝ln π，y＝log52，，则下列大小关系正确的是（ ）‎ ‎ (A) x＜y＜z (B) z＜x＜y (C) z＜y＜x (D) y＜z＜x ‎ ‎10. 已知的面积满足，且边上的高等于，则（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ ‎11. 抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为（ ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎12. 定义在上的奇函数，当时， ，则关于的函数的所有零点之和为（　 　）‎ ‎(A) (B) (C) (D)‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13. 已知向量，， ∥（+），则= .‎ ‎14. 满足，则的取值范围是 . ‎ ‎15. 已知圆C：，直线，在圆C内任取一点P，则P到直线的距离大于2的概率为_________.‎ ‎16. 已知三棱锥中， ，， ，则三棱锥的外接球的表面积为 ．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分）‎ ‎17. (本小题满分12分) 已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.‎ ‎（Ⅰ）若，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求.‎ ‎18 (本小题满分12分) 某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；‎ ‎（Ⅱ）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？‎ 参考数据及公式：‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎19. (本小题满分12分) 在三棱柱中，，，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若，点在平面的射影在上，且侧面的面积为，求三棱锥的体积．‎ ‎20. (本小题满分12分) 设、分别是椭圆的左、右焦点．（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的坐标；（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．‎ ‎21. (本小题满分12分)已知函数.（Ⅰ) 若函数有零点, 求实数的取值范围;(Ⅱ) 证明: 当时, .‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上。‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-5：坐标系与参数方程 已知曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴正半轴建立平面直角坐标系，直线过点，倾斜角为．‎ ‎（Ⅰ)求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；‎ ‎(Ⅱ)设直线与曲线交于两点，求．‎ ‎23 (本小题满分10分)选修4-5：不等式选讲 ‎ ‎ 已知.‎ ‎（Ⅰ) 求不等式的解集；‎ ‎(Ⅱ)设为正实数，且，求证：．‎ ‎2017-2018学年度上学期第一次月考数学文科试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） ‎ ‎1 .已知复数，是z的共轭复数，则（ D ）‎ ‎(A) 2 (B) 1 (C) (D) ‎ ‎2.设集合，则（C ）‎ ‎ (A) (B) (C) (D)‎ 组数据 组数据 ‎3.如图，给出了样本容量均为的两组样本数据的散点图，已知组样本数据的相关系数为，组数据的相关系数为，则（ C ）‎ ‎(A) (B) ‎ ‎(C) (D)无法判定 ‎4.=（ A ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，出行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思为：有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了（A ）‎ A．96里 B．192里 C．48里 D．24里 ‎ ‎6.若f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，4)上是减函数，则实数a的取值范围是(　B　)‎ ‎(A)a<－3 (B)a ≤－3 (C)a>－3 (D) a≥－3‎ ‎7．阅读如图所示的程序框图，若输出的数据大于58，则判断框中应填入的条件可能为（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.图象的大致形状是( B )‎ ‎9.知过抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若9. 已知x＝ln π，y＝log52，，则下列大小关系正确的是（D ）‎ ‎ (A) x＜y＜z (B) z＜x＜y (C) z＜y＜x (D) y＜z＜x ‎ ‎10.已知的面积满足，且边上的高等于，则（ C ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 抛物线焦点的直线交抛物线于、两点（点在第一象限），若，则直线的斜率为（ D ）‎ ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎12. 定义在上的奇函数，当时， ，则关于的函数的所有零点之和为（　B　）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上.）‎ ‎13.知向量，， ∥（+），则= 3 ‎ ‎14.满足，则的取值范围是 . ‎ ‎15. 已知圆C：，直线，在圆C内任取一点P，则P到直线的距离大于2的概率为_________.‎ ‎16.已知三棱锥中， ，， ，则三棱锥的外接球的表面积为 ．‎ ‎17.（本题满分12分）已知等差数列的前项和为，等比数列的前项和为，且，，.‎ ‎（Ⅰ）若，求数列的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，求.‎ ‎17.解：（Ⅰ）设等差数列的公差为，等比数列的公比为.‎ 由，，，，得 ‎，解得：，或.‎ 则的通项公式为.【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎（Ⅱ）由可得，解得.‎ 当时，，‎ ‎；‎ 当时，，‎ ‎.‎ ‎18 (本小题满分12分) ‎ 某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名.为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”‎ 分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.‎ ‎(1) 从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；‎ ‎(2) 规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？‎ 参考数据及公式：‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.010【来源：全,品…中&高*考+网】‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎(18) (本小题满分12分）‎ ‎ 解(1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名. ---1分 所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，‎ 记为A1，A2，A3； 25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B1，B2.‎ 从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2).‎ 其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2). 故所求的概率P＝. -------6分 ‎(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：‎ 生产能手 非生产能手 合计 ‎25周岁以上组 ‎15‎ ‎45‎ ‎60‎ ‎25周岁以下组 ‎15‎ ‎25‎ ‎40‎ 合计 ‎30‎ ‎70‎ ‎100‎ ‎＝≈1.786. ---10分因为1.786<2.706. 所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关” ----12分 ‎19.（题满分12分）在三棱柱中，，，为的中点．（Ⅰ）证明：平面；（Ⅱ）若，点在平面的射影在上，且侧面的面积为，求三棱锥的体积．‎ ‎18.（Ⅰ）证明：连接交于点，连接．‎ 则为的中点，又为的中点，‎ 所以，且平面，平面，‎ 则平面．‎ ‎（Ⅱ）解：取的中点，连接，过点作于点，连接．‎ 因为点在平面的射影在上，且，‎ 所以平面，∴，，‎ ‎∴平面，则．‎ 设，在中，，，‎ ‎∴，，，‎ 由，可得．‎ 则．‎ 所以三棱锥的体积为．‎ ‎20.（本小题满分12分）设、分别是椭圆的左、右焦点．（Ⅰ）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的坐标；（Ⅱ）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），求直线的斜率的取值范围．‎ ‎20. （本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）易知，，．‎ ‎∴，．设．则 ‎，．．．．．．2分 又，联立，解得，．．．．．．．5分 ‎（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．‎ 联立 ‎∴，．．．．．．6分 由 ‎，，得．①．．．．．．7分 又为锐角，‎ ‎∴．．．．．．8分 又 ‎∴‎ ‎∴．②．．．．．．10分 综①②可知，∴的取值范围是．．．．．．．12分 ‎21.（本题满分12分）已知函数.（Ⅰ) 若函数有零点, 求实数的取值范围;(Ⅱ) 证明: 当时, .‎ ‎ 21. 解:（Ⅰ）法1: 函数的定义域为.‎ 由, 得.‎ 因为,则时, ;时, .‎ 所以函数在上单调递减, 在上单调递增.‎ 当时, .‎ ‎ 当, 即时, 又, 则函数有零点.‎ 所以实数的取值范围为.‎ 法2：函数的定义域为.‎ 由, 得 令，则.‎ 当时, ; 当时, .‎ 所以函数在上单调递增, 在上单调递减.‎ 故时, 函数取得最大值.‎ 因而函数有零点, 则.‎ 所以实数的取值范围为.‎ ‎ （Ⅱ） 要证明当时, ,‎ ‎ 即证明当时, , 即.‎ ‎ 令, 则.‎ 当时, ;当时, .‎ 所以函数在上单调递减, 在上单调递增.‎ 当时, .‎ 于是,当时, ①‎ ‎ 令, 则.‎ 当时, ;当时, .‎ 所以函数在上单调递增, 在上单调递减.‎ 当时, .‎ 于是, 当时, ② ‎ 显然, 不等式①、②中的等号不能同时成立.‎ 故当时, ‎ ‎22. （坐标系与参数方程）（本小题满分10分）‎ 已知曲线C的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为 轴正半轴建立平面直角坐标系，直线过点，倾斜角为．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程与直线的参数方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于两点，求．‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑，把答案填在答题卡上。‎ ‎22【解答】（本题满分10分）‎ 解：（1）对于C：由ρ=4cosθ，得ρ2=4ρcosθ，‎ ‎∵，‎ ‎∴x2+y2=4x，‎ ‎∴对于l：有．…（5分）‎ ‎ ‎ ‎（2）设A，B两点对应的参数分别为t1，t2‎ 将直线l的参数方程带入圆的直角坐标方程x2+y2﹣4x=0，‎ 得，‎ 化简得，‎ ‎…（10分）‎ ‎ ‎ ‎23 (本小题满分10分)‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎ 已知.‎ ‎(1) 求不等式的解集；‎ ‎(2) 设为正实数，且，求证：．‎ ‎(23) (本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）不等式等价于不等式组 或或 所以不等式的解集为 …………………………………………5分 ‎（Ⅱ）证明：因为，所以 因为为正实数，所以由基本不等式得（当且仅当时取等号）‎ 同理：；，所以 所以 所以 …………………………………………………………………10分