数学文卷·2018届齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学（临沂一中等）高考冲刺模拟（2018

数学文卷·2018届齐鲁名校教科研协作体山东、湖北部分重点中学（临沂一中等）高考冲刺模拟（2018

齐鲁名校教科研协作体 山东、湖北部分重点中学2018年高考冲刺模拟试卷（一）‎ 数学（文科）试题 命题：湖北随州一中(占雷) 审题：山东临沂一中 山东临朐一中 山东沂水一中 本试卷共4页，23题（含选考题）。全卷满分150分。考试用时120分钟。‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一.选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（原创，容易）（1）已知集合，集合，则 ‎ A. .B. C. D.‎ ‎【答案】C ‎（原创，容易）（2）已知复数在复平面内对应的点关于实轴对称，若（其中是虚数单位），则复数的虚部等于 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎（原创，容易）（3）下列命题中，真命题的是 ‎ A“,”的否定是“,”‎ ‎ B.已知，则“”是“”的充分不必要条件 ‎ C.已知平面满足，则 ‎ D.若，则事件与是对立事件 ‎【答案】B ‎（原创，容易）（4）已知直线，直线，若，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎（改编，容易）（5）已知双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，其中一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为 A.或 B.或 C. D.‎ ‎【答案】B ‎（原创，容易）（6）已知定义在上的函数在上单调递减，且是偶函数，不等式对任意的恒成立，则实数的取值范围是 A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎（改编，中档）（7）朱世杰是历史上最伟大的数学家之一，他所著的《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差六十四人，次日转多七人，每人日支米三升，共支米四百三石九斗二升，问筑堤几日”。其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出64人，从第二天开始每天派出的人数比前一天多7人，修筑堤坝的每人每天分发大米3升，共发出大米40392升，问修筑堤坝多少天”，在该问题中前5天共分发了多少大米？‎ ‎ A.1170升 B.1380升 C.3090升 D.3300升 ‎【答案】D ‎（原创，中档）（8）函数（）的部分图象如图所示，点在的图象上，坐标分别为、、，是以为底边的等腰三角形，将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，‎ 则关于的说法中不正确的是 A.是偶函数 B..在区间上是减函数 ‎ C.的图象关于直线对称 D.在上的最小值为 ‎【答案】C ‎【解析】，所以，，因为，作轴于点，则，所以，当时，，所以，所以.‎ ‎，根据余弦函数的性质可知A、B、D正确，C错误 ‎【考点】三角函数的图象和性质 ‎（原创，中档）（9）如图，虚线小方格是边长为的正方形，粗实（虚）线为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为 A. B. C. D.‎ ‎【答案】D ‎【解析】几何体的直观图如图所示为三棱锥，‎ ‎ ‎ 三棱锥中，，所以外接球的直径为，则半径，所以外接球的表面积 ‎【考点】三视图、球体 ‎（原创，中档）（10）已知的半径依次为，外切于点，外切于点，外切于点，则 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】B ‎（原创，较难）（11）已知抛物线（），焦点为，直线与抛物线交于两点（为坐标原点），过作直线的平行线交抛物线于两点（其中在第一象限），直线与直线交于点，若的面积等于，则抛物线的准线方程为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】A ‎【解析】如图所示，设，则，则，取中点、中点，则三点共线，且所在直线方程为，所以的面积，所以，准线方程为.‎ ‎【考点】抛物线的图像和性质 ‎ ‎（原创，较难）（12）已知函数，现有下列结论：‎ ‎①当时，；②当时,；‎ ‎③若对恒成立，则的最小值等于；‎ ‎④已知，当时，满足的的个数记为，则的所有可能取 值构成的集合为 其中正确的个数为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎【答案】C 第II卷 非选择题（共90分）‎ 二.填空题。（本大题共有4小题，每小题5分，共20分，请将正确答案填入相应的位置）‎ ‎（原创，容易）（13）已知各项均为正数的等比数列的前项和为，若，则的公比等于__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由得，所以，所以，因为的各项均为正数，所以，所以.‎ ‎【考点】等比数列 ‎（改编，容易）（14）如图所示的茎叶图为高三某班54名学生的政治考试成绩，程序框图中输入的为茎叶图中的学生成绩，则输出的和的值分别是__________.‎ ‎【答案】86，13‎ ‎【解析】S为大于等于80分的学生的平均成绩，计算得S=86；n表示60分以下的学生人数，由茎叶图可知n=13.‎ ‎【考点】程序框图 ‎（原创，中档）（15）已知不等式组表示的区域为，若存在点，使得，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出可行域如图所示,‎ 由得，所以直线 ‎ 与区域有公共点，过定点，斜率等于，由图形可知实数的范围为. ‎ ‎【考点】线性规划 ‎（原创，较难）（16）已知曲线（）的切线与曲线相切于点，某学习小组的三名同学甲、乙、丙通过独立求解后表达了自己的观点，甲说：这样的直线只有一条；乙说：的取值介于与之间；丙说：甲和乙至多有一个人的结果正确，则甲、乙、丙三人中观点正确的人有__________.‎ ‎【答案】甲、乙 ‎【解析】设与相切于，则对于而言的方程为，对于而言的方程为，从而有，消去得（），‎ 令，，所以单调递增，因为，所以存在唯一使得，所以甲、乙正确 ‎【考点】导数的几何意义 三、 解答题。（共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，第17至21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。） ‎ ‎（原创，容易）（17）（本小题满分12分）‎ 如图，在中，，的角平分线与交于点，.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）求的面积.‎ ‎【解析】（Ⅰ）在中，由余弦定理得 ‎ ，‎ 所以 ............................................................................................................3分 由正弦定理得，所以...........6分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知.................................................................7分 在中，..............................8分 在中，由正弦定理得，所以.......................10分 所以的面积.....................12分 ‎【考点】解三角形 ‎（原创，中档）（18）（本小题满分12分） ‎ 如图，正方体的棱长为，分别是的中点，点在棱上，（）.‎ ‎（Ⅰ）三棱锥的体积分别为，‎ 当为何值时，最大？最大值为多少？‎ ‎（Ⅱ）若平面，证明：平面平面.‎ ‎ 【解析】（Ⅰ）由题可知，.............................................................1分 ‎..............................................................................2分 ‎....................................................3分 所以（当且仅当，即时等号成立） ..........................................................5分 所以当时，最大，最大值为............................................................................6分 ‎（Ⅱ）连接交于点，则为的中点，因为平面，‎ 平面平面，所以，所以为中点.................7分 连接，因为为中点，所以，因为，所以....8分 因为平面，平面，所以，因为，‎ 所以平面，又平面，所以................................10分 同理，因为，所以平面................................11分 因为平面，所以平面平面.............................................12分 ‎【考点】立体几何中的体积计算和空间位置关系 ‎（原创，中档）（19）（本小题满分12分）‎ 某地级市共有200000中小学生，其中有7%学生在2017年享受了“国家精准扶贫”政策，在享受“国家精准扶贫”政策的学生中困难程度分为三个等次：一般困难、很困难、特别困难，且人数之比为5:3:2，为进一步帮助这些学生，当地市政府设立“专项教育基金”，对这三个等次的困难学生每年每人分别补助1000元、1500元、2000元。经济学家调查发现，当地人均可支配年收入较上一年每增加n%，一般困难的学生中有3n%会脱贫，脱贫后将不再享受“精准扶贫”政策，很困难的学生中有2n%转为一般困难，特别困难的学生中有n%转为很困难。现统计了该地级市2013年到2017年共5年的人均可支配年收入，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图和表中统计量的值，其中年份取13时代表2013年，与（万元）近似满足关系式，其中为常数。（2013年至2019年该市中学生人数大致保持不变）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中，‎ ‎（Ⅰ）估计该市2018年人均可支配年收入；‎ ‎（Ⅱ）求该市2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为多少？‎ 附：①对于一组具有线性相关关系的数据，其回归直线方程 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 ‎②‎ ‎【解析】（Ⅰ）因为，所以.........................................1分 由得，所以.................................3分 ‎，所以，所以...........4分 当时，2018年人均可支配年收入（万）...........6分 ‎（Ⅱ）由题意知2017年时该市享受“国家精准扶贫”政策的学生共200000×7%=14000人 一般困难、很困难、特别困难的中学生依次有7000人、4200人、2800人，.........................7分 ‎2018年人均可支配收入比2017年增长...............8分 所以2018年该市特别困难的中学生有2800×(1-10%)=2520人，‎ 很困难的学生有4200×(1-20%)+2800×10%=3640人 一般困难的学生有7000×(1-30%)+4200×‎ ‎20%=5740人..........................................................10分 所以2018年的“专项教育基金”的财政预算大约为5740×1000+3640×1500+2520×2000=1624万 ‎ .............................................12分 ‎【考点】统计 ‎（原创，较难）（20）（本小题满分12分） ‎ 已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，短轴长和焦距都等于2，是椭圆上的一点，且在第一象限内，过且斜率等于的直线与椭圆交于另一点，点关于原点的对称点为.‎ ‎（Ⅰ）证明：直线的斜率为定值；‎ ‎（Ⅱ）求面积的最大值，并求此时直线的方程.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由题意可设椭圆的方程为（），则，解得，所以的方程为........................2分 设，则，所以的斜率，因为，所以，......................................................4分 因为，所以......................................................................5分 ‎（Ⅱ）因为关于原点对称，所以，由（Ⅰ）可知的斜率 ‎，设方程为（且），到的距离..............6分 由得，所以..........7分 所以 ‎ ‎ ‎ ‎ .....................................................10分 ‎ 当且仅当，即时等号成立，所以面积的最大值为......11分 此时直线的方程为，即................................................12分 ‎（改编，较难）（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数，其中.‎ ‎（Ⅰ）讨论函数极值点的个数；‎ ‎（Ⅱ）若函数有两个极值点，其中且，是否存在整数使得不等式 恒成立？若存在，求整数的值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由得，........1分 ‎①当时，即，，所以为增函数，没有极值点.................2分 ‎②当时，即或，由得 （i） 若，则，当时，，即，所以为 增函数，没有极值点.........................................................................................................3分 （ii） 若，则，当变化时，与的变化情况如下表：‎ 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 ‎ 所以函数有两个极值点...........................................................................................4分 综上可知：当时，极值点的个数为；当时，极值点的个数为 ‎ ...........................................................................................................5分 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，是方程的两根，所以.......6分 ‎.......................................8分 令，因为，所以，设（）‎ 因为.................................................9分 所以在上为减函数，所以，因为 所以，即..................................................10分 因为，所以 所以，解得........................................................11分 因为，所以，又因为，所以或 所以存在整数或使得不等式恒成立 ‎ .......................................................12分 ‎ ‎【考点】导数在极值、单调性中的应用，导数与不等式、方程的综合应用 请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时，用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．‎ ‎（原创，容易）（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，的参数方程为（为参数，），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，的极坐标方程为.‎ ‎（Ⅰ）求的直角坐标方程，并指出其图形的形状；‎ ‎（Ⅱ）与相交于不同两点，线段中点为，点，若，求参数方程中的值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）由得，所以 将代入得，即，所以的直角坐标方程为，表示以为圆心、为半径的圆.................................................5分 ‎（Ⅱ）将代入整理得 设对应的参数分别为，则是方程的两根，‎ 所以，因为，所以，所以 所以，所以，所以或 ‎ ..........................................10分 ‎【考点】极坐标与直角坐标的互化，直线参数方程的应用 ‎（原创，容易）（23）（本小题满分10分）选修4-5: 不等式选讲 已知函数;‎ ‎（Ⅰ）若对恒成立，求正实数的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）函数（），若函数的图象与轴围成的面积等于3，求实数的值.‎ ‎【解析】（Ⅰ）‎ 因为，所以，所以，解得 或者，因为，所以的取值范围为或者 ‎................................5分 ‎（Ⅱ），由得，解得,因为，所以的图像与轴围成的图形为三角形，且落在轴上的底边长为.高，所以面积 ‎，所以，所以...........................10分