2017-2018学年安徽省池州市高二上学期期末数学理试题（解析版）

2017-2018学年安徽省池州市高二上学期期末数学理试题（解析版）

‎2017-2018学年安徽省池州市高二上学期期末数学理试题（解析版）‎ 本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷满分150分,考试时间120分钟。‎ 第I卷 一、选择题(本题共有12小题,每小题5分,共60分。在每小題给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要求的。‎ ‎1. 抛物线x2=—32y的焦点坐标为 A. (0,-8) B. (0,8) C. (-8,0) D. (8,0)‎ ‎【答案】A ‎2. 命题p:“”,则为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由全称命题的否定为特称命题，可得命题p:“”,‎ 则为：‎ 故选D.‎ ‎3. 如图所示,三棱锥O—ABC中, ,且，则 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，故选C。‎ ‎4. 已知命题“若x≥3,则”,则此命题的逆命题、否命题逆否命题中,正确命题的个数为 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】命题“若x≥3,则”的逆命题为命题“若,则”为假命题；‎ 否命题为“若,则”为假命题；逆否命题为“若,则”为真命题.‎ 故选B.‎ ‎5. 已知、是两个不同的平面,m、n是两条不同的直线,下列命题中错误的是 A. 若m⊥、m∥n，n，则⊥ B. 若∥，m⊥，n⊥，则m∥n C. 若∥，，，则m∥n D. 若⊥，m， ，,m⊥n，则m⊥‎ ‎【答案】C ‎【解析】A．根据线面垂直的判定可知，当m⊥、m∥n，n时可得n⊥，则⊥，所以A正确．‎ B．根据面面平行的性质可知，∥，m⊥，n⊥所以m⊥，m⊥故，即B正确．‎ C．根据面面平行的性质可知，可能平行或异面，所以C错误．‎ D．根据面面垂直的性质可知，若⊥，m， ，,m⊥n，则m⊥，所以D正确．‎ 故选C．‎ ‎6. “m>0，n>0”是“曲线mx2—ny2=1为双曲线”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】充分性：若“m>0，n>0”，则“曲线mx2—ny2=1为双曲线”成立，满足；‎ 必要性：若“曲线mx2—ny2=1为双曲线”，则“m>0，n>0或m<0，n<0”，不满足；‎ 所以是充分不必要条件，故选A。‎ ‎7. 一几何体的三视图如图所示,其中网格纸中每个小正方形的边长为1,则该几何体的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图可知该几何体是由一个半圆柱与长方体拼接而成，半圆柱的底面半径为2，高为3，长方体的长为4，宽为1，高为3，故该几何体的表面积为.‎ 故答案为B.‎ ‎8. 已知，是关于的方程（为常数）的两个不相等的实根，则过两点，的直线与圆的位置关系为（ ）‎ A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相离 ‎【答案】C ‎【解析】方程有两个不相等的实根，则，得，‎ 由韦达定理可知：，直线：，‎ 即，，‎ 所以，所以直线和圆是相离关系。故选C。‎ ‎9. 已知双曲线：上任意一点为，则到双曲线的两条渐近线距离之积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】渐近线方程为：，设点，‎ 则，所以，故选B。‎ ‎10. 中国古代第一部数学名著《九章算术》中,将一般多面体分为阳马、鳖臑、堑堵三种基本立体图形,其中将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖,若三棱锥Q-ABC为鳖臑,QA⊥平面ABC，AB⊥BC，QA=BC=3，AC=5，则三棱锥Q-ABC外接球的表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】补全为长方体，如图，则,所以，故外接球得表面积为.‎ ‎11. 如果圆上总存在两个点到点(1,1)的距离为2,则实数t的取值范围是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为到点的距离为2的点的轨迹是圆，所以题目套件等价于圆与圆相交，从而，即，解得实数的取值范围是.‎ ‎12. 已知棱长为4的正方体，是正方形所在平面内一动点，点，满足，，若点到直线与直线的距离之比为，则动点的轨迹是（ ）‎ A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 ‎【答案】B ‎【解析】因为，，且正方体的棱长为4，所以，故点到直线距离，即为点到点距离，于是条件“平面内点到直线与直线的距离之比为1:2”转化为“平面内点到点与直线的距离之比为1:2”。在平面内，以A为坐标原点，AB、AD分别为x、y轴正方向建立平面直角坐标系，则，直线的方程为，设点的坐标为，则依据题意可得 ‎，化简可得，故动点的轨迹是椭圆。故选B。‎ 点睛：本题考查立体几何中的动点轨迹问题。本题中利用空间直角坐标系来辅助解题。首先分析题目的几何意义，得到条件“平面内点到直线与直线的距离之比为1:2”转化为“平面内点到点与直线的距离之比为1:2”，建立空间直角坐标系，设点的坐标为，根据题意得，化简得到轨迹为椭圆。‎ 第Ⅱ卷 ‎13. 已知向量，则 ‎【答案】5‎ ‎【解析】，所以 ‎14. 已知正四棱锥所有棱长均为2，若为棱的中点，则异面直线与所成角的正切值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】连接AC，取中点O，连接OE，OB，所以∠OEB就是异面直线BE与SA的所成角，‎ ‎，所以∠EOB=90°，所以tan∠OEB=。‎ ‎15. 已知抛物线的焦点为F，经过F的直线与抛物线在第一象限的交点为A,与准线l交于点B、A在B的上方,且AK⊥l于K，若△KFB是等腰三角形,腰长为2,则p=__。‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由题意，可知F是AB中点，且FB=FK=FA=AK=2，所以，即。‎ ‎16. 椭圆的右焦点为F(c,0),上下顶点分别为A、B，直线AF交椭圆于另一点P，若PB的斜率为,则椭圆的离心率e=_______。‎ ‎【答案】或 ‎【解析】直线，即，联立椭圆方程解得：，‎ 所以，所以，解得离心率。‎ 点睛：本题考查直线和椭圆的位置关系。通过分析，本题只需求出点P坐标，再进行斜率计算即可得到离心率的关系。所以本题只需联立直线和椭圆方程，求出点P坐标即可，之后保证计算的准确率即可。‎ 三、解答题:(本大题共6小题,共70分解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17. 已知命题p:直线和直线平行,命题q:函数的值可以取遍所有正实数 ‎(I)若p为真命题,求实数a的值 ‎(Ⅱ)若命题均为假命题,求实数a的取值范围 ‎【答案】(Ⅰ)，或；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：I）显然当，直线不平行，由斜率存在的两条直线平行的充要条件可得 ‎，即可得到实数a的值；‎ ‎（II）若为真命题，则恒成立，解得，或.‎ 因为命题均为假命题，所以命题都是假命题，‎ 所以，由此解得实数的取值范围.‎ 试题解析：（I）显然当，直线不平行，‎ 所以，，‎ 因为为真命题，所以，解得，或 ‎（II）若为真命题，则恒成立，解得，或.‎ 因为命题均为假命题，所以命题都是假命题，‎ 所以，解得，或，‎ 故实数的取值范围是 ‎18. 一装有水的直三棱柱ABC-A1B1C1容器(厚度忽略不计),上下底面均为边长为5的正三角形,侧棱为10,侧面AA1B1B水平放置,如图所示,点D、E、F、G分别在棱CA、CB、C1B1、C1A1上,水面恰好过点D，E，F，C,且CD=2‎ ‎(1)证明:DE∥AB;‎ ‎(Ⅱ)若底面ABC水平放置时,求水面的高 ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：（I）由面面平行的性质定理可证;‎ ‎（Ⅱ）当底面水平放置时，水的形状为四棱柱形，由已知条件求出水的体积，由于是三棱柱形容器，故水的体积可以用三角形的面积直接表示出（不必求三角形的面积）．‎ 试题解析：（I）证明：因为直三棱柱容器侧面水平放置，‎ 所以平面平面，‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 所以 ‎ ‎（II）当侧面水平放置时，可知液体部分是直四棱柱，‎ 其高即为直三棱柱容器的高，即侧棱长10.‎ 由（I）可得，又，‎ 所以. ‎ 当底面水平放置时，设水面的高为，由于两种状态下水的体积相等，‎ 所以，即，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查线面、平面与平面平行的判定，考查用用体积公式来求高，解答本题时要充分考虑几何体的形状，根据其形状选择求解的方案．‎ ‎19. 已知椭圆C: 的左、右焦点分别为F1、F2，焦距为2，过点F2作直线交椭圆C于M、N两点,△F1MN的周长为。‎ ‎(I)求椭圆C的方程;‎ ‎(Ⅱ)若∠F1F2M=，求弦长 ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意得，椭圆的方程；（2）直线的方程为，联立方程得到韦达定理，利用弦长公式计算。‎ 试题解析：‎ ‎（I）因为焦距为2，所以，即.‎ 又因为的周长为，结合椭圆定义可得，所以.‎ 所以，于是椭圆的方程 ‎（II）因为，所以直线的斜率，所以直线的方程为，联立，消去y可得 设，则，‎ 所以 ‎20. 已知四棱锥A-BCDE中，底面BCDE为直角梯形，CD⊥平面ABC，侧面ABC是等腰直角三角形，∠EBC=∠ABC=90°，BC=CD=2BE=2，点M是棱AD的中点 ‎(I)证明:平面AED⊥平面ACD;‎ ‎(Ⅱ)求锐二面角B-CM-A的余弦值 ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：（1）平面ACD，又EM//BF，所以平面ACD，所以平面平面；（2‎ ‎）建立空间直角坐标系，求得两个法向量,，求出二面角。‎ 试题解析：‎ ‎（I）证明：取AC的中点F，连接BF，‎ 因为AB＝BC，所以，平面ABC,所以CD.‎ 又所以平面ACD.①‎ 因为AM=MD，AF=CF，所以.‎ 因为 ，所以//MF，‎ 所以四边形BFME是平行四边形.所以EM//BF.②‎ 由①②,得平面ACD，所以平面平面；‎ ‎（II）BE平面ABC，‎ 又，‎ 以点B为原点，直线BC、BA、BE分别为x,y,z轴，‎ 建立空间直角坐标系B-xyz.‎ 由，得B(0,0,0)，C(2,0,0)，A(0,2,0)，D(2,0,2).‎ 由中点坐标公式得，,，‎ 设向量为平面BMC的一个法向量，则即 令y=1,得x=0，z=－1，即,‎ 由（I）知，是平面ACD的一个法向量. ‎ 设二面角B－CM－A的平面角为，‎ 则，‎ 又二面角B－CM－A为锐二面角，故.‎ ‎21. 已知⊙H被直线x-y-1=0,x+y-3=0分成面积相等的四个部分,且截x轴所得线段的长为2。‎ ‎(I)求⊙H的方程;‎ ‎(Ⅱ)若存在过点P(0,b)的直线与⊙H相交于M，N两点,且点M恰好是线段PN的中点,求实数b的取值范围 ‎【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ).‎ ‎【解析】试题分析：（I）设的方程为，由题意可知圆心一定是两直线的交点，可得交点为，所以. 又截x轴所得线段的长为2，所以.，即可得到⊙H的方程;‎ ‎（II）法一：如图，的圆心，半径，‎ 过点N作的直径，连结.‎ 由题可得“点是线段的中点”等价于“圆上存在一点使得的长等于的直径”. ‎ 由此得到实数b的取值范围 法二：如图，的圆心，半径，连结，‎ 过作交于点，并设.‎ 由题意得，所以， ‎ 又因为，所以，由此得到实数b的取值范围 试题解析：（I）设的方程为，‎ 因为被直线分成面积相等的四部分，‎ 所以圆心一定是两直线的交点，‎ 易得交点为，所以. ‎ 又截x轴所得线段的长为2，所以.‎ 所以的方程为. ‎ ‎（II）法一：如图，的圆心，半径，‎ 过点N作的直径，连结.‎ 当与不重合时，，‎ 又点是线段的中点；‎ 当与重合时，上述结论仍成立.‎ 因此，“点是线段的中点”等价于“圆上存在一点使得的长等于的直径”. ‎ 由图可知，即，即. ‎ 显然，所以只需，即，解得.‎ 所以实数的取值范围是. ‎ 法二：如图，的圆心，半径，连结，‎ 过作交于点，并设.‎ 由题意得，‎ 所以， ‎ 又因为，所以，‎ 将代入整理可得， ‎ 因为，所以，，解得.‎ ‎22. 已知抛物线：的焦点为，准线为，三个点，，中恰有两个点在上．‎ ‎（1）求抛物线的标准方程；‎ ‎（2）过的直线交于，两点，点为上任意一点，证明：直线，，的斜率成等差数列．‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】试题分析：（1）由对称关系可知，两点在上，求得抛物线的标准方程为；（2）设直线的方程为，联立抛物线方程，得到韦达定理，表示出直线的斜率，证明满足等差中项公式即可。‎ 试题解析：‎ ‎（I）因为抛物线：关于x轴对称，‎ 所以中只能是两点在上，‎ 带入坐标易得，所以抛物线的标准方程为 ‎（II）证明：抛物线的焦点的坐标为，准线的方程为.‎ 设直线的方程为，.‎ 由，可得，所以，‎ 于是，‎ 设直线的斜率分别为，‎ 一方面，‎ ‎ .‎ 另一方面，.‎ 所以，即直线的斜率成等差数列 点睛：本题考查直线和抛物线的位置关系。本题中要证明直线的斜率满足等差数列，则需要表示三个斜率，所以只需设出直线方程，写出三个斜率，证明其满足等差中线公式即可，中间利用韦达定理计算。‎