2017-2018学年山东省栖霞二中高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年山东省栖霞二中高二下学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年东省栖霞二中高二下学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．现有党员6名，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为（ ）‎ A. 15 B. 14 C. 13 D. 12‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：直接利用组合数求解即可．‎ 详解：现有党员6名，从中任选2名参加党员活动，则不同选法的种数为 ‎ 故选A 点睛：本题考查组合的应用，属基础题..‎ ‎2．展开式中第5项的二项式系数为（ ）‎ A. 56 B. 70 C. 1120 D. -1120‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：直接利用二项展开式的通项公式求解即可.‎ 详解：展开式的通项公式为 则展开式中第5项的二项式系数为 ‎ 点睛：本题考查二项展开式的通项公式，属基础题.‎ ‎3．自2020年起，山东夏季高考成绩由“”组成，其中第一个“3”指语文、数学、英语3科，第二个“3”指学生从物理、化学、生物、政治、历史、地理6科中任选3科作为选考科目.某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为（ ）‎ A. 6 B. 7 C. 8 D. 9‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：直接利用组合数进行计算即可.‎ 详解：某同学计划从物理、化学、生物3科中任选两科，从政治、历史、地理3科中任选1科作为选考科目，则该同学3科选考科目的不同选法的种数为种.‎ 故选D.‎ 点睛：本题考查组合的应用，属基础题..‎ ‎4．已知随机变量服从正态分布，且，则（ ）‎ A. 0.6826 B. 0.1587 C. 0.1588 D. 0.3413‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据随机变量符合正态分布，知这组数据是以为对称轴的，根据所给的区间的概率与要求的区间的概率之间的关系，单独要求的概率的值．‎ 详解：∵机变量服从正态分布，， ， ∴.‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查根据正态曲线的性质求某一个区间的概率，属基础题．‎ ‎5．设随机变量的分布列为，则（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据方差的定义计算即可.‎ 详解：随机变量的分布列为，则则 、‎ 故选D 点睛：本题考查随机变量的数学期望和方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意方差计算公式的合理运用．‎ ‎6．下列关于正态分布的命题：‎ ‎①正态曲线关于轴对称；‎ ‎②当一定时，越大，正态曲线越“矮胖”，越小，正态曲线越“瘦高”；‎ ‎③设随机变量，则的值等于2；‎ ‎④当一定时，正态曲线的位置由确定，随着的变化曲线沿轴平移.‎ 其中正确的是（ ）‎ A. ①② B. ③④ C. ②④ D. ①④‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据正态分布的定义，及正态分布与各参数的关系结合正态曲线的对称性，逐一分析四个命题的真假，可得答案．‎ 详解：①正态曲线关于轴对称，故①不正确，‎ ‎②当一定时，越大，正态曲线越“矮胖”，越小，正态曲线越“瘦高”；正确；‎ ‎③设随机变量，则的值等于1；故③不正确；‎ ‎④当一定时，正态曲线的位置由确定，随着的变化曲线沿轴平移.正确.‎ 故选C.‎ 点睛：本题以命题的真假判断为载体考查了正态分布及正态曲线，熟练掌握正态分布的相关概念是解答的关键．‎ ‎7．已知函数与的图象如图所示，则函数（ ）‎ A. 在区间上是减函数 B. 在区间上是减函数 C. 在区间上减函数 D. 在区间上是减函数 ‎【答案】B ‎【解析】分析：求出函数的导数，结合图象求出函数的递增区间即可．‎ 详解：， 由图象得：时， ， ‎ 故在递增， 故选：B．‎ 点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查数形结合思想，考查导数的应用，是一道中档题． ‎ ‎8．可以整除（其中）的是（ ）‎ A. 9 B. 10 C. 11 D. 12‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：，利用二项展开式可证明能被11整除.‎ 详解： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ .‎ 故能整除 （其中）的是11.‎ 故选C .‎ 点睛：本题考查利用二项式定理证明整除问题，属基础题.‎ ‎9．下列关于独立性检验的叙述：‎ ‎①常用等高条形图展示列联表数据的频率特征；‎ ‎②独立性检验依据小概率原理；‎ ‎③样本不同，独立性检验的结论可能有差异；‎ ‎④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越小，与有关系的把握程度就越大.‎ 其中正确的个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：根据独立性检验的定义及思想，可得结论．‎ 详解：①常用等高条形图展示列联表数据的频率特征；正确；‎ ‎②独立性检验依据小概率原理；正确；‎ ‎③样本不同，独立性检验的结论可能有差异；正确；‎ ‎④对分类变量与的随机变量的观测值来说，越大，与有关系的把握程度就越大.故④错误.‎ 故选C.‎ 点睛：本题考查了独立性检验的原理，考查了推理能力，属于基础题．‎ ‎10．在的展开式中，含项的系数为（ ）‎ A. 45 B. 55 C. 120 D. 165‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：由题意可得展开式中含项的系数为 ，再利用二项式系数的性质化为 ，从而得到答案．‎ 详解：的展开式中含项的系数为 故选D.‎ 点睛：本题主要考查二项式定理的应用，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．‎ ‎11．设函数，若是函数的极大值点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：的定义域为 ，由 得 所以 能求出的取值范围．‎ 详解：的定义域为 ，由 得 所以． ①若 ，当时，，此时单调递增； 当时， ，此时单调递减．所以是函数的极大值点． ‎ 满足题意，所以成立． ②若，由，得，当 时，即 ，此时 当时，，此时单调递增； 当时， ，此时单调递减．所以是函数的极大值点． 满足题意，所以成立．． 如果 函数取得极小值，不成立； ②若 ，由 ，得． 因为是f（x）的极大值点，成立； 综合①②：的取值范围是 ． 故选：A．‎ 点睛：本题考查函数的单调性、极值等知识点的应用，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．‎ ‎12．已知定义在上的函数无极值点，且对任意都有，若函数在上与函数具有相同的单调性，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：易得函数是单调函数，令，则 ，（为常数），求出的单调性，从而求出在的单调性，得到在恒成立，求出的范围即可．‎ 详解：∵定义在上的函数的导函数无零点，∴函数是单调函数， 令，则， 在]恒成立，故在递增， 结合题意在上递增， 故在恒成立， 故 在恒成立，故 ， ‎ 故选：A．‎ 点睛：本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题 二、填空题 ‎13．用0到9这10个数字，组成没有重复数字且能被5整除的三位数的个数为__________．‎ ‎【答案】136‎ ‎【解析】分析：由题意，末尾是0或5，分类讨论，即可得出结论．‎ 详解：由题意，末尾是0或5． 末尾是0时，没有重复数字且被5整除的三位数有 ， 末尾是5时，没有重复数字且被5整除的三位数有， ∴用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字且被5整除的三位数有，‎ 即答案为136.‎ 点睛：本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎14．加工某种零件需要两道工序，第一道工序出废品的概率为0.4，两道工序都出废品的概率为0.2，则在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率为__________．‎ ‎【答案】0.5‎ ‎【解析】分析：利用条件概率求解.‎ 详解：设第一道工序出废品为事件 则 ，第二道工序出废品为事件，则根据题意可得，故在第一道工序出废品的条件下，第二道工序又出废品的概率 ‎ 即答案为0.5‎ 点睛：本题考查条件概率的求法，属基础题.‎ ‎15．总决赛采用7场4胜制，2018年总决赛两支球队分别为勇士和骑士，假设每场比赛勇士获胜的概率为0.7，骑士获胜的概率为0.3，且每场比赛的结果相互独立，则恰好5场比赛决出总冠军的概率为__________．‎ ‎【答案】0.3108‎ ‎【解析】分析：设“勇士以比分4：1获胜”为事件，“第 场比赛取胜”记作事件，由 ‎ 能求出勇士队以比分4：1获胜的概率．‎ 设“骑士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由 ‎ 能求出骑士队以比分4：1获胜的概率．‎ 则恰好5场比赛决出总冠军的概率为.‎ 详解：设“勇士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由 ‎ 能求出勇士队以比分4：1获胜的概率．则 ‎ ‎ 设“骑士以比分4：1获胜”为事件，“第场比赛取胜”记作事件，由 ‎ 能求出骑士队以比分4：1获胜的概率．则 则恰好5场比赛决出总冠军的概率为 即答案为0.3108.‎ 点睛：本题主要考查了次独立重复试验中恰好发生次的概率，同时考查了分析问题的能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎16．已知函数，给出以下结论：‎ ‎①曲线在点处的切线方程为；‎ ‎②在曲线上任一点处的切线中有且只有两条与轴平行；‎ ‎③若方程恰有一个实数根，则；‎ ‎④若方程恰有两个不同实数根，则或.‎ 其中所有正确结论的序号为__________．‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】分析：对函数进行求导，通过导数研究函数的性质从而得到答案．‎ 详解：，‎ ‎①则曲线在点处的切线方程为 ‎ 即，故①不正确；‎ ‎②令或，即在曲线上任一点处的切线中有且只有两条与轴平行；正确；‎ ‎③由②知函数在上单调递减，在上单调递增，当函数的极小值 极大值 故若方程恰有一个实数根，则或，③不正确；‎ ‎④若方程恰有两个不同实数根，则或.正确 点睛：本题考查导数的应用以及数形结合思想，是一道中档题．‎ 三、解答题 ‎17．已知 .‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）当时，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）分别令，，两式相加可得的值；‎ 设最大，则有，即解之即可.‎ 详解：‎ ‎（1）令可得， ， ‎ 令可得， ，‎ 两式相加可得：，‎ 所以； ‎ ‎（2）因为，所以， ‎ 设最大，则有，即，解得， ‎ 因为，所以， ‎ 此时的最大值为.‎ 点睛：本题主要考查二项式定理的应用，属于中档题．‎ ‎18．食品安全一直是人们关心和重视的问题，学校的食品安全更是社会关注的焦点.某中学为了加强食品安全教育，随机询问了36名不同性别的中学生在购买食品时是否看保质期，得到如下“性别”与“是否看保质期”的列联表：‎ 男 女 总计 看保质期 ‎8‎ ‎22‎ 不看保持期 ‎4‎ ‎14‎ 总计 ‎（1）请将列联表填写完整，并根据所填的列联表判断，能否有的把握认为“性别”与“是否看保质期”有关？‎ ‎（2）从被询问的14名不看保质期的中学生中，随机抽取3名，求抽到女生人数的分布列和数学期望.‎ 附：，（）.‎ 临界值表：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）有的把握认为“性别”与“是否看食品保质期”有关系 ‎（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】（‎ 分析：1）将列联表填写完整，求出，然后判断性别与是否看保质期之间是否有关系． （2）判断的取值为0，1，2．3，求出概率，然后得到分布列，求解期望即可．‎ 详解：‎ ‎（1）填表如下：‎ 男 女 总计 看保质期 ‎8‎ ‎14‎ ‎22‎ 不看保质期 ‎10‎ ‎4‎ ‎14‎ 总计 ‎18‎ ‎18‎ ‎36‎ 根据列联表中的数据，可得 ‎.‎ 故有的把握认为“性别”与“是否看食品保质期”有关系. ‎ ‎（2）由题意可知，的所有可能取值为， ‎ ‎，，‎ ‎，，‎ 所以. ‎ 点睛：本题考查离散型随机变量的分布列期望的求法，对立检验的应用，考查计算能力．‎ ‎19．随着共享单车的蓬勃发展，越来越多的人将共享单车作为短距离出行的交通工具.为了解不同年龄的人们骑乘单车的情况，某共享单车公司对某区域不同年龄的骑乘者进行了调查，得到数据如下：‎ 年龄 ‎15‎ ‎25‎ ‎35‎ ‎45‎ ‎55‎ ‎65‎ 骑乘人数 ‎95‎ ‎80‎ ‎65‎ ‎40‎ ‎35‎ ‎15‎ ‎（1）求关于的线性回归方程，并估计年龄为40岁人群的骑乘人数；‎ ‎（2）为了回馈广大骑乘者，该公司在五一当天通过向每位骑乘者的前两次骑乘分别随机派送一张面额为1元，或2元，或3元的骑行券.已知骑行一次获得1元券，2元券，3元券的概率分别是，，，且每次获得骑行券的面额相互独立.若一名骑乘者五一当天使用了两次该公司的共享单车，记该骑乘者当天获得的骑行券面额之和为，求的分布列和数学期望.‎ 参考公式： ，.‎ 参考数据：，.‎ ‎【答案】（1）大致为55人（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】分析：（1）根据题意求得，代入公式求得回归直线方程，令代入方程 可估计年龄为40岁人群的骑乘人数；‎ ‎（2）由题意．的所有可能取值为．分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和数学期望．‎ 详解：‎ ‎（1）由题意可知，‎ 代入公式可得，， ‎ ‎，‎ 所以线性回归方程为，‎ 令可得，，‎ 故年龄为40岁人群的骑乘人数大致为55人. ‎ ‎（2）由题意可知的所有可能取值为，其相应概率为： ‎ ‎，，，‎ ‎，， ‎ 所以的分布列为：‎ X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ P ‎. ‎ 点睛：本题考查回归直线方程的求法及其应用，考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求法及应用，考查古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．‎ ‎20．已知函数（是自然对数的底数）.‎ ‎（1）当时，求函数在上的最大值和最小值；‎ ‎（2）当时，讨论函数的单调性.‎ ‎【答案】（1） ， （2）见解析 ‎【解析】分析：（1）当时，，，‎ 令，可得或， 列表可求函数在上的最大值和最小值；‎ ‎（2）由题意 ‎，‎ 分类讨论可求函数的单调性.‎ 详解：‎ ‎（1）当时，，，‎ 令，可得或， ‎ 则有：‎ 减 极小值 增 极大值 减 因为， ，‎ 所以 ， .‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 当时，，函数在上单调递增；‎ 当时，，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减； ‎ 当时，，当或时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减； ‎ 综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减；当时，在在上单调递增；当时，在，上单调递增，在上单调递减. ‎ 点睛：本题考查利用导数研究函数的性质，属中档题.‎ ‎21．“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的公众账号.用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己及好友每日行走的步数、排行榜，也可以与其他用户进行运动量的或点赞.现从某用户的“微信运动”朋友圈中随机选取40人，记录他们某一天的行走步数，并将数据整理如下：‎ 步数/步 ‎0～2000‎ ‎2001～5000‎ ‎5001～8000‎ ‎8001～10000‎ ‎10000以上 男性人数/人 ‎1‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎5‎ ‎4‎ 女性人数/人 ‎0‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎2‎ 规定：用户一天行走的步数超过8000步时为“运动型”，否则为“懈怠型”.‎ ‎（1）将这40人中“运动型”用户的频率看作随机抽取1人为“运动型”用户的概率.从该用户的“微信运动”朋友圈中随机抽取4人，记为“运动型”用户的人数，求和的数学期望；‎ ‎（2）现从这40人中选定8人（男性5人，女性3人），其中男性中“运动型”有3人，“懈怠型”有2人，女性中“运动型”有2人，“懈怠型”有1人.从这8人中任意选取男性3人、女性2人，记选到“运动型”的人数为，求的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（1），（2）分布列见解析，‎ ‎【解析】分析：（1）由题意可知，“运动型”的概率为， 且 ,由此可求求和的数学期望；‎ ‎（2）由题意可知，的所有取值为，求出相应的概率，即可得到的分布列和数学期望.‎ 详解：‎ ‎（1）由题意可知，“运动型”的概率为， ‎ 且 ,则， ‎ ‎. ‎ ‎（2）由题意可知，的所有取值为， ‎ 相应的概率分别为：‎ ‎,， ‎ ‎，， ‎ 所以的分布列为：‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎. ‎ 点睛：本题考查二项分布，超几何分布及其期望，属基础题.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若函数在上为增函数，求的取值范围；‎ ‎（2）若函数有两个不同的极值点，记作，，且，证明：（为自然对数的底数）.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）由题意可知，函数的定义域为，，因为函数在为增函数，所以在上恒成立，等价于，‎ 由此可求的取值范围；‎ ‎（2）求出，因为有两极值点，所以， ‎ 设令，则，上式等价于要证，令，根据函数的单调性证出即可．‎ 详解：‎ ‎（1）由题意可知，函数的定义域为，‎ ‎， ‎ 因为函数在为增函数，所以在上恒成立，‎ 等价于在上恒成立，即，‎ 因为，所以，‎ 故的取值范围为. ‎ ‎（2）可知，‎ 所以， ‎ 因为有两极值点，所以， ‎ 欲证，等价于要证：，即，‎ 所以，因为，所以原式等价于要证明：，①‎ 由，可得，则有，②‎ 由①②原式等价于要证明：，即证，‎ 令，则，上式等价于要证， ‎ 令，则 因为，所以，所以在上单调递增，‎ 因此当时，，即.‎ 所以原不等式成立，即. ‎ 点睛：本题考查了函数的单调性，考查导数的应用以及不等式的证明，属难题．‎