2017-2018学年河南省南阳一中高二上学期第三次月考数学试题（文科）（解析版）

2017-2018学年河南省南阳一中高二上学期第三次月考数学试题（文科）（解析版）

‎2017-2018学年河南省南阳一中高二（上）第三次月考数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．a2＜b2 B．ab2＜a2b C． D．‎ ‎2．（5分）Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，a2+a3+a4=42，a3+a4+a5=84，则 S3=（　　）‎ A．12 B．21 C．36 D．48‎ ‎3．（5分）椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1作x轴的垂线交C于点P．若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（5分）已知等差数列1，a，b，等比数列4，a﹣1，b+4，则该等比数列的公比为（　　）‎ A． B． C．或 D．10或﹣2‎ ‎5．（5分）在△ABC中，若b=8，c=3，A=60°，则此三角形外接圆的半径为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（　　）‎ A．4 B． C．6 D．‎ ‎7．（5分）已知过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|（其中点B位于A、C之间），且|AF|=4，则此抛物线的方程为（　　）‎ A．y2=2x B．y2=6x C．y2=4x D．y2=8x ‎8．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎9．（5分）已知点P是抛物线y2=4x上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎10．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）A、B分别是椭圆+=1的左顶点和上顶点，C是该椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为（　　）‎ A．﹣ B．+ C．+2 D．2+‎ ‎12．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是　 　．‎ ‎14．（5分）已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：　 　．‎ ‎15．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若，则k=　 　．‎ ‎16．（5分）给出下列命题：‎ ‎①△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＞b，则cosA＜cosB，cos2A＜cos2B；‎ ‎②a，b∈R，若a＞b，则a3＞b3；‎ ‎③若a＜b，则＜；‎ ‎④设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2016﹣S1=1，则S2017＞1．‎ 其中正确命题的序号是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）如图，在△ABC中，已知，且三内角A，B，C满足：2sinA+sinC=2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．‎ ‎18．（12分）已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=110，且a1，a2，a4成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎19．（12分）在△‎ ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bsinA=3asinC，cosA=．‎ ‎（1）若b=3，求a的值；‎ ‎（2）若△ABC的面积S=，求sinB的值．‎ ‎20．（12分）已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x﹣2y﹣1=0截得的弦长为，求此抛物线方程．‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1．‎ ‎（1）当a∈R时，求关于x的不等式f（x）＜0的解集；‎ ‎（2）若f（x）≤x3﹣x2+1在上恒成立，求a的取值范围．‎ ‎22．（12分）如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=|BF|．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点（0，2），且l交椭圆C于P、Q两点，OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年河南省南阳一中高二（上）第三次月考数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是（　　）‎ A．a2＜b2 B．ab2＜a2b C． D．‎ ‎【分析】由不等式的相关性质，对四个选项逐一判断，由于a，b为非零实数，故可利用特例进行讨论得出正确选项 ‎【解答】解：A选项不正确，因为a=﹣2，b=1时，不等式就不成立；‎ B选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；‎ C选项正确，因为⇔a＜b，故当a＜b时一定有；‎ D选项不正确，因为a=1，b=2时，不等式就不成立；‎ 选项正确，因为y=2x是一个增函数，故当a＞b时一定有2a＞2b，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查不等关系与不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的有关性质，且能根据这些性质灵活选用方法进行判断，如本题采用特值法排除三个选项，用单调性判断正确选项．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）Sn 为等比数列{an}的前 n 项和，a2+a3+a4=42，a3+a4+a5=84，则 S3=（　　）‎ A．12 B．21 C．36 D．48‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式求和公式及其性质即可得出．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a2+a3+a4=42，a3+a4+a5=84，‎ ‎∴q===2，a1（2+22+23）=42，解得a1=3．‎ 则 S3=3×（1+2+22）=21．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式求和公式及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）椭圆的左右焦点分别为F1、F2，过F1作x轴的垂线交C于点P．若∠F1PF2=60°，则椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】方法一：根据椭圆的通径公式，求得|PF1|=，则∠PF2F1=30°，则|PF2|=，根据椭圆的定义，即可求得=，即可求得椭圆的离心率；‎ 方法二：利用特殊值代入，根据勾股定理及椭圆的定义，即可求得椭圆的离心率；‎ 方法三：根据焦点三角形的面积公式，求得=，即可求得椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：方法一：由PF1⊥F1F2，则|PF1|=，由∠F1PF2=60°，则∠PF2F1=30°，则|PF2|=，‎ 由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|==2a，‎ 则=，椭圆的离心率e===，‎ 故选C．‎ 方法二：由PF1⊥F1F2，设|PF1|=1，由∠F1PF2=60°，则∠PF2F1=30°，则|PF2|=2，‎ 由勾股定理可知：（2c）2=|PF2|2﹣|PF1|2=3，‎ ‎∴2c=，由椭圆的定义|PF1|+|PF2|=3=2a，‎ ‎∴椭圆的离心率e==，‎ 故选C．‎ 方法三：由焦点三角形的面积公式S=b2tan，∠F1PF2=θ，‎ 由PF1⊥F1F2，则|PF1|=，‎ ‎∴b2tan30°=×2c×，则=，‎ 椭圆的离心率e==，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的离心率的求法，考查焦点三角形的面积公式及椭圆的定义，选择合适的方法，考查转化思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知等差数列1，a，b，等比数列4，a﹣1，b+4，则该等比数列的公比为（　　）‎ A． B． C．或 D．10或﹣2‎ ‎【分析】利用等差数列以及等比数列列出方程组，求解即可．‎ ‎【解答】解：等差数列1，a，b，等比数列4，a﹣1，b+4，‎ 可得，解得：a=11，b=21，或a=﹣1，b=﹣3，‎ a=11时，等比数列的公比为：；a=﹣1时，等比数列的公比为：﹣；‎ 则该等比数列的公比为：=或．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查等差数列以及等比数列的综合应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）在△ABC中，若b=8，c=3，A=60°，则此三角形外接圆的半径为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】利用余弦定理列出关系式，把b，c，cosA的值代入求出a的值，再利用正弦定理即可求出三角形外接圆半径．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，b=8，c=3，A=60°，‎ ‎∴由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=64+9﹣24=49，即a=7，‎ 由正弦定理得：=2R，即R===．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z=3x+2y的最小值为（　　）‎ A．4 B． C．6 D．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，根据z的几何意义，利用数形结合即可得到最小值．‎ ‎【解答】解：不等式组对应的平面区域如图：‎ 由z=3x+2y得y=﹣x+，平移直线y=﹣x+，‎ 则由图象可知当直线y=﹣x+，经过点A时直线y=﹣x+的截距最小，‎ 此时z最小，‎ 由，解得，即A（1，），‎ 此时z=3×1+2×=，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查线性规划的应用，根据z的几何意义，利用数形结合是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知过抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线于点C，若|BC|=2|BF|（其中点B位于A、C之间），且|AF|=4，则此抛物线的方程为（　　）‎ A．y2=2x B．y2=6x C．y2=4x D．y2=8x ‎【分析】分别过A、B作准线的垂线，利用抛物线定义将A、B到焦点的距离转化为到准线的距离，结合已知比例关系，在直角三角形ADC中求线段GF长度即可得p值，进而可得方程．‎ ‎【解答】解：如图，过A作AD垂直于抛物线的准线，垂足为D，‎ 过B作BE垂直于抛物线的准线，垂足为E，G为准线与x轴的焦点，‎ 由抛物线的定义，|BF|=|BE|，|AF|=|AD|=4，‎ ‎∵|BC|=2|BF|，∴|BC|=2|BE|，则∠DCA=30°，‎ ‎∴|AC|=2|AD|=8，可得|CF|=8﹣4=4，‎ ‎∴|GF|==2，即p=|GF|=2，‎ ‎∴抛物线方程为：y2=4x，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，转化化归的思想方法，属中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）的两条渐近线均和圆C：x2+y2﹣6x+5=0相切，且双曲线的右焦点为圆C的圆心，则该双曲线的方程为（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1 C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【分析】先利用圆的一般方程，求得圆心坐标和半径，从而确定双曲线的焦距，得a、b间的一个等式，再利用直线与圆相切的几何性质，利用圆心到渐近线距离等于圆的半径，得a、b间的另一个等式，联立即可解得a、b的值，从而确定双曲线方程 ‎【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣6x+5=0的圆心C（3，0），半径r=2‎ ‎∴双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点坐标为（3，0），即c=3，∴a2+b2=9，①‎ ‎∵双曲线（a＞0，b＞0）的一条渐近线方程为bx﹣ay=0，‎ ‎∴C到渐近线的距离等于半径，即=2 ②‎ 由①②解得：a2=5，b2=4‎ ‎∴该双曲线的方程为 故选 A ‎【点评】本题主要考查了圆的一般方程，直线与圆的位置关系及其应用，双曲线的标准方程及其求法，双曲线的几何性质及其运用，两曲线的综合运用 ‎　‎ ‎9．（5分）已知点P是抛物线y2=4x上的一个动点，则点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【分析】求得焦点坐标，根据抛物线的定义，则P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到（0，2）与P到该抛物线准线的距离的和减去1．根据勾股定理即可求得|AF|．‎ ‎【解答】解：抛物线：y2=4x，抛物线的焦点坐标（1，0），．‎ 依题点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值，就是P到（0，2）与P到该抛物线准线的距离的和减去1．‎ 由抛物线的定义，可得则点P到点A（0，2）的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离之和减1，‎ 可得：﹣1=﹣1，‎ 点P到点A（0，2）的距离与点P到y轴的距离之和的最小值为﹣1，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的性质及定义，考查转化思想，数形结合思想的应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）如图F1、F2是椭圆C1：+y2=1与双曲线C2的公共焦点，A、B分别是C1、C2在第二、四象限的公共点，若四边形AF1BF2为矩形，则C2的离心率是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】不妨设|AF1|=x，|AF2|=y，依题意，解此方程组可求得x，y的值，利用双曲线的定义及性质即可求得C2的离心率．‎ ‎【解答】解：设|AF1|=x，|AF2|=y，∵点A为椭圆C1：+y2=1上的点，‎ ‎∴2a=4，b=1，c=；‎ ‎∴|AF1|+|AF2|=2a=4，即x+y=4；①‎ 又四边形AF1BF2为矩形，‎ ‎∴+=，即x2+y2=（2c）2==12，②‎ 由①②得：，解得x=2﹣，y=2+，设双曲线C2的实轴长为2m，焦距为2n，‎ 则2m=|AF2|﹣|AF1|=y﹣x=2，2n=2c=2，‎ ‎∴双曲线C2的离心率e===．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查椭圆与双曲线的简单性质，求得|AF1|与|AF2|是关键，考查分析与运算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）A、B分别是椭圆+=1的左顶点和上顶点，C是该椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为（　　）‎ A．﹣ B．+ C．+2 D．2+‎ ‎【分析】推导出A（﹣2，0），B（0，），|AB|=，从而直线AB的方程为，设C（2cosθ，），点C到直线AB的距离d=，当sin（）=1时，dmax=，由此能出△ABC面积的最大值．‎ ‎【解答】解：∵A、B分别是椭圆+=1的左顶点和上顶点，‎ ‎∴A（﹣2，0），B（0，），|AB|==，‎ 直线AB的方程为：，即，‎ ‎∵C是该椭圆上的动点，‎ ‎∴设C（2cosθ，），‎ 则点C到直线AB的距离：‎ d==，‎ ‎∴当sin（）=1时，dmax=，‎ ‎∴△ABC面积的最大值为（S△ABC）max===．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查三角形面积的最大值的求法，考查椭圆性质、椭圆的参数方程、三角函数性质等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）是椭圆=1（a＞b＞0）的左右两个焦点，P为椭圆上的一点，且，则椭圆的离心率的取值范围为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】设P（x0，y0），则，可得：=．由于，可得=c2，化为=，利用，及其离心率计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：设P（x0，y0），则，‎ ‎∴=．‎ ‎∵，‎ ‎∴（﹣c﹣x0，﹣y0）•（c﹣x0，﹣y0）=c2，‎ 化为=c2，‎ ‎∴=2c2，‎ 化为=，‎ ‎∵，‎ ‎∴0≤≤a2，‎ 解得．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、数量积运算性质、不等式的解法，考查了变形能力、推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．（5分）若2x+2y=1，则x+y的取值范围是　（﹣∞，﹣2]　．‎ ‎【分析】利用基本不等式构造出2x•2y，利用指数的运算性质，即可求得x+y的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵2x＞0，2y＞0，‎ ‎∴2x+2y≥=，‎ 当且仅当2x=2y，即x=y时取“=”，‎ ‎∵2x+2y=1，‎ ‎∴≤1，即=2﹣2，‎ ‎∴x+y≤﹣2，‎ ‎∴x+y的取值范围是（﹣∞，﹣2]．‎ 故答案为：（﹣∞，﹣2]．‎ ‎【点评】本题考查了基本不等式在最值问题中的应用．在应用基本不等式求最值时要注意“一正、二定、三相等”的判断．运用基本不等式解题的关键是寻找和为定值或者是积为定值，难点在于如何合理正确的构造出定值．属于中档题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）已知点（1，1）是椭圆某条弦的中点，则此弦所在的直线方程为：　x+2y﹣3=0　．‎ ‎【分析】设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），A（1，1）为EF中点，x1+x2=2，y1+y2=2，利用点差法能够求出以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程．‎ ‎【解答】解：设以A（1，1）为中点椭圆的弦与椭圆交于E（x1，y1），F（x2，y2），‎ ‎∵A（1，1）为EF中点，‎ ‎∴x1+x2=2，y1+y2=2，‎ 把E（x1，y1），F（x2，y2）分别代入椭圆，‎ 可得，‎ 两式相减，可得（x1+x2）（x1﹣x2）+2（y1+y2）（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴2（x1﹣x2）+4（y1﹣y2）=0，‎ ‎∴=﹣‎ ‎∴以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y﹣1=﹣（x﹣1），‎ 整理，得x+2y﹣3=0．‎ 故答案为：x+2y﹣3=0．‎ ‎【点评】本题考查以A（1，1）为中点椭圆的弦所在的直线方程的求法，考查点差法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的离心率为 ‎，过右焦点F且斜率为k（k＞0）的直线与C相交于A、B两点，若，则k=　　．‎ ‎【分析】A（x1，y1），B（x2，y2），设a=2t，c=t，b=t，设直线AB方程为x=sy+t，由此可知．‎ ‎【解答】解：A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∵=3，∴y1=﹣3y2，‎ ‎∵e=，设a=2t，c=t，b=t，‎ ‎∴x2+4y2﹣4t2=0①，‎ 设直线AB方程为x=sy+t，‎ 代入①中消去x，可得（s2+4）y2+2sty﹣t2=0，‎ ‎∴y1+y2=﹣，y1y2=﹣，﹣2y2=﹣，﹣3=﹣，‎ 解得s2=，k=．‎ 故答案：．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）给出下列命题：‎ ‎①△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＞b，则cosA＜cosB，cos2A＜cos2B；‎ ‎②a，b∈R，若a＞b，则a3＞b3；‎ ‎③若a＜b，则＜；‎ ‎④设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2016﹣S1=1，则S2017＞1．‎ 其中正确命题的序号是　①②④　．‎ ‎【分析】由正弦定理及同角三角函数的基本关系判断①；由不等式的性质判断②；举例说明③错误；由已知结合等差数列的通项公式及前n项和推出S2017＞1判断④．‎ ‎【解答】解：①，△ABC中角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a＞b，由正弦定理得sinA＞sinB，利用同角三角函数的基本关系可得cosA＜cosB，‎ 由sinA＞sinB＞0，得sin2A＞sin2B，∴1﹣2sin2A＜1﹣2sin2B，则cos2A＜cos2B，故①正确；‎ ‎②，a，b∈R，若a＞b，由不等式的性质得a3＞b3，故②正确；‎ ‎③，取a=1，b=3，x=1，满足a＜b，＞，故③错误；‎ ‎④，等差数列{an}的前n项和为Sn，若S2016﹣S1=1，则a2+a3+…+a2016=1，‎ ‎∴2015a1+（d+2d+…+2015d）=1，则，‎ ‎∴，即，则S2017=2017＞1，故④正确．‎ ‎∴正确命题的个数是①②④．‎ 故答案为：①②④．‎ ‎【点评】本题考查命题的真假判断与应用，考查了三角形中的边角关系，训练了等差数列通项公式及前n项和的应用，是中档题．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（10分）如图，在△ABC中，已知，且三内角A，B，C满足：2sinA+sinC=2sinB，建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程．‎ ‎【分析】以AB的中点为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立直角坐标系，利用正弦定理得：2a+c=2b，可得C的轨迹为焦点在x轴上的双曲线的右支，即可求顶点C的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示平面直角坐标系 ‎∴‎ ‎∵2sinA+sinC=2sinB ‎∴由正弦定理得：2|BC|+|AB|=2|AC|‎ ‎∴．‎ ‎∴由双曲线的定义知，点C的轨迹以A，B为焦点，‎ 以为实轴长的双曲线的右支（除去与x轴的交点）‎ ‎∴‎ ‎∴顶点C的轨迹方程为．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的定义与方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若S10=110，且a1，a2，a4成等比数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）若bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【分析】（1）根据{an}为等差数列，前n项和为Sn，S10=110，且a1，a2，a4成等比数列．利用公式即可求解公差和首项，可得数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）将an的带入求解bn的通项公式，利用“裂项求和”即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）根据{an}为等差数列，d≠0．‎ 前n项和为Sn，且S10=110，即110=10a1+45d，…①‎ ‎∵a1，a2，a4成等比数列．可得：a22=a1•a4．‎ ‎∴（a1+d）2=a1•（a1+3d）…②‎ 由①②解得：，‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an=2n ‎（2）由bn=，即bn==．‎ 那么：数列{bn}的前n项和Tn=b1+b2+…+bn=（1﹣++…+）=（1﹣）‎ ‎【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且bsinA=3asinC，cosA=．‎ ‎（1）若b=3，求a的值；‎ ‎（2）若△ABC的面积S=，求sinB的值．‎ ‎【分析】（1）利用正弦定理化简已知等式，根据a不为0得到b=3c，把b的值代入求出c的值，利用余弦定理表示出cosA，将各自的值代入即可求出a的值；‎ ‎（2）利用平方关系求出sinA，结合三角形面积求出b，c的值，再由余弦定理求得a，最后由正弦定理求得sinB的值．‎ ‎【解答】解：（1）利用正弦定理化简bsinA=3asinC，得：ab=3ac，‎ ‎∵a≠0，∴b=3c，‎ 把b=3代入得：c=1，‎ 由余弦定理得：cosA===，‎ 解得：a=；‎ ‎（2）∵cosA=，‎ ‎∴sinA==，‎ 由S△ABC=bc•sinA=•3c2•=，得c=，‎ ‎∴b=3，‎ 由a2=b2+c2﹣2bc•cosA=18+2﹣2×3××=12，‎ 得a=2，‎ 由=，得sinB=sinA=×=．‎ ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理，熟练掌握正弦、余弦定理是解本题的关键，是中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知顶点在原点，焦点在y轴上的抛物线被直线x﹣2y﹣1=0截得的弦长为，求此抛物线方程．‎ ‎【分析】设抛物线的方程为x2=2py，与直线x﹣2y﹣1=0联立，利用弦长公式，即可求抛物线的方程．‎ ‎【解答】解：设直线与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 设抛物线的方程为x2=2py，与直线x﹣2y﹣1=0联立，消去y得x2﹣px+p=0，则x1+x2=p，x1•x2=p．‎ ‎|AB|=|x1﹣x2|=•=，‎ 化简可得p2﹣4p﹣12=0，∴p=6或﹣2，‎ ‎∴x2=12y或x2=﹣4y．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线标准方程，简单几何性质，直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）设函数f（x）=ax2﹣（a+1）x+1．‎ ‎（1）当a∈R时，求关于x的不等式f（x）＜0的解集；‎ ‎（2）若f（x）≤x3﹣x2+1在上恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）分类讨论，即可求出不等式的解集，‎ ‎（2）由f（x）≤x3﹣x2+1在上恒成立，分离参数，构造函数，利用基本不等式求出函数的最值即可．‎ ‎【解答】解：（1）若a=0，原不等式可化为﹣x+1＜0，解得x＞1；‎ 若a＜0，原不等式可化为，解得或x＞1；‎ 若a＞0，原不等式可化为，其解得情况应由 与1的大小关系确定，‎ 当a=1时，解得x∈∅；‎ 当a＞1时，解得；‎ 当0＜a＜1时，解得．‎ 综上，当a=0时，解集为{x|x＞1}；‎ 当a＜0时，解集为或x＞1}；‎ 当a=1时，解集为∅；‎ 当0＜a＜1时，解集为；‎ 当a＞1时，解集为．‎ ‎（2）由a2﹣（a+1）x+1≤x3﹣x2+1得a（x2﹣x）≤x3﹣x2+x，‎ ‎∵，∴x2﹣x＞0，∴‎ ‎∴f（x）≤x3﹣x2+x在上恒成立，即在上恒成立，‎ 令，则只需a≤g（x）min又∵，∴x﹣1＞0‎ ‎∴，当且仅当x=2时等式成立．‎ ‎∴a的取值范围是（﹣∞，3]．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的恒成立问题，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）如图，椭圆C：+=1（a＞b＞0）的右焦点为F，右顶点、上顶点分别为点A、B，且|AB|=|BF|．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）若斜率为2的直线l过点（0，2），且l交椭圆C于P、Q两点，OP⊥OQ．求直线l的方程及椭圆C的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）利用|AB|=|BF|，求出a，c的关系，即可求椭圆C的离心率；‎ ‎（Ⅱ）直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0与椭圆C：联立，OP⊥OQ，可得，‎ 利用韦达定理，即可求出椭圆C的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由已知，‎ 即，4a2+4b2=5a2，4a2+4（a2﹣c2）=5a2，∴．…（5分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知a2=4b2，∴椭圆C：．‎ 设P（x1，y1），Q（x2，y2），‎ 直线l的方程为y﹣2=2（x﹣0），即2x﹣y+2=0．‎ 由，‎ 即17x2+32x+16﹣4b2=0．‎ ‎．‎ ‎，．…（9分）‎ ‎∵OP⊥OQ，∴，‎ 即x1x2+y1y2=0，x1x2+（2x1+2）（2x2+2）=0，5x1x2+4（x1+x2）+4=0．‎ 从而，解得b=1，‎ ‎∴椭圆C的方程为．…（13分）‎ ‎【点评】‎ 本题考查椭圆方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，属于中档题．‎ ‎　‎