数学卷·2018届山东省菏泽市高三上学期期中考试数学（理）试题（B）（解析版）

数学卷·2018届山东省菏泽市高三上学期期中考试数学（理）试题（B）（解析版）

山东省菏泽市2018届高三上学期期中考试 数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合.若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，即是方程的根，所以，，故选C．‎ 点睛:集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性．‎ ‎2. 函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得：‎ ‎，解得：‎ ‎∴定义域为：‎ 故选：A ‎3. 已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】， ‎ 故选D ‎4. 下列函数中，既是偶函数又在区间上为增函数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】对于A，为非奇非偶函数，在区间上为增函数，错误；‎ 对于B， 为偶函数，在区间上为减函数，错误；‎ 对于C，为奇函数，在区间上为增函数，错误；‎ 对于D， 偶函数，在区间上为增函数，正确；‎ 故选;D ‎ ‎5. 将函数的图象向左平移个单位，所得的图象对应的函数解析式是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】的图象向左平移单位得到的图象，即将函数的图象向左平移个单位，所得的图象所对应的函数解析式是，故选C.‎ ‎6. 函数的一个零点落在区间（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：不难知，当x＞0时f（x）为增函数，且f（1）＝－1＜0，f（2）＝－＋1＝＞0‎ 所以零点一定在（1，2）内.选B 考点：函数的零点 ‎7. 在中，则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】由题意等价于,根据正弦定理可得,即,则中，“” 是“”的充要条件,故选C.‎ ‎8. 命题“且”的否定形式是（ ）‎ A. 且 B. 且 C. 或 D. 或 ‎【答案】C ‎【解析】命题“且”的否定形式是或 故选：C ‎9. 若，且，则的值为（ ）‎ A. 2 B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】易得：‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，即 故选：A ‎10. 若函数的图象与轴没有交点，则实数的取值范围是（ ）‎ A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】∵函数的图象与轴没有交点 ‎∴无解，即，‎ 又，∴，‎ 解得：或 故选：A 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ ‎11. 已知函数的图像为曲线，若曲线存在与直线少垂直的切线，则 实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】函数f（x）=ex-mx+1的导数为f′（x）=ex-m，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，即有有解，即 由ex＞0，则m＞则实数m的范围为 故选B ‎12. 已知函数，则不等式 的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】∵f（x）=，∴f（-x）=- x+ sinx =-f（x），即函数f（x）为奇函数， 函数的导数f′（x）= 1- cosx0， 则函数f（x）是增函数， 则不等式f（x+1）+f（2-2x）＞0等价为f（x+1）＞-f（2-2x）=f（2x-2）， 即x+1>2x-2， 解得x<3， 故不等式的解集为． 故选：C．‎ 点睛：本题考查不等式的解集的求法，解题时要认真审题，注意函数奇偶性、增减性的合理运用，推导出函数f（x）为奇函数，且函数f（x）是增函数，从而不等式f（x+1）+f（2-2x）＞0等价为f（x+1）＞f（2x-2），进而x+1>2x-2，由此能求出不等式的解集．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知是锐角，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，‎ 故答案为：‎ ‎14. 已知函数是定义在上的周期为2的奇函数，当时，，则 ‎__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵函数是定义在上的周期为2的奇函数，‎ ‎∴，又当时，，‎ ‎∴，又 ‎∴‎ 故答案为：-3‎ ‎15. 已知函数是函数的导函数，，对任意实数都有，设则不等式的解集为__________．‎ ‎【答案】‎ 点睛：本题考查利用导数研究函数的单调性，利用单调性，特值是解答该题的关键，由已知f（x）-f'（x）＞0，利用导数得单调性，把要求解的不等式转化为F（x）＜F（1）得答案．‎ ‎16. 已知函数，则下列命题正确的是__________(填上你认为正确的所有命题的序号）.‎ ‎①函数的最大值为2； ②函数的图象关于点对称；‎ ‎③函数的图像关于直线对称； ④函数在上单调递减 ‎【答案】①③④‎ ‎【解析】∵‎ ‎∴函数的最大值为2，①正确；‎ 当时，，②错误；‎ 当时，，③正确；‎ 当时，，④正确，‎ ‎∴下列命题正确的是①③④‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知命题.命题，使得.若为真，为假，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】的取值范围为或 ‎【解析】试题分析：先求得真，；若真，或，再根据为真，为假，即可求解实数的取值范围．‎ 试题解析：提示：若真，；若真，或，真，则真且真．．．．12分 考点：复合命题的真假判定与应用．‎ ‎18. 在中，内角的对边长分别为，且.‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】(1)(2).‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由正弦定理可化为，所以，从而可得，；（Ⅱ）由和结合余弦定理可解得，，从而可得．‎ 试题解析：（Ⅰ） 由得 得，∴‎ ‎∵， ∴，‎ ‎∴， 又，∴．‎ ‎（Ⅱ）∵，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴，，‎ 考点：1．正余弦定理的应用；2．三角函数的和差角公式；3．正弦定理求面积．‎ ‎19. 已知函数.‎ ‎（1）求的最小正周期；‎ ‎（2）求在区间上的最大值和最小值.‎ ‎【答案】(1) f(x)的最小正周期为T＝π;(2) f(x)最大值为＋1，最小值为0.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用平方和公式，二倍角的正弦函数公式，两角和的正弦函数公式即可化简为f（x）=Asin（ωx+φ）+k的形式，利用周期公式即可得解f（x）最小正周期；‎ ‎（2）由已知可求，利用正弦函数的图象和性质即可得解f（x）在区间上的最大值和最小值．‎ 试题解析：‎ ‎(1) ∵，‎ ‎∴f（x）的最小正周期为；‎ ‎ (2)由(1)的计算结果知，f(x)＝sin＋1.‎ ‎，‎ ‎∴，‎ ‎∴sin（2x+）∈[﹣，1]，‎ ‎∴．‎ 点睛：三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角，这是重要一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式 ；二看函数名称，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有切化弦；三看结构特征，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式要通分等.‎ ‎20. 已知函数.‎ ‎（1）若，求在处的切线方程；‎ ‎（2）若在区间上恰有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 当时，在区间上恰有两个零点.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出，利用导数的几何意义求切线斜率为，根据点斜式可得切线方程；（2）利用导数求出函数的极大值和极小值，利用在区间上恰有两个零点列不等式组，求解不等式组即可求的取值范围.‎ 试题解析：（1）由已知得,‎ 若时，有，, ‎ ‎∴在处的切线方程为：，化简得.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 因为且，令，得 所以当时，有，则是函数的单调递减区间；、‎ 当时，有，则是函数的单调递增区间． 9分 若在区间上恰有两个零点，只需，即,‎ 所以当时，在区间上恰有两个零点.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线以及利用导数研究函数零点问题，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.‎ ‎21. 已知函数 (其中为自然对数的底数).‎ ‎（1）当时，求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若函数在区间上单调递减，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1) 函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－]和[，＋∞);(2) m的取值范围是 ‎.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，利用导函数的符号，求解函数的单调增区间即可．（2）利用函数的导数，导函数小于0，分离变量，构造函数利用导数求解最值即可得到结果．‎ 试题解析：‎ ‎(1)当m＝－2时，f(x)＝(x2－2x)ex，‎ f′(x)＝(2x－2)ex＋(x2－2x)ex＝(x2－2)ex，‎ 令f′(x)≥0，即x2－2≥0，解得x≤－或x≥.‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－]和[，＋∞)‎ ‎(2)依题意，f′(x)＝(2x＋m)ex＋(x2＋mx)ex＝[x2＋(m＋2)x＋m]ex，‎ 因为f′(x)≤0对于x∈[1,3]恒成立，‎ 所以x2＋(m＋2)x＋m≤0，即m≤－＝－(x＋1)＋‎ 令g(x)＝－(x＋1)＋，则g′(x)＝－1－<0恒成立，‎ 所以g(x)在区间[1,3]上单调递减，g(x)min＝g(3)＝－，故m的取值范围是.‎ ‎ ‎ ‎22. 在某次水下科研考察活动中，需要潜水员潜入水深为60米的水底进行作业，根据以往经验，潜水员下潜的平均速度为(米/单位时间)，每单位时间的用氧量为（升)，在水底作业10个单位时间，每单位时间用氧量为0.9（升），返回水面的平均速度为（米/单位时间），每单位时间用氧量为1.5（升），记潜水员在此次考察活动中的总用氧量为 (升）.‎ ‎（1）求关于的函数关系式；‎ ‎（2）若，求当下潜速度取什么值时，总用氧量最少.‎ ‎【答案】(1) 总用氧量;(2) 时，总用氧量最少.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意，下潜用时用氧量为，返回水面用时用氧量为，二者求和即可；（2）由（1）知，利用导数研究函数的单调性可得时总用氧量最少.‎ 试题解析：（1）由题意，下潜用时（单位时间），用氧量为（升），‎ 水底作业时的用氧量为（升），‎ 返回水面用时（单位时间），用氧量为（升），‎ ‎∴总用氧量.‎ ‎（2），‎ 令得，‎ 在时，，函数单调递减，‎ 在时，，函数单调递增，‎ ‎∴当时，函数在上递减，在上递增，‎ ‎∴此时，时总用氧量最少，‎ 当时，在上递增，‎ ‎∴此时时，总用氧量最少.‎ 考点：1、阅读能力、建模能力及函数的解析式；2、解决实际问题的能力及利用导数求函数的最值.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查阅读能力、建模能力及函数的解析式、解决实际问题的能力及利用导数求函数的最值，属于难题.与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数学模型进行解答. 构建函数模型时一定要考虑变量的实际意义，以确定函数解析式的定义域，以便准确解答.本题的解答关键是将实际问题转化为函数问题求最值.‎ ‎ ‎