2019届二轮复习规范答题示例9　函数的单调性、极值与最值问题课件（17张）（全国通用）

2019届二轮复习规范答题示例9　函数的单调性、极值与最值问题课件（17张）（全国通用）

板块三　专题突破核心考点 函数的单调性、极值与最值问题 规范答题 示例 9 　 典例 9 　 (12 分 ) 已知函数 f ( x ) ＝ ln x ＋ a (1 － x ). (1) 讨论 f ( x ) 的单调性； (2) 当 f ( x ) 有最大值，且最大值大于 2 a － 2 时，求 a 的取值范围 . 规 范 解 答 · 分 步 得 分 若 a ≤ 0 ，则 f ′ ( x )>0 ，所以 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增 . 所以当 a ≤ 0 时， f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增， (2) 由 (1) 知，当 a ≤ 0 时， f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上无最大值，不合题意； 令 g ( a ) ＝ ln a ＋ a － 1 ，则 g ( a ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增， g (1) ＝ 0. 于是，当 0< a <1 时， g ( a )<0 ；当 a >1 时， g ( a )>0. 因此， a 的取值范围是 (0,1 ). 12 分 构 建 答 题 模 板 第一步 求导数： 写出函数的定义域，求函数的导数 . 第二 步 定符号： 通过讨论确定 f ′ ( x ) 的符号 . 第三步 写区间： 利用 f ′ ( x ) 的符号确定函数的单调性 . 第四 步 求最值： 根据函数单调性求出函数最值 . 评分细则 　 (1) 函数求导正确给 1 分； (2) 分类讨论，每种情况给 2 分，结论 1 分； (3) 求出最大值给 2 分； (4) 构造函数 g ( a ) ＝ ln a ＋ a － 1 给 2 分； (5) 通过分类讨论得出 a 的范围，给 2 分 . 解答 跟踪演练 9 　 (2018· 天津 ) 已知函数 f ( x ) ＝ a x ， g ( x ) ＝ log a x ，其中 a >1. (1) 求函数 h ( x ) ＝ f ( x ) － x ln a 的单调区间； 解 　 由已知得 h ( x ) ＝ a x － x ln a ， 则 h ′ ( x ) ＝ a x ln a － ln a . 令 h ′ ( x ) ＝ 0 ，解得 x ＝ 0. 由 a >1 ，可知当 x 变化时， h ′ ( x ) ， h ( x ) 的变化情况如下表： 所以函数 h ( x ) 的单调递减区间为 ( － ∞ ， 0) ，单调递增区间为 (0 ，＋ ∞ ). 证明 证明　 由 f ′ ( x ) ＝ a x ln a ，可得曲线 y ＝ f ( x ) 在点 ( x 1 ， f ( x 1 )) 处的切线斜率 为 ln a . 即 x 2 (ln a ) 2 ＝ 1 ，两边取以 a 为底的对数，得 log a x 2 ＋ x 1 ＋ 2log a ln a ＝ 0 ， 证明 (3) 证明当 a ≥ 时 ，存在直线 l ，使 l 是曲线 y ＝ f ( x ) 的切线，也是曲线 y ＝ g ( x ) 的切线 . 证明　 曲线 y ＝ f ( x ) 在点 ( x 1 ， ) 处的切线为 l 1 ： y － ＝ ln a ·( x － x 1 ). 要证明当 a ≥ 时 ，存在直线 l ，使 l 是曲线 y ＝ f ( x ) 的切线 ， 也 是曲线 y ＝ g ( x ) 的切线， 只需证明当 a ≥ 时 ，存在 x 1 ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ ) ， x 2 ∈ (0 ，＋ ∞ ) ， 使得 l 1 与 l 2 重合 . 即只需证明当 a ≥ 时， 下面的方程组有 解 ① ② 因此，只需证明当 a ≥ 时 ，关于 x 1 的方程 ③ 存在实数解 . 即要证明 a ≥ 时 ，函数 u ( x ) 存在零点 . u ′ ( x ) ＝ 1 － (ln a ) 2 xa x ，可知当 x ∈ ( － ∞ ， 0) 时， u ′ ( x )>0 ；当 x ∈ (0 ，＋ ∞ ) 时， u ′ ( x ) 单调递减， 故存在唯一的 x 0 ，且 x 0 >0 ，使得 u ′ ( x 0 ) ＝ 0 ，即 1 － (ln a ) 2 x 0 ＝ 0. 由此可得 u ( x ) 在 ( － ∞ ， x 0 ) 上单调递增，在 ( x 0 ，＋ ∞ ) 上单调递减 . u ( x ) 在 x ＝ x 0 处取得极大值 u ( x 0 ). 因为 a ≥ ， 所以 ln ln a ≥ － 1 ， 下面证明存在实数 t ，使得 u ( t )<0. 由 (1) 可得 a x ≥ 1 ＋ x ln a ， 所以存在实数 t ，使得 u ( t )<0 . 因此当 a ≥ 时 ，存在 x 1 ∈ ( － ∞ ，＋ ∞ ) ，使得 u ( x 1 ) ＝ 0. 所以当 a ≥ 时 ，存在直线 l ，使 l 是曲线 y ＝ f ( x ) 的切线，也是曲线 y ＝ g ( x ) 的切线 .