专题16 椭圆、双曲线、抛物线（仿真押题）-2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

专题16 椭圆、双曲线、抛物线（仿真押题）-2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

专题16 椭圆、双曲线、抛物线（仿真押题）‎ ‎2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题 ‎1．已知双曲线－＝1(b>0)的离心率等于b，则该双曲线的焦距为(　　)‎ A．2　　　　　　　　 B．2 C．6 D．8‎ 解析：设双曲线的焦距为2c.由已知得＝b，又c2＝4＋b2，解得c＝4，则该双曲线的焦距为8.‎ 答案：D ‎2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，以F1、F2为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为(3,4)，则此双曲线的方程为(　　)‎ A.－＝1 B.－＝1‎ C.－＝1 D.－＝1‎ 解析：由已知可得交点(3,4)到原点O的距离为圆的半径，则半径r＝＝5，故c＝5， a2＋b2＝25，又双曲线的一条渐近线y＝x过点(3,4)，故3b＝4a，可解得b＝4，a＝3，故选C.‎ 答案：C ‎3．已知双曲线－＝1(b>0)的右焦点与抛物线y2＝12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(　　)‎ A. B．4 C．3 D．5‎ 解析：由题易得抛物线的焦点为(3,0)，∴双曲线的右焦点为(3,0)，∴b2＝c2－a2＝9－4＝5，∴双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即x－2y＝0，∴所求距离为d＝＝.‎ 答案：A ‎4．已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与椭圆交于A，B两点，若△F1AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B．2－ C.－2 D.－ 答案：D ‎5．已知焦点在x轴上的椭圆方程为＋＝1，随着a的增大该椭圆的形状(　　)‎ A．越接近于圆 B．越扁 C．先接近于圆后越扁 D．先越扁后接近于圆 解析　由题意得到a>1，所以椭圆的离心率e2＝＝1＋(a>1)递减，则随着a的增大，离心率e越小，所以椭圆越接近于圆，故选A.‎ 答案　A ‎6． F1，F2为椭圆＋＝1(a>b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交椭圆于点P，且∠PF1F2＝30°，则椭圆的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　不妨设|PF2|＝1，则|PF1|＝2，|F1F2|＝2c＝，‎ 由椭圆的定义得2a＝3，因此e＝＝＝.‎ 答案　A ‎7．已知a>b>0 ，椭圆 C1 的方程为＋＝1，双曲线 C2 的方程为－＝1，C1 与 C2 的离心率之积为， 则C1 、 C2 的离心率分别为(　　)‎ A.，3 B.， C.，2 D.，2 解析　由题意知，·＝，所以a2＝2b2，则C1、C2的离心率分别为e1＝，e2＝，故选B.‎ 答案　B ‎8．设点P是双曲线－＝1(a>0，b>0)与圆x2＋y2＝a2＋b2在第一象限的交点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，且|PF1|＝3|PF2|，则双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　D ‎9．若抛物线y2＝8x的焦点是F，准线是l，则经过点F，M(3，3)且与l相切的圆共有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．4个 解析　由题意得F(2，0)，l：x＝－2，‎ 线段MF的垂直平分线方程为y－＝－，则x＋3y－7＝0，‎ 设圆的圆心坐标为(a，b)，‎ 则圆心在x＋3y－7＝0上，故a＋3b－7＝0，a＝7－3b，‎ 由题意得|a－(－2)|＝，‎ 即b2＝8a＝8(7－3b)，即b2＋24b－56＝0.又b>0，故此方程只有一个根，于是满足题意的圆只有一个．‎ 答案　B ‎10．已知M是y＝x2上一点，F为抛物线的焦点，A在C：(x－1)2＋(y－4)2＝1上，则|MA|＋|MF|的最小值为(　　)‎ A．2 B．4 C．8 D．10‎ 解析　抛物线x2＝4y的准线为y＝－1，圆心到y＝－1的距离d＝5，(|MA|＋|MF|)min＝5－r＝5－1＝4.‎ 答案　B ‎11．设抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，点A在y轴上，若线段FA的中点B在抛物线上，且点B到抛物线准线的距离为，则点A的坐标为(　　)‎ A．(0，±2) B．(0，2) C．(0，±4) D．(0，4)‎ 解析　在△AOF中，点B为边AF的中点，‎ 故点B的横坐标为，‎ 因此＝＋，解得p＝，‎ 故抛物线方程为y2＝2x，‎ 可得点B坐标为(，±1)，‎ 故点A的坐标为(0，±2)．‎ 答案　A ‎12．已知椭圆C：＋＝1的右焦点为F，抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足．如果直线AF的倾斜角为120°，那么|PF|＝________.‎ ‎13．已知直线l与抛物线y2＝8x交于A、B两点，且l经过抛物线的焦点F，A点的坐标为(8，8)，则线段AB的中点到准线的距离是________．‎ 解析　由y2＝8x知2p＝8，∴p＝4，则点F的坐标为(2，0)．‎ 由题设可知，直线l的斜率存在，设l的方程为y＝k(x－2)，点A，B的坐标分别为(xA，yA)，(xB，yB)．‎ 又点A(8，8)在直线上，∴8＝k(8－2)，解得k＝.‎ ‎∴直线l的方程为y＝(x－2)．①‎ 将①代入y2＝8x，整理得2x2－17x＋8＝0，则xA＋xB＝，∴线段AB的中点到准线的距离是＋＝＋2＝.‎ 答案　 ‎14．设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B为该抛物线上两点，若＋2＝0，则||＋2||＝________.‎ 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 由焦点弦性质，y1y2＝－p2(*)，‎ 由题意知＋2＝0，‎ 得(x1－1，y1)＋2(x2－1，y2)＝(0，0)，‎ ‎∴y1＋2y2＝0，代入(*)式得－＝－p2，∴y＝2p2，‎ ‎∴x1＝＝2，∴||＝x1＋＝3，‎ 又||＝2||，∴2||＝3，‎ ‎∴||＋2||＝6.‎ 答案　6‎ ‎15．若抛物线y2＝4x的焦点为F，过F且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，动点P在曲线y2＝－4x(y≥0)上，则△PAB的面积的最小值为________．‎ 解析　由题意得F(1，0)，直线AB的方程y＝x－1.‎ 由得x2－6x＋1＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1＋x2＝6，x1x2＝1，‎ ‎∴|AB|＝·＝8.‎ 设P，则点P到直线AB的距离为，‎ ‎∴△PAB的面积S＝·d·|AB|‎ ‎＝×8×＝≥2，(y0≥0)‎ 即△PAB的面积的最小值是2.‎ 答案　2 ‎16．已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0)的左焦点与抛物线y2＝mx的焦点重合，则实数m＝________．‎ 解析　由题意可得＝＝，∴a＝，∴c＝3，所以双曲线的左焦点为(－3，0)，再根据抛物线的概念可知＝－3，∴m＝－12.‎ 答案　－12‎ ‎17．双曲线－＝1(a>0，b>0)一条渐近线的倾斜角为，离心率为e，则的最小值为________．‎ 解析　由题意可得，k＝＝tan＝，‎ ‎∴b＝a，则a2＝，∴e＝＝2.‎ ‎∴＝＝＋ ‎≥2＝.‎ 当且仅当＝，即b＝时取等号．‎ 答案　 ‎18．设F1，F2分别是椭圆E：x2＋＝1(00)的焦点为F，抛物线上横坐标为的点到抛物线顶点的距离与其到准线的距离相等．‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)设过点P(6,0)的直线l与抛物线交于A，B两点，若以AB为直径的圆过点F，求直线l的方程．‎ 解析：(1)由题意知＋＝，‎ 解得p＝2或p＝0(舍去)．‎ ‎∴抛物线的方程为y2＝4x.‎ ‎(2)由题意可知，直线l不垂直于y轴，‎ 可设直线l：x＝my＋6，‎ 由可得y2－4my－24＝0.‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎∵以AB为直径的圆过点F，∴FA⊥FB，即·＝0.‎ 可得(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝0，‎ ‎∴(x1－1)(x2－1)＋y1y2＝(1＋m2)y1y2＋5m(y1＋y2)＋25＝－24(1＋m2)＋20m2＋25＝0，‎ 解得m＝±，‎ ‎∴直线l的方程为x＝±y＋6，即2x±y－12＝0.‎ ‎22.如图，已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的下顶点为B，右焦点为F，直线BF与椭圆E的另一个交点为A，＝3.‎ ‎ (1)求椭圆E的离心率；‎ ‎(2)若点P为椭圆上的一个动点，且△PAB面积的最大值为，求椭圆E的方程．‎ 解析：(1)∵＝3，B(0，－b)，F(c,0)，‎ ‎∴A.‎ 代入椭圆方程可得＋＝1，得＝，即离心率e＝.‎ ‎23．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右顶点分别为A，B，其离心率e＝，点M为椭圆上的一个动点，△MAB面积的最大值是2.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)若过椭圆C右顶点B的直线l与椭圆的另一个交点为D，线段BD的垂直平分线与y轴交于点P，当·＝0时，求点P的坐标．‎ 解析：(1)由题意可知e＝＝，×2ab＝2，a2＝b2＋c2，‎ 解得a＝2，b＝，‎ 所以椭圆方程是＋＝1.‎ ‎(2)由(1)知B(2,0)，设直线BD的方程为y＝k(x－2)，D(x1，y1)，把y＝k(x－2)代入椭圆方程＋＝1，整理得 ‎(3＋4k2)x2－16k2x＋16k2－12＝0，‎ 所以2＋x1＝⇒x1＝，‎ 则D，‎ 所以BD中点的坐标为，‎ 则直线BD的垂直平分线方程为y－＝－，‎ 得P.‎ 又·＝0，‎ 即·＝0，‎ 化简得＝0⇒64k4＋28k2－36＝0，‎ 解得k＝±.‎ 故P或.‎