专题7-6+数学归纳法（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

专题7-6+数学归纳法（讲）-2018年高考数学一轮复习讲练测（浙江版）

‎2018年高考数学讲练测【浙江版】【讲】第七章 不等式与证明 第06节 数学归纳法 ‎【考纲解读】‎ 考 点 考纲内容 五年统计 分析预测 数学归纳法 了解数学归纳原理，会用数学归纳法证明简单的数学命题.‎ ‎2017浙江22‎ 利用数学归纳法证明数列问题.‎ 备考重点：‎ ‎1.数学归纳法原理；‎ ‎2.数学归纳法的简单应用.‎ ‎【知识清单】‎ 数学归纳法 ‎1.证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：‎ ‎(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)‎ 时命题成立．‎ ‎(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立．‎ 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．‎ ‎2.数学归纳法的框图表示 对点练习 ‎【2018届浙江省温州市高三9月一模】已知数列an中，a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎，an+1‎‎=‎‎1+‎anan+1‎‎2‎（n∈N*‎）．　‎ ‎（1）求证：‎1‎‎2‎‎≤an<1‎；‎ ‎（2）求证：‎1‎an‎-1‎是等差数列；‎ ‎（3）设bn‎=‎n‎(1+a‎1‎)(1+a‎2‎)…(1+an)‎，记数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn‎<‎‎94‎‎15‎ ．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ 试题解析：（1）证明：当n=1‎时，a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎，满足‎1‎‎2‎‎≤an<1‎，‎ 假设当n=k（k≥1‎）时，‎1‎‎2‎‎≤an<1‎，则当n=k+1‎时，ak+1‎‎=‎‎1‎‎2-‎ak ‎∈[‎2‎‎3‎,1)‎，‎ 即n=k+1‎时，满足‎1‎‎2‎‎≤an<1‎；‎ 所以，当n∈N*‎时，都有‎1‎‎2‎‎≤an<1‎．‎ ‎（2）由an+1‎‎=‎‎1+‎anan+1‎‎2‎，得an+1‎‎=‎‎1‎‎2-‎an，‎ 所以an+1‎‎-1=‎1‎‎2-‎an-1=‎‎-1+‎an‎2-‎an，‎ 即‎1‎an+1‎‎-1‎‎=‎1‎an‎-1‎-1‎，‎ 即‎1‎an+1‎‎-1‎‎-‎1‎an‎-1‎=-1‎，‎ 所以，数列‎1‎an‎-1‎是等差数列．‎ ‎（3）由（2）知，‎1‎an‎-1‎‎=-2+(n-1)(-1)=-n-1‎，‎ ‎∴an‎=‎nn+1‎，‎ 因此bn+1‎bn‎=n+1‎‎(1+an+1‎)n=‎n‎2‎‎+3n+2‎‎2n‎2‎+3n，‎ 当n≥2‎时，‎12n‎2‎+18n-(7n‎2‎+21n+14)=(5n+7)(n-2)≥0‎，‎ 即n≥2‎时，bn+1‎bn‎=n‎2‎‎+3n+2‎‎2n‎2‎+3n≤‎‎6‎‎7‎，‎ 所以n≥2‎时，bn‎≤‎6‎‎7‎bn-1‎≤‎(‎6‎‎7‎)‎‎2‎bn-2‎≤…≤‎‎(‎6‎‎7‎)‎n-2‎b‎2‎，‎ 显然bn‎>0‎，只需证明n≥3‎，Sn‎<‎‎94‎‎15‎即可．‎ 当n≥3‎时，Sn‎=b‎1‎+b‎2‎+b‎3‎++bn≤‎2‎‎3‎+b‎2‎+‎6‎‎7‎b‎2‎+‎(‎6‎‎7‎)‎‎2‎b‎2‎+…+‎‎(‎6‎‎7‎)‎n-2‎b‎2‎ ‎=‎2‎‎3‎+‎‎4‎‎5‎‎(1-‎(‎6‎‎7‎)‎n-1‎)‎‎1-‎‎6‎‎7‎ ‎=‎2‎‎3‎+‎28‎‎5‎(1-‎(‎6‎‎7‎)‎n-1‎)‎ ‎<‎2‎‎3‎+‎28‎‎5‎=‎‎94‎‎15‎．‎ ‎【考点深度剖析】‎ 数学归纳法是一种重要的数学方法，其应用主要体现在证明等式、证明不等式、证明整除性问题、归纳猜想证明等．浙江对数学归纳法的考查主要是与数列相结合.‎ ‎【重点难点突破】‎ 考点1利用数学归纳法证明等式 ‎【1-1】．用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，验证n＝1时，左边计算所得的式子为(　)‎ A. 1 B. 1＋2 C. 1＋2＋22 D. 1＋2＋22＋23‎ ‎【答案】D ‎【解析】左边的指数从0开始，依次加1，直到n＋2，所以当n＝1时，应加到23，故选D.‎ ‎【1-2】观察下列等式：‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎；‎ ‎………‎ ‎（1）照此规律，归纳猜想出第个等式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.‎ ‎【答案】（1） （）；（2）见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（1）第个等式为 （）；‎ ‎（2）用数学归纳法证明：‎ ‎①当时，等式显然成立；‎ ‎②假设当（）时，等式成立，‎ 即 ‎ 则当时， ‎ ‎ ‎ 所以当时，等式成立.‎ 由①②知， （）‎ ‎【领悟技法】‎ 数学归纳法证明等式的思路和注意点 ‎(1)思路：用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少．‎ ‎(2)注意点：由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】观察下列等式：‎ ‎； ； ； ；‎ ‎，‎ ‎…………‎ ‎(1)猜想第个等式；‎ ‎(2)用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎【答案】(1) .(2)答案见解析.‎ 试题解析：‎ ‎(1) .‎ ‎(2)证明：(i)当时，等式显然成立.‎ ‎(ii)假设时等式成立，即，‎ 即.‎ 那么当时，左边 ‎，‎ 右边.‎ 所以当时，等式也成立.‎ 综上所述，等式对任意都成立.‎ ‎【变式二】已知数列中， ，‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）猜想的表达式，并用数学归纳法证明．‎ ‎【答案】(I）；（II）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由已知直接求出的值；（2）猜想，注意数学归纳法的步骤。‎ 试题解析：(1）； ‎ ‎（2）猜想： ‎ 证明：①当n=1时， ，猜想成立. ‎ ‎②假设n=k时成立，即， ‎ 则当n=k+1时，由得 ‎ ‎ 所以n=k+1时，等式成立. ‎ 所以由①②知猜想成立. ‎ 考点2 利用数学归纳法证明不等式 ‎【2-1】【．用数学归纳法证明（， ）成立时，第二步归纳假设的正确写法为（ ）‎ A. 假设时，命题成立 B. 假设（）时，命题成立 C. 假设（）时，命题成立 D. 假设（）时，命题成立 ‎【答案】C ‎ ‎【2-2】【2017浙江卷22】已知数列满足： ‎ 证明：当时 ‎（I）;‎ ‎（II）；‎ ‎(III) ‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 构造函数，利用函数的单调性可证； （Ⅲ）由及，递推可得 那么n=k+1时，若，则，矛盾，故． ‎ 因此．‎ 所以，‎ 因此．‎ ‎（Ⅱ）由得，‎ ‎．‎ 记函数，‎ ‎，‎ 函数f(x)在[0，+∞）上单调递增，所以=0，因此 ‎，‎ 故．‎ ‎（Ⅲ）因为，‎ 所以，‎ 由，得，‎ 所以，‎ 故．‎ 综上， ．‎ ‎【领悟技法】‎ 数学归纳法证明不等式的适用范围及关键 ‎(1)适用范围：当遇到与正整数n有关的不等式证明时，若用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法．‎ ‎(2)关键：由n＝k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析法、放缩法等来加以证明，充分应用均值不等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得以简化 ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】设正项数列‎{an}‎的前n项和Sn，且满足Sn‎=‎1‎‎2‎an‎2‎+n‎2‎(n∈N‎*‎)‎.‎ ‎（Ⅰ）计算a‎1‎‎,a‎2‎,‎a‎3‎的值，猜想‎{an}‎的通项公式，并证明你的结论；‎ ‎（Ⅱ）设Tn是数列‎{‎1‎an‎2‎}‎的前n项和，证明：Tn‎<‎‎4n‎2n+1‎.‎ ‎【答案】(1) an‎=n（2）见解析 试题解析：（Ⅰ）解：当n=1时，a‎1‎‎=S‎1‎=‎1‎‎2‎a‎1‎‎2‎+‎‎1‎‎2‎，得a‎1‎‎=1‎；a‎1‎‎+a‎2‎=S‎2‎=‎1‎‎2‎a‎2‎‎2‎+1‎，得a‎2‎‎=2‎；‎ a‎1‎‎+a‎2‎+a‎3‎=S‎3‎=‎1‎‎2‎a‎3‎‎2‎+‎‎3‎‎2‎‎，得a‎3‎‎=3‎.‎ 猜想an‎=n 证明：（ⅰ）当n=1时，显然成立.‎ ‎（ⅱ）假设当n=k时，‎ak‎=k 则当n=k+1时，‎ ak+1‎‎=Sk+1‎-Sk=‎1‎‎2‎ak+1‎‎2‎+k+1‎‎2‎-(‎1‎‎2‎ak‎2‎+k‎2‎)=‎1‎‎2‎ak+1‎‎2‎+k+1‎‎2‎-(‎1‎‎2‎k‎2‎+k‎2‎)‎ 结合an‎>0‎，解得ak+1‎‎=k+1‎ 于是对于一切的自然数n∈‎N‎*‎，都有an‎=n ‎（Ⅱ）证法一：因为‎1‎n‎2‎‎<‎1‎n‎2‎‎-‎‎1‎‎4‎=2(‎1‎‎2n-1‎-‎1‎‎2n+1‎)‎，‎ Tn‎=‎1‎‎1‎‎2‎+‎1‎‎2‎‎2‎+⋯+‎1‎n‎2‎<2(1-‎1‎‎3‎+‎1‎‎3‎-‎1‎‎5‎+⋯+‎1‎‎2n-1‎-‎1‎‎2n+1‎)=2(1-‎1‎‎2n+1‎)=‎‎4n‎2n+1‎ 证法二：数学归纳法 证明：（ⅰ）当n=1时，T‎1‎‎=‎1‎‎1‎‎2‎=1‎，‎4×1‎‎2×1+1‎‎=‎‎4‎‎3‎，‎‎1<‎‎4‎‎3‎ ‎（ⅱ）假设当n=k时，‎Tk‎<‎‎4k‎2k+1‎ 则当n=k+1时，‎Tk+1‎‎=Tk+‎1‎‎(k+1)‎‎2‎<‎4k‎2k+1‎+‎‎1‎‎(k+1)‎‎2‎ 要证：Tk+1‎‎<‎‎4(k+1)‎‎2(k+1)+1‎只需证：‎‎4k‎2k+1‎‎+‎1‎‎(k+1)‎‎2‎<‎‎4(k+1)‎‎2(k+1)+1‎ 由于‎4(k+1)‎‎2(k+1)+1‎‎-‎4k‎2k+1‎=‎4‎‎(2k+3)(2k+1)‎=‎4‎‎(2k+2)‎‎2‎‎-1‎>‎‎1‎‎(k+1)‎‎2‎ 所以‎4k‎2k+1‎‎+‎1‎‎(k+1)‎‎2‎<‎‎4(k+1)‎‎2(k+1)+1‎ 于是对于一切的自然数n∈‎N‎*‎，都有Tn‎<‎‎4n‎2n+1‎.‎ ‎【变式二】求证：＋＋…＋＞(n≥2，n∈N*).‎ ‎【答案】见解析 ＋＋…＋＋＋＋ ‎＝＋＋…＋＋(＋＋－)‎ ‎＞＋(＋＋－)‎ ‎＞＋(3×－)＝.‎ ‎∴当n＝k＋1时不等式亦成立．‎ ‎∴原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立.‎ 考点3 归纳、猜想、证明 ‎【3-1】给出下列不等式：‎ ‎1>‎‎1‎‎2‎‎，‎ ‎1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎>1‎‎，‎ ‎1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎+‎1‎‎4‎+‎1‎‎5‎+‎1‎‎6‎+‎1‎‎7‎>‎‎3‎‎2‎‎，‎ ‎1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎+⋯⋯+‎1‎‎15‎>2‎‎，‎ ‎1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎+⋯⋯+‎1‎‎31‎>‎‎5‎‎2‎‎，……‎ ‎（1）根据给出不等式的规律，归纳猜想出不等式的一般结论；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎【答案】（1）‎1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎+‎1‎‎4‎+⋯⋯+‎1‎‎2‎n‎-1‎>‎n‎2‎n∈‎N‎+‎；（2）详见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（1）观察不等式左边最后一个数分母的特点：‎ ‎1=‎2‎‎1‎-1,3=‎2‎‎2‎-1,7=‎2‎‎3‎-1,15=‎2‎‎4‎-1‎‎，‎ ‎……猜想不等式左边最后一个数分母‎2‎n‎-1‎，对应各式右端为n‎2‎，‎ 所以，不等式的一般结论为：‎1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎+‎1‎‎4‎+⋯⋯+‎1‎‎2‎n‎-1‎>‎n‎2‎n∈‎N‎+‎.‎ ‎（2）证明：①当n=1,2‎时显然成立；‎ ‎②假设n=k时结论成立，即：‎1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎+‎1‎‎4‎+⋯⋯+‎1‎‎2‎k‎-1‎>‎k‎2‎成立 ‎1+‎1‎‎2‎+‎1‎‎3‎+‎1‎‎4‎+⋯⋯+‎1‎‎2‎k‎-1‎+‎1‎‎2‎k+⋯⋯+‎1‎‎2‎k+1‎‎-2‎+‎‎1‎‎2‎k+1‎‎-1‎ 当n=k+1‎时，‎‎>k‎2‎+‎‎1‎‎2‎k‎+‎1‎‎2‎k‎+1‎+⋯⋯+‎1‎‎2‎k+1‎‎-2‎+‎‎1‎‎2‎k+1‎‎-1‎ ‎>k‎2‎+‎2‎k⋅‎1‎‎2‎k+1‎‎-1‎=k‎2‎+‎1‎‎2-‎‎1‎‎2‎k>k‎2‎+‎1‎‎2‎=‎k+1‎‎2‎ 即当n=k+1‎时结论也成立.由①②可知对任意n∈‎N‎+‎，结论都成立.‎ ‎【3-2】【2017届浙江省嘉兴一中、杭州高级中学、宁波效实中学等五校联考】已知数列中，满足记为前n项和．‎ ‎（I）证明： ；‎ ‎（Ⅱ）证明： ‎ ‎（Ⅲ）证明： .‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析．‎ ‎，化简可得。再由数列的前n项和及等比数列前n项和公式可得结论。‎ 试题解析：证明：（I）因 ‎ 故只需要证明即可 ……………………………………………………3分 下用数学归纳法证明：‎ 当时， 成立 假设时， 成立，‎ 那么当时， ，‎ 所以综上所述，对任意， …………………………………………6分 ‎（Ⅱ）用数学归纳法证明 当时， 成立 假设时， ‎ 那么当时， ‎ 所以综上所述，对任意， …………………………10分 ‎（Ⅲ）得 …12分 故 ……15分 ‎【领悟技法】‎ ‎(1)“归纳——猜想——证明”的一般步骤 ‎①计算(根据条件，计算若干项)．‎ ‎②归纳猜想(通过观察、分析、综合、联想，猜想出一般结论)．‎ ‎③证明(用数学归纳法证明)．‎ ‎(2)与“归纳——猜想——证明”相关的常用题型的处理策略 ‎①与函数有关的证明：由已知条件验证前几个特殊值正确得出猜想，充分利用已知条件并用数学归纳法证明．‎ ‎②与数列有关的证明：利用已知条件，当直接证明遇阻时，可考虑应用数学归纳法．‎ ‎【触类旁通】‎ ‎【变式一】设等差数列‎{an}‎的公差d>0‎，且a‎1‎‎>0‎，记Tn‎=‎1‎a‎1‎a‎2‎+‎1‎a‎2‎a‎3‎+⋯+‎‎1‎anan+1‎‎.‎ ‎ （1）用a‎1‎‎,d分别表示T‎1‎‎,T‎2‎,‎T‎3‎，并猜想Tn；‎ ‎ （2）用数学归纳法证明你的猜想.‎ ‎【答案】（1）Tn=‎na‎1‎‎(a‎1‎+nd)‎.；（2）见解析.‎ 试题解析：（1）T1＝＝；‎ T2＝＋＝×＝×＝；‎ T3＝＋＋＝×＝×＝‎ 由此可猜想Tn＝. ‎ ‎（2）证明：①当n＝1时，T1＝，结论成立．‎ ‎ ②假设当n＝k时(k∈N*)时结论成立，‎ ‎ 即Tk＝. ‎ ‎ 则当n＝k＋1时，Tk＋1＝Tk＋＝＋＝＝.‎ ‎ 即n＝k＋1时，结论成立． ‎ ‎ 由①②可知，Tn＝对于一切n∈N*恒成立．‎ ‎【变式二】【2017届浙江省“超级全能生”3月联考来】已知每一项都是正数的数列满足， ．‎ ‎（1）用数学归纳法证明： ；‎ ‎（2）证明： ；‎ ‎（3）记为数列的前项和，证明： ．‎ ‎【答案】（1）见解析;（2）见解析;（3）见解析.‎ ‎ ，（2）奇数项隔项递减，且最大值为，所以研究偶数项单调性：隔项递增，且最小值为，（同（1）的方法给予证明），最后需证明，根据归纳可借助第三量，作差给予证明；（3）先探求数列递推关系： ，再利用等比数列求和公式得.‎ 试题解析：（1）由题知， ， ‎ ‎①当时， ， ，‎ ‎， 成立；‎ ‎②假设时，结论成立，即，‎ 因为 所以 ‎ 即时也成立，‎ 由①②可知对于，都有成立.‎ ‎（2）由（1）知， ，‎ 所以，‎ 同理由数学归纳法可证，‎ ‎.‎ 猜测： ，下证这个结论.‎ 因为，‎ 所以与异号.注意到，知， ，‎ 即.‎ 所以有，‎ 从而可知.‎ ‎（3） ‎ 所以 ‎ 所以 ‎【易错试题常警惕】‎ 易错典例：【2017届山西省孝义市5月模拟】数列满足，且.‎ ‎（1）写出的前3项，并猜想其通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明你的猜想.‎ 易错分析：对于归纳猜想证明类问题，有三个易错点.一是归纳结论不正确；二是应用数学归纳法，确认n的初始值n0不准确；三是在第二步证明中，忽视应用归纳假设.‎ 题成立.‎ ‎（2）①当时， 成立；‎ ‎②假设时，猜想成立，即有，‎ 由，，及，‎ 得，即当时猜想成立，‎ 由①②可知， 对一切正整数均成立.‎ 温馨提示：1.数学归纳法证题时初始值n0不一定是1.‎ ‎2.推证n＝k＋1时一定要用上n＝k时的假设，否则不是数学归纳法.‎ ‎3.解“归纳——猜想——证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础，否则将会做大量无用功.‎ ‎ ‎