2018-2019学年江苏省如东中学、栟茶中学高二上学期期末学情检测数学试题 Word版

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2018-2019 学年江苏省如东中学、栟茶中学高二上学期期末学情检 测数学试题 注 意 事 项 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 1．本试卷共 4 页，包含［填空题（第 1 题～第 14 题，共 70 分）、解答题（第 15～20 题，共 90 分）。本次考试时间 120 分钟，满分 160 分、考试结束后，请将答题卡交回。理科学生完成加 试， 考试时间 30 分钟。 2．答题前，请考生务必将自己的姓名、班级、学号、考试证号用 0.5 毫米的黑色签字笔写在答 题 卡上相应的位置，并将考试证号用 2B 铅笔正确填涂在答题卡的相应位置。 3．答题时请用 0.5 毫米的黑色签字笔在答题卡指定区域作答。在试卷或草稿纸上作答一律无效。 4．如有作图需要，可用 2B 铅笔作图，并请加黑加粗，描写清楚。 参考公式：球体积公式：V = πR3 ；球表面积公式： S = 4πR 2 ，其中 R 为球半径. 一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共 70 分．不需写出解答过程，请把答案直接填 写 在答题卡相应位置上． 1. 一组数据 1，3，2 的方差为 ▲ ． 2. 将一枚硬币投掷 2 次，出现“一次正面、一次反面”的概率是 ▲ ． 3．“ k < 1 ”是“方程 表示双曲线”的 ▲ 条件．（用“充分不必要”、“必要不充 分”、 “充要”和“既不充分也不必要”填空） 4．若抛物线的方程为 x2＝2 y ，则焦点到准线的距离为 ▲ ． 5．为了在执行下面的伪代码之后输出 y＝25，输入的 x 应该是 ▲ ． 6. 我县对“全国文明城市”创建活动中 200 名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如 图)，但是年龄组为[25,30)的数据不慎丢失，则依据此图可得：在“全国文明 城市”创建活动中志愿者年龄在[25,30)的人数为 ▲ ． 7．据记载，在公元前 3 世纪，阿基米德已经得出了前 n 个自然数平方和的一般公式．右图是一个 4 3 2 2 12 1 x y k k − =− − 求前 n 个自然数平方和的算法流程图，若输入 x 的值为 1，则输出 S 的值为 ▲ ． 8. 已知圆锥的高为 6，体积为 8．用平行于圆锥底面的平面截圆锥，得到的圆台体积是 7，则该圆 台的高为 ▲ ． 9．椭圆 的离心率为 ，则实数 m 的值为 ▲ ． 10．已知正三棱锥 S­ABC 的底面边长为 4，高为 3，在正三棱锥 S­ABC 内任取一点 P，使得 VP­ABC＜ VS­ABC 的概率是 ▲ ． 11．设 l, m 为两条不同的直线，α, β 为两个不同的平面，下列命题中正确的是 ▲ ．（填序 号） ①若 l ⊥ α, m / /β,α ⊥ β, 则 l ⊥ m ；②若 l / /m, m ⊥ α, l ⊥ β, 则α/ /β ； ③若 l / /α, m / /β,α/ /β, 则 l / / m ； ④若α ⊥ β,α β = m, l ⊂ β, l ⊥ m, 则 l ⊥ α 12．已知双曲线 ( a > 0, b > 0) 的焦距为 4，直线 l 过右焦点 F 且与双曲线的右支交于 A，B 两点，BF = 2 AF ．设 A，B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d1 和 d2，且 2d1+d2＝3，则 双曲线的离心率为 ▲ ． 13．已知点 P(0,1) ，椭圆 (m > 1) 上两点 A, B 满足 AP = 2 PB ，则当 m = ▲ 时， 点 B横坐标的绝对值最大。 14．已知直线 l 交椭圆 于 P, Q 两点，线段 PQ 的中点为 H ， O 为坐标原点，且 OH = 1 ， 则 ∆POQ 面积的最大值 ▲ ． 二、解答题: 本大题共 6 小题．共 90 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤． 15. （本小题满分 14 分） 已知椭圆 E 的中心在原点，长轴长是 6，一条准线方程为 ； （1）求椭圆 E 的标准方程； （2）求以椭圆 E 的焦点为顶点的等轴双曲线的标准方程 2 2 15 x y m + = 10 5 1 2 2 2 2 2 1x y a b − = 2 2 4 x y m+ = 2 2 14 x y+ = 9 2x = 16．（本小题满分 14 分） 如图，在斜三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中，侧面 AA1C1C 是菱形，AC1 与 A1C 交于点 O，E 是棱 AB 上一点，且 E 是棱 AB 中点 （1）求证：OE∥平面 BCC1B1； （2）若 AC1⊥A1B，求证：平面 ABC1⊥平面 A1BC． 17．（本小题满分 14 分） 某工艺品厂要生产如图所示的一种工艺品，该工艺品由一个实心圆柱体和一个实心半．球．体．组成， 要求半球的半径和圆柱的底面半径之比为 3 : 2 ，工艺品的体积为 34π(cm3 ) 。现设圆柱的底面 半径为 2x(cm) ，工艺品的表面积为 S (cm2 ) ，半球与圆柱的接触面积忽略不计。 （1）试写出 S 关于 x 的函数关系式并求出 x 的取值范围； （2）求当 x 取何值时工艺品的表面积取最小值？ （提示：如果 a, b, c > 0 ，那么 a + b+ c ≥3 当且仅当 a = b = c 时取“= ”） 18．（本小题满分 16 分） 如图，在四棱锥 P­ABCD 中，AB∥CD，CD=2AB，E 为 PC 的中点， F 为 CD 的中点 （1）求证：平面 BEF∥平面 PAD； （2）若 AB⊥平面 PAD，平面 PBA⊥平面 PBD，求证：PA⊥PD. 3 abc 19．（本小题满分 16 分） 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A 是椭圆 (a > b > 0) 的右顶点，B 是上顶点，F 是 左焦点， D 为线段 AB 上一点，且 = 2 ． （1）若椭圆的离心率为 ，且 ∆ABF 的面积为 4 ，求椭圆的方程； （2）若直线 DO 与直线 BF 的交点 C 恰在椭圆上，求椭圆的离心率 e ． 20．（本小题满分 16 分） 已知椭圆 (a > b > 0) 的右焦点 F (1, 0) ，离心率为 ，过 F 作两条互相垂直的弦 AB, CD ，设 AB, CD 的中点分别为 M , N . （1）求椭圆的方程； （2）证明：直线 MN 必过定点，并求出此定点坐标； （3）求 AB+CD 的最小值 2 2 2 2 1x y a b + = AD DB 1 3 2 2 2 2 2 1x y a b + = 2 2 2018­2019 学年度第一学期期末学情检测 高 二 数 学（加试） 解答题: 本大题共 4 小题．共 40 分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤． 1. （本小题满分 10 分） 已知矩阵 M= 的一个特征值λ1 = −1 及对应的特征向量 e= 求矩阵 M 的逆矩阵． 2. （本小题满分 10 分） 在平面直角坐标系 xO y 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度，建立极坐 标系.已知曲线 C1 的参数方程为 α∈[0, 2π],(α 为参数)，曲线 C2 的极坐标方程 为 （ a ∈ R ）．若曲线 C1 与曲线 C2 有且仅有一个公共点，求实数 a 的值． 3．(本小题满分 10 分) 如图，在四棱锥 P − ABCD 中，棱 AB ， AD ， AP 两两垂直，且长度均为 1， = λ （ 0 < λ≤1 ）． （1）若λ= 1 ，求直线 PC 与平面 PBD 所成角的正弦值； （2）若二面角 B − PC − D 的大小为 120°，求实数λ的值． 4．(本小题满分 10 分) 设 F( ,0)，点 M 在 x 轴上，点 P 在 y 轴上，且 ＝2 ， ，当点 P 在 y 轴上运 动时， （1）求点 N 的轨迹方程． （2）已知点 Q(1,1) ，过点 Q 作两条直线 l1 与 l2 ，分别与 N 的轨迹相交于 A 、 B 两点.直线 AB 的方程为 y = x + b ，且 ∆QAB 的垂心 H 在 x 轴上，求实数 b 的值. 1 3 a b      1 1    −  3 2cos 3 2sin x y α α  = + = + sin( )3 a πρ θ + = BC AD 1 4 MN MP PM PF⊥ 