2017-2018学年山东省菏泽市高二第二学期期末考试数学（理）试题-解析版

2017-2018学年山东省菏泽市高二第二学期期末考试数学（理）试题-解析版

绝密★启用前 山东省菏泽市2017-2018学年第二学期期末考试高二数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设是虚数单位，则复数的虚部为（ ）‎ A. B. C. 1 D. -1‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由条件利用两个复数代数形式的除法运算，虚数单位i的幂运算性质，计算求得结果．‎ 详解：，‎ ‎∴复数的虚部为1‎ 故选：C 点睛：本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．‎ ‎2．若离散型随机变量的分布如下：则的方差（ ）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎0.6‎ A. 0.6 B. 0.4 C. 0.24 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由于已知分布列即可求出m的取值，进而使用期望公式先求出数学期望，再代入方差公式求出方差．‎ 详解：由题意可得：m+0.6=1，所以m=0.4，‎ 所以E（x）=0×0.4+1×0.6=0.6，‎ 所以D（x）=（0﹣0.6）2×0.4+（1﹣0.6）2×0.6=0.24．‎ 故选：C．‎ 点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布和数学期望、方差等基础知识，熟记期望、方差的公式是解题的关键．‎ ‎3．用反证法证明命题：“若整系数一元二次方程有有理根，那么，，中至少有一个是偶数”时，下列假设中正确的是（ ）．‎ A. 假设，，都是偶数 B. 假设，，都不是偶数 C. 假设，，至多有一个是偶数 D. 假设，，至多有两个是偶数 ‎【答案】B ‎【解析】用反证法证明数学命题时，应先假设要证的命题的否定成立，‎ ‎“至少有一个”的否定为“都不是”，所以先假设，，都不是偶数．‎ 本题选择B选项.‎ ‎4．设两个正态分布和的密度函数图像如图所示,则有（ ） ‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：从正态曲线关于直线x=μ对称，看μ的大小，从曲线越“矮胖”，表示总体越分散；σ越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中，由此可得结论．‎ 详解：从正态曲线的对称轴的位置看，显然μ1＜μ2，‎ 正态曲线越“瘦高”，表示取值越集中，σ越小，‎ ‎∴σ1＜σ2‎ 故选：A．‎ 点睛：本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，以及数形结合的思想，属于基础题．‎ ‎5．在200件产品中有3件次品，现从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有（ ）‎ A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 ‎【答案】D ‎【解析】分析：据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，由组合数公式分别求得两种情况下的抽法数，进而相加可得答案．‎ 详解：根据题意，“至少有2件次品”可分为“有2件次品”与“有3件次品”两种情况，‎ ‎“有2件次品”的抽取方法有C32C1973种，‎ ‎“有3件次品”的抽取方法有C33C1972种，‎ 则共有C32C1973+C33C1972种不同的抽取方法，‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查组合数公式的运用，解题时要注意“至少”“至多”“最多”“最少”等情况的分类讨论．‎ ‎6．函数过原点的切线的斜率为（ ）‎ A. B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：设切点坐标为（a，lna），求函数的导数，可得切线的斜率，切线的方程，代入（0，0），求切点坐标，切线的斜率．‎ 详解：设切点坐标为（a，lna），‎ ‎∵y=lnx，∴y′=，‎ 切线的斜率是，‎ 切线的方程为y﹣lna=（x﹣a），‎ 将（0，0）代入可得lna=1，∴a=e，‎ ‎∴切线的斜率是=‎ 故选：A．‎ 点睛：与导数几何意义有关问题的常见类型及解题策略 ‎①已知切点求切线方程．解决此类问题的步骤为：①求出函数在点处的导数，即曲线在点处切线的斜率；②由点斜式求得切线方程为．‎ ‎②已知斜率求切点．已知斜率，求切点，即解方程.‎ ‎③求切线倾斜角的取值范围．先求导数的范围，即确定切线斜率的范围，然后利用正切函数的单调性解决．‎ ‎7．甲，乙，丙，丁四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：甲：“我得第一名”；乙：“丁没得第一名”；丙：“乙没得第一名”；丁：“我得第一名”.已知他们四人中只有一个说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断得第一名的人是 （ ）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】B ‎【解析】分析：分别假设甲、乙、丙、丁得第一名，逐一分析判断即可.‎ 详解：若甲得第一名，则甲、乙、丙说了真话，丁说了假话，不符合题意；‎ 若乙得第一名，则乙说了真话，甲、丙、丁说了假话，符合题意；‎ 若丙得第一名，则乙、丙说了真话，甲、丁说了假话，不符合题意；‎ 若丁得第一名，则丙、丁说了真话，甲、乙说了假话，不符合题意 点睛：本题考查推理论证，考查简单的合情推理等基础知识，考查逻辑推理能力，属于基础题．‎ ‎8．如图，用6种不同的颜色把图中四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有（ ）‎ A. 496种 B. 480种 C. 460种 D. 400种 ‎【答案】B ‎【解析】分析：本题是一个分类计数问题，只用三种颜色涂色时，有C63C31C21‎ ‎，用四种颜色涂色时，有C64C41C31A22种结果，根据分类计数原理得到结果．‎ 详解：由题意知本题是一个分类计数问题，‎ 只用三种颜色涂色时，有C63C31C21=120（种）．‎ 用四种颜色涂色时，有C64C41C31A22=360（种）．‎ 综上得不同的涂法共有480种．‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查分类计数问题，本题解题的关键是看出给图形涂色只有两种不同的情况，颜色的选择和颜色的排列比较简单．‎ ‎9．若，则的值为（ ）‎ A. 2 B. 1 C. 0 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：令x=0，可得1=a0．令x=，即可求出．‎ 详解： ，‎ 令x=0，可得1=．‎ 令x=，可得a0+++…+=0，‎ ‎∴++…+=﹣1，‎ 故选：D．‎ 点睛：本题考查了二项式定理的应用、方程的应用，考查了赋值法，考查了推理能力与计算能力，注意的处理，属于易错题．‎ ‎10．已知是实数，函数，若，则函数的单调递增区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：根据函数f（x）=x2（x﹣m），求导，把f′（﹣1）=﹣1代入导数f′（x）求得m的值，再令f′（x）>0，解不等式即得函数f（x）的单调增区间．‎ 详解：f′（x）=2x（x﹣m）+x2‎ ‎∵f′（﹣1）=﹣1‎ ‎∴﹣2（﹣1﹣m）+1=﹣1‎ 解得m=﹣2，‎ ‎∴令2x（x+2）+x2>0，解得,或x>0，‎ ‎∴函数f（x）的单调减区间是．‎ 故选：A．‎ 点睛：求函数的单调区间的方法 ‎(1)确定函数y＝f(x)的定义域；‎ ‎(2)求导数y′＝f′(x)；‎ ‎(3)解不等式f′(x)>0，解集在定义域内的部分为单调递增区间；‎ ‎(4)解不等式f′(x)<0，解集在定义域内的部分为单调递减区间．‎ ‎11．由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为 （ ）‎ A. 4 B. 6 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先联立方程，组成方程组，求得交点坐标，可得被积区间，再用定积分表示出曲线y=x2与直线围成的封闭图形的面积，即可求得结论．‎ 详解：由解得，‎ ‎∴曲线y=，直线y=x﹣2及x轴所围成的图形的面积S=﹣（x﹣2）dx=|﹣（）|=﹣2=．‎ 故选：C．‎ 点睛：本题考查了曲线围成的图形的面积，着重考查了定积分的几何意义和定积分计算公式等知识，属于基础题；用定积分求平面图形的面积的步骤：（1）根据已知条件，作出平面图形的草图；根据图形特点，恰当选取计算公式；（2）解方程组求出每两条曲线的交点，以确定积分的上、下限；（3）具体计算定积分，求出图形的面积．‎ ‎12．设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：根据题意，设g（x）=x2f（x），x>0，求出导数，分析可得g′（x）≥0，则函数g（x）在区间上为增函数，结合函数g（x）的定义域分析可得：原不等式等价于，解可得x的取值范围，即可得答案．‎ 详解：根据题意，设g（x）=x2f（x），x>0，‎ 其导数g′（x）=[x2f（x）]′=2xf（x）+x2f′（x）=x（2f（x）+xf′（x）），‎ 又 且x>0‎ 由x（2f（x）+xf′（x））＞x2≥0，‎ 则g′（x）g′（x）0，则函数g（x）在区间上为增函数，‎ ‎（x﹣2018）2f（x﹣2018）﹣4f（2）＞0‎ ‎⇒（x﹣2018）2f（x﹣2018）＞（2）2f（2）⇒g（x﹣2018）＞g（2），‎ 又由函数g（x）在区间（﹣∞，0）上为减函数，‎ 则有，‎ 解可得：x2020，‎ 即不等式的解集为；‎ 故选：D．‎ 点睛：用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造.构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造；如构造；如构造；如构造等.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若复数，则__________．（是的共轭复数）‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】分析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，进而得到最后求出复数的模即可．‎ 详解：由，可得 ‎∴，∴‎ 故答案为：2‎ 点睛：复数的运算，难点是乘除法法则，设，‎ 则，‎ ‎.‎ ‎14．展开式中项的系数为__________．‎ ‎【答案】2017‎ ‎【解析】分析：根据二项式定理的通项公式，再分情况考虑即可求解．‎ 详解：展开式中x项的系数：‎ 二项式（1+x）5由通项公式 当（1﹣x）提供常数项时：r=1，此时x项的系数是=2018，‎ 当（1﹣x）提供一个x时：r=0，此时x项的系数是﹣1×=﹣1‎ 合并可得（1﹣x）（1+x）5展开式中x项的系数为2017．‎ 故答案为：2017．‎ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第r＋1项，再由特定项的特点求出r值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第r＋1项，由特定项得出r值，最后求出其参数.‎ ‎15．记为虚数集，设，则下列类比所得的结论正确的是__________．‎ ‎①由，类比得 ‎②由，类比得 ‎③由，类比得 ‎④由，类比得 ‎【答案】③‎ ‎【解析】分析：在数集的扩展过程中，有些性质是可以传递的，但有些性质不能传递，因此，要判断类比的结果是否正确，关键是要在新的数集里进行论证，当然要想证明一个结论是错误的，也可直接举一个反例，要想得到本题的正确答案，可对3个结论逐一进行分析，不难解答．‎ 详解：A：由a•b∈R，不能类比得x•y∈I，如x=y=i，则xy=﹣1∉I，故①不正确；‎ B：由a2≥0，不能类比得x2≥0．如x=i，则x2＜0，故②不正确；‎ C：由（a+b）2=a2+2ab+b2，可类比得（x+y）2=x2+2xy+y2．故③正确；‎ D：若x，y∈I，当x=1+i，y=﹣i时，x+y＞0，但x，y 是两个虚数，不能比较大小．故④错误 故4个结论中，C是正确的．‎ 故答案为：③．‎ 点睛：类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．但类比推理的结论不一定正确，还需要经过证明．‎ ‎16．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，又知的导函数的图象如下图所示：‎ ‎-1‎ ‎0‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ 则下列关于的命题：‎ ‎①为函数的一个极大值点；‎ ‎②函数的极小值点为2；‎ ‎③函数在上是减函数；‎ ‎④如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；‎ ‎⑤当时，函数有4个零点.‎ 其中正确命题的序号是__________．‎ ‎【答案】②③‎ ‎【解析】分析：由题意结合导函数与原函数的关系逐一考查所给的命题即可求得结果．‎ 详解：由导数图象可知，当﹣1＜x＜0或2＜x＜4时，f′（x）＞0，函数单调递增，‎ 当0＜x＜2或4＜x＜5，f′（x）＜0，函数单调递减，‎ 当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，‎ 当x=2时，函数取得极小值f（2），所以①错误；②③正确；‎ 因为在当x=0和x=4，函数取得极大值f（0）=2，f（4）=2，‎ 要使当x∈[﹣1，t]函数f（x）的最大值是2，‎ 则2≤t≤5，所以t的最大值为5，所以④不正确；‎ 由f（x）=a知，因为极小值f（2）未知，所以无法判断函数y=f（x）﹣a有几个零点，所以⑤不正确．‎ 故答案为：②．‎ 点睛：本题考查了导函数与原函数的关系，函数的单调性，函数的极值与最值及零点个数问题，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中档题．‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知复数为虚数单位.‎ ‎（1）若复数 对应的点在第四象限，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若，求的共轭复数.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出复数的代数形式，根据第四象限的点的特征，求出的范围；（2）由已知得出 ，代入的值，求出 。‎ 试题解析;（I）=， ‎ 由题意得 解得 ‎ ‎（2） ‎ ‎ ‎ ‎18．某学校研究性学习小组调查学生使用智能手机对学习成绩的影响，部分统计数据如下表：‎ 使用智能手机 不使用智能手机 总计 学习成绩优秀 ‎4‎ ‎8‎ ‎12‎ 学习成绩不优秀 ‎16‎ ‎2‎ ‎18‎ 总计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ ‎（Ⅰ）根据以上列联表判断，能否在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为使用智能手机对学习成绩有影响？‎ ‎（Ⅱ）从学习成绩优秀的12名同学中，随机抽取2名同学，求抽到不使用智能手机的人数的分布列及数学期望.‎ 参考公式：，其中 参考数据：‎ ‎0.05‎ ‎0,。025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎【答案】(1)见解析;(2)见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）由列联表和卡方的计算公式，得的字，即可作出判断； ‎ ‎（2）根据题意，可取的值为，求解随机变量取每个值的概率，列出分布列，利用期望的公式即可求解数学期望．‎ 详解：（1）由列联表可得 所以能在犯错误的概率不超过的前提下认为使用智能手机对学习有影响．‎ ‎（2）根据题意，可取的值为，，．‎ ‎，， ‎ 所以的分布列是 的数学期望是．‎ 点睛：本题主要考查了独立性检验的应用和随机变量的分布列和数学期望，解答本题，首先要准确独立性检验的计算公式作出准确计算，利用组合数的公式求解随机变量的取值对应的概率，得到分布列和求得数学期望，本题属中等难度的题目，计算量不是很大，能很好的考查考生数学应用意识、基本运算求解能力等.‎ ‎19．数列满足.‎ ‎（1）计算，并由此猜想通项公式；‎ ‎（2）用数学归纳法证明（1）中的猜想.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）根据题设条件，可求a1，a2，a3，a4的值，猜想{an}的通项公式．‎ ‎（2）利用数学归纳法的证明步骤对这个猜想加以证明．‎ 详解：（1）根据数列满足，‎ 当时，，即；‎ 当时，，即；‎ 同理，‎ 由此猜想；‎ ‎（2）当时，，结论成立；‎ 假设（为大于等于1的正整数）时，结论成立，即，‎ 那么当（大于等于1的正整数）时 ‎，∴，‎ ‎∴，即时，结论成立，‎ 则.‎ 点睛：此题主要考查归纳法的证明，归纳法一般三个步骤：（1）验证n=1成立；（2）假设n=k成立；（3）利用已知条件证明n=k+1也成立，从而求证，这是数列的通项一种常用求解的方法 ‎20．为了更好地服务民众，某共享单车公司通过向共享单车用户随机派送每张面额为0元，1元，2元的三种骑行券.用户每次使用 扫码用车后，都可获得一张骑行券.用户骑行一次获得1元奖券、获得2元奖券的概率分别是0.5、0.2，且各次获取骑行券的结果相互独立.‎ ‎（I）求用户骑行一次获得0元奖券的概率；‎ ‎（II）若某用户一天使用了两次该公司的共享单车，记该用户当天获得的骑行券面额之和为，求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】（I）；（II）（元）.‎ ‎【解析】分析：（1）利用对立事件概率公式可得用户骑行一次获得0元奖券的概率；‎ ‎（2）由（1）知，一次骑行用户获得0元的概率为．X的所有可能取值分别为0，1，2，3，4．分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和数学期望 详解：（I）由题可知骑行一次用户获得0元奖券的概率为： ‎ ‎（II）由（I）知一次骑行用户获得0元的概率为.‎ 的所有可能取值分别为0，1，2，3，4. ‎ ‎∵， ，‎ ‎ ， ，‎ ‎， ‎ ‎∴的分布列为：‎ 的数学期望为 （元）.‎ 点睛：本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，属于中档题. 求解该类问题，首先要正确理解题意，其次要准确无误的找出随机变量的所以可能值，计算出相应的概率，写出随机变量的分布列，正确运用均值、方差的公式进行计算，也就是要过三关：（1）阅读理解关；（2）概率计算关；（3）公式应用关.‎ ‎21．（题文）已知函数，其中为正实数.‎ ‎（1）若函数在处的切线斜率为2，求的值；‎ ‎（2）求函数的单调区间；‎ ‎（3）若函数有两个极值点，求证：‎ ‎【答案】（1）1；（2）见解析；（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）根据导数几何意义得，解得的值；（2）先求导数，再根据导函数是否变号分类讨论，最后根据导函数符号确定单调区间（3）先根据韦达定理得，再化简，进而化简所证不等式为，最后利用导函数求函数单调性，进而确定最小值，证得结论 试题解析：(1)因为，所以， ‎ 则,所以的值为1． ‎ ‎ (2) ，函数的定义域为，‎ ‎ 若,即,则,此时的单调减区间为; ‎ ‎ 若,即,则的两根为, ‎ ‎ 此时的单调减区间为,,‎ ‎ 单调减区间为． ‎ ‎ (3)由(2)知，当时，函数有两个极值点,且．‎ ‎ 因为 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 要证,只需证． ‎ ‎ 构造函数，则，‎ ‎ 在上单调递增,又,且在定义域上不间断,‎ 由零点存在定理，可知在上唯一实根, 且． ‎ ‎ 则在上递减, 上递增,所以的最小值为． ‎ 因为, ‎ ‎ 当时, ,则,所以恒成立．‎ ‎ 所以,所以，得证．‎ ‎22．在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线与曲线交于两点.‎ ‎(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎(2)已知点的极坐标为，的值.‎ ‎【答案】(1) ，.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：(1)先根据加减消元法得直线的普通方程，再根据将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）先求P直角坐标，再设直线的参数方程标准式，代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义以及利用韦达定理得结果.‎ 详解：(1) 的普通方程为: ；‎ 又, ‎ 即曲线的直角坐标方程为: ‎ ‎(2)解法一: 在直线上,直线的参数方程为(为参数),代入曲线 的直角坐标方程得 ，即,‎ ‎ .‎ 解法二: ‎ ‎ ，‎ ‎，，‎ ‎．‎ 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)‎ 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 ‎(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).‎ ‎(2)|M1M2|＝|t1－t2|.‎ ‎(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.‎ ‎(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据“零点分段法”分为，，三种情形，分别解出不等式，再取并集即可；（2）法一：对恒成立等价于 对恒成立，利用绝对值三角不等式，求得取得最小值，即可求得的取值范围；法二：设，则，根据绝对值三角不等式求得得最小值，从而求得的取值范围.‎ 试题解析：（1）因为，‎ 所以当时，由得；‎ 当时，由得；‎ 当时，由得.‎ 综上，的解集为.‎ ‎（2）法一：由得，‎ 因为，当且仅当取等号，‎ 所以当时，取得最小值.‎ 所以当时，取得最小值，‎ 故，即的取值范围为.‎ 法二：设，则，‎ 当时，取得最小值，‎ 所以当时，取得最小值，‎ 故时，即的取值范围为.‎ 点睛：含绝对值不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.‎