2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§9-6 圆锥曲线的综合问题（试题部分）

2021届课标版高考文科数学大一轮复习精练：§9-6 圆锥曲线的综合问题（试题部分）

§9.6　圆锥曲线的综合问题 探考情 悟真题 【考情探究】 5 年考情考点 内容解读 考题示例 考向 关联考点 预测热度 定点与定 值问题 ①了解圆锥曲线的简单应用; ②掌握解析几何中求解定点、 定值问题的方法和步骤 2019 课标全国Ⅲ,21,12 分 直线过定点 直线与抛物线的位置 关系;圆的方程 ★★★ 2018 浙江,21,15 分 三角形的面积的 取值范围 椭圆、抛物线的几何 性质,直线与抛物线的 位置关系 参变量的 取值范围 和最值 问题 ①了解参变量的意义;②理解解 析几何中求解范围和最值问题 的基本方法;③理解函数思想和 方程思想在圆锥曲线中的应用 2019 课标全国Ⅱ,20,12 分 求椭圆的离心率 及求参数的取值 范围 椭圆的定义 ★★★ 存在性 问题 ①理解圆锥曲线中存在性问题 的基本解法;②理解转化思想在 圆锥曲线中的应用 2016 课标全国Ⅰ,20,12 分 存在性问题 直线与抛物线的位置 关系 ★★☆ 分析解读 从近几年的高考试题来看,直线与圆锥曲线、圆锥曲线间的综合考查主要涉及曲线方程的求法、位置关系的判断及应用、弦长问 题、最值问题、定点定值的探索性问题以及圆锥曲线间的联系等,同时考查学生分析问题及解决综合问题的能力,分值较高,难度较 大.客观题以圆锥曲线间的联系为主,凸显知识的连贯性和综合性,着重考查函数与方程、分类讨论、数形结合等数学思想的应用.在 求解圆锥曲线综合问题时,需要较强的代数运算能力、图形认知能力、逻辑思维能力、数形之间的转化能力,在推理过程中要保持 思维的逻辑性,确保结果正确完整. 破考点 练考向 【考点集训】 考点一　轨迹与轨迹方程 　(2020 届江西南昌开学摸底,20)在平面直角坐标系 xOy 中,已知 Q(-1,2),F(1,0),动点 P 满足|푃푄·푂퐹|=|푃퐹|. (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (2)过点 F 的直线与轨迹 E 交于 A,B 两点,记直线 QA,QB 的斜率分别为 k1,k2,求证:k1+k2 为定值. 答案　(1)设 P(x,y),则푃푄=(-1-x,2-y),푂퐹=(1,0),푃퐹=(1-x,-y),由|푃푄·푂퐹|=|푃퐹|得|-1-x|= (1 - 푥)2 + ( - y)2,化简得 y2=4x,即动点 P 的轨迹 E 的方程为 y2=4x.(5 分) (2)证明:设过点 F(1,0)的直线的方程为 x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 由{푥 = 푚푦 + 1, 푦2 = 4x 得 y2-4my-4=0,∴y1+y2=4m,y1y2=-4,(7 分) ∵k1+k2= 푦1 - 2 푥1 + 1+ 푦2 - 2 푥2 + 1,x1=my1+1,x2=my2+1, ∴k1+k2= 푦1 - 2 푚푦1 + 2+ 푦2 - 2 푚푦2 + 2= (푦1 - 2)(m푦2 + 2) + (푦2 - 2)(m푦1 + 2) (푚푦1 + 2)(m푦2 + 2) = 2푚푦1푦2 + (2 - 2m)(푦1 + 푦2) - 8 푚2푦1푦2 + 2m(푦1 + 푦2) + 4 ,(10 分) 将 y1+y2=4m,y1y2=-4 代入上式得 k1+k2= -8푚2 - 8 4푚2 + 4=-2, 故 k1+k2 为定值-2.(12 分) 考点二　定点与定值问题 1.(2019 云南昆明摸底,11)设点 M 为抛物线 C:y2=4x 的准线上一点(不同于准线与 x 轴的交点),过抛物线 C 的焦点 F 且垂直于 x 轴的直线与 C 交于 A,B 两点,设 MA,MF,MB 的斜率分别为 k1,k2,k3,则 푘1 + 푘3 푘2 的值为(　　) A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 答案　A　 2.(2019 广东二模,20)在平面直角坐标系 xOy 中,抛物线 C:x2=6y 与直线 l:y=kx+3 交于 M,N 两点. (1)设 M,N 到 y 轴的距离分别为 d1,d2,证明:d1 和 d2 的乘积为定值; (2)y 轴上是否存在点 P,当 k 变化时,总有∠OPM=∠OPN?若存在,求点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 答案　(1)证明:将 y=kx+3 代入 x2=6y,得 x2-6kx-18=0.(1 分) 设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1x2=-18,(2 分) 从而 d1d2=|x1|·|x2|=|x1x2|=18,为定值.(4 分) (2)存在符合题意的点 P.(5 分) 设 P(0,b)为符合题意的点,直线 PM,PN 的斜率分别为 k1,k2, 从而 k1+k2= 푦1 - b 푥1 + 푦2 - b 푥2 = 2푘푥1푥2 + (3 - b)(푥1 + 푥2) 푥1푥2 = -36푘 + 6푘(3 - 푏) 푥1푥2 = -6푘(푏 + 3) 푥1푥2 .(9 分) 因为当 k 变化时,总有∠OPM=∠OPN, 所以 k1+k2=0,所以 b=-3,(11 分) 所以存在点 P(0,-3)符合题意.(12 分) 考点三　参变量的取值范围和最值问题 答案　B　 考点四　存在性问题 　(2019 四川凉山州二诊,20)椭圆长轴右端点为 A,上顶点为 M,O 为椭圆的中心,F 为椭圆的右焦点,且푀퐹·퐹퐴= 2-1,离心率为 2 2 . (1)求椭圆的标准方程; (2)是否存在直线 l,使直线 l 交椭圆于 P、Q 两点,且点 F 恰好为△PQM 的垂心?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由. 答案　(1)设椭圆的方程为 푥2 푎2+ 푦2 푏2=1(a>b>0),半焦距为 c. 则 A(a,0),M(0,b),F(c,0),푀퐹=(c,-b),퐹퐴=(a-c,0). 由푀퐹·퐹퐴= 2-1 得 ac-c2= 2-1, 又 푐 푎= 2 2 ,a2=b2+c2, ∴a2=2,b2=1,∴椭圆的标准方程为 푥2 2 +y2=1. (2)存在.∵F 为△PQM 的垂心,∴MF⊥PQ, 又 M(0,1),F(1,0), ∴kMF=-1,∴kPQ=1. 设直线 PQ:y=x+m,P(x1,y1),Q(x2,y2). 将 y=x+m 代入 푥2 2 +y2=1,得 3x2+4mx+2m2-2=0. 则 x1+x2=- 4푚 3 ,x1x2= 2푚2 - 2 3 . Δ=(4m)2-12(2m2-2)>0,解得- 30)有共同的焦点 F,O 为坐标原点,点 P 在 x 轴上方且在 双曲线上,则푂푃·퐹푃的最小值为(　　) A.3-2 3 B.2 3-3 C.- 7 4 D. 3 4 答案　A　 2.(2020 届广西桂林十八中期中,20)已知椭圆 D: 푥2 푎2+ 푦2 푏2=1(a>b>0)的离心率 e= 2 2 ,点( 2,-1)在椭圆 D 上. (1)求椭圆 D 的标准方程; (2)过 y 轴上一点 E(0,t)且斜率为 k 的直线 l 与椭圆 D 交于 A,B 两点,设直线 OA,OB(O 为坐标原点)的斜率分别为 kOA,kOB,若对任 意实数 k,存在 λ∈[2,4],使得 kOA+kOB=λk,求实数 t 的取值范围. 答案　(1)椭圆 D 的离心率 e= 푎2 - 푏2 푎 = 2 2 ,∴a= 2b,(2 分) 又点( 2,-1)在椭圆 D 上,∴ 2 푎2+ 1 푏2=1, 联立{푎 = 2b, 2 푎2 + 1 푏2 = 1,得{푎2 = 4, 푏2 = 2,(4 分) ∴椭圆 D 的标准方程为 푥2 4 + 푦2 2 =1.(5 分) (2)由题意得,直线 l 的方程为 y=kx+t,(6 分) 由{푥2 4 + 푦2 2 = 1, 푦 = 푘푥 + 푡, 得(2k2+1)x2+4ktx+2t2-4=0,(7 分) 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2= -4푘푡 2푘2 + 1,x1x2= 2푡2 - 4 2푘2 + 1,(8 分) kOA+kOB= 푦1 푥1+ 푦2 푥2= 푘푥1 + t 푥1 + 푘푥2 + t 푥2 =2k+ 푡(푥1 + 푥2) 푥1푥2 =2k+t· -4푘푡 2푘2 + 1· 2푘2 + 1 2푡2 - 4 = -4푘 푡2 - 2, 由 kOA+kOB=λk,k∈R,得 -4 푡2 - 2=λ,即 t2=2- 4 휆,(10 分) 又 λ∈[2,4],∴t2∈[0,1],∴t∈[-1,1].(12 分) 方法 4　圆锥曲线中的存在性问题的求解方法 　(2019 5·3 原创冲刺卷三,20)已知定点 F(0,2)和定直线 l:y=-3,动圆 M 在直线 l 的上方,其半径 r=|MF|,且圆 M 上的点到直线 l 的 距离的最小值等于 1. (1)求圆心 M 的轨迹 C 的方程; (2)已知直线 AB 交曲线 C 于 A,B 两点,交 x 轴于点 G,交 y 轴正半轴于点 H,是否存在直线 AB,使得 A,B 两点纵坐标之积为 4,且 1 |퐺퐴| + 1 |퐺퐵|- 3 |퐺퐻|=0?若存在,求出直线 AB 的方程;若不存在,请说明理由. 答案　(1)由题意可知,动点 M 到定点 F(0,2)的距离等于到定直线 l':y=-2 的距离,根据抛物线的定义可知,点 M 的轨迹 C 是以 F 为 焦点的抛物线,故圆心 M 的轨迹 C 的方程为 x2=8y.(4 分) (2)存在.假设存在符合条件的直线 AB,由已知可知直线 AB 的斜率存在,设直线 AB 的方程为 y=kx+b(k≠0,b>0),A(x1,y1),B(x2,y2). 由{푦 = 푘푥 + 푏, 푥2 = 8y 得 x2-8kx-8b=0,所以{64푘2 + 32b > 0, 푥1 + 푥2 = 8k, 푥1푥2 = -8b, (6 分) 所以 y1y2= 푥2 1 8 · 푥2 2 8 =b2. 由 y1y2=4,得 b2=4,又 b>0,所以 b=2.(8 分) 由 1 |퐺퐴|+ 1 |퐺퐵|- 3 |퐺퐻|=0,得 |퐺퐻| |퐺퐴|+ |퐺퐻| |퐺퐵|=3,作 AA'⊥x 轴,BB'⊥x 轴,垂足分别为 A',B',则 |퐺퐻| |퐺퐴|+ |퐺퐻| |퐺퐵|= |푂퐻| |퐴퐴'|+ |푂퐻| |퐵퐵'|= 2 푦1+ 2 푦2= 2(푦1 + 푦2) 푦1푦2 =3,(10 分) 因为 y1y2=4,y1+y2=k(x1+x2)+4=8k2+4,所以 8k2+4=6,所以 k=± 1 2. 故存在符合条件的直线 AB,其方程为 y= 1 2x+2 或 y=- 1 2x+2.(12 分) 【五年高考】 A 组　统一命题·课标卷题组 1.(2019 课标全国Ⅲ,21,12 分)已知曲线 C:y= 푥2 2 ,D 为直线 y=- 1 2上的动点,过 D 作 C 的两条切线,切点分别为 A,B. (1)证明:直线 AB 过定点; (2)若以 E(0,5 2)为圆心的圆与直线 AB 相切,且切点为线段 AB 的中点,求该圆的方程. 答案　本题将直线、抛物线、圆的相关内容有机结合,考查三者之间的位置关系,考查学生分析问题与解决问题的能力,考查逻辑推 理与数学运算的核心素养. (1)证明:设 D(푡, - 1 2),A(x1,y1),则푥21=2y1. 由于 y'=x,所以切线 DA 的斜率为 x1,故 푦1 + 1 2 푥1 - t =x1. 整理得 2tx1-2y1+1=0. 设 B(x2,y2),同理可得 2tx2-2y2+1=0. 故直线 AB 的方程为 2tx-2y+1=0. 所以直线 AB 过定点(0,1 2). (2)由(1)得直线 AB 的方程为 y=tx+ 1 2. 由{푦 = 푡푥 + 1 2, 푦 = 푥2 2 可得 x2-2tx-1=0. 于是 x1+x2=2t,y1+y2=t(x1+x2)+1=2t2+1. 设 M 为线段 AB 的中点,则 M(푡,푡2 + 1 2). 由于퐸푀⊥퐴퐵,而퐸푀=(t,t2-2),퐴퐵与向量(1,t)平行, 所以 t+(t2-2)t=0.解得 t=0 或 t=±1. 当 t=0 时,|퐸푀|=2,所求圆的方程为 x2+(푦 - 5 2)2 =4; 当 t=±1 时,|퐸푀|= 2,所求圆的方程为 x2+(푦 - 5 2)2 =2. 2.(2016 课标全国Ⅰ,20,12 分)在直角坐标系 xOy 中,直线 l:y=t(t≠0)交 y 轴于点 M,交抛物线 C:y2=2px(p>0)于点 P,M 关于点 P 的对称点为 N,连接 ON 并延长交 C 于点 H. (1)求 |푂퐻| |푂푁|; (2)除 H 以外,直线 MH 与 C 是否有其他公共点?说明理由. 答案　(1)由已知得 M(0,t),P( 푡2 2푝,t).(1 分) 又 N 为 M 关于点 P 的对称点,故 N(푡2 푝,t),ON 的方程为 y= 푝 푡x,代入 y2=2px 整理得 px2-2t2x=0,解得 x1=0,x2= 2푡2 푝 . 因此 H(2푡2 푝 ,2t).(4 分) 所以 N 为 OH 的中点,即 |푂퐻| |푂푁|=2.(6 分) (2)直线 MH 与 C 除 H 以外没有其他公共点.(7 分) 理由如下: 直线 MH 的方程为 y-t= 푝 2푡x,即 x= 2푡 푝 (y-t).(9 分) 代入 y2=2px 得 y2-4ty+4t2=0,解得 y1=y2=2t,即直线 MH 与 C 只有一个公共点,所以除 H 以外直线 MH 与 C 没有其他公共 点.(12 分) 3.(2015 课标Ⅱ,20,12 分)已知椭圆 C: 푥2 푎2+ 푦2 푏2=1(a>b>0)的离心率为 2 2 ,点(2, 2)在 C 上. (1)求 C 的方程; (2)直线 l 不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M.证明:直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积 为定值. 答案　(1)由题意有 푐 푎= 2 2 , 4 푎2+ 2 푏2=1, 又 c2=a2-b2,所以 a2=8,b2=4. 所以 C 的方程为 푥2 8 + 푦2 4 =1. (2)设直线 l:y=kx+b(k≠0,b≠0),A(x1,y1),B(x2,y2),M(xM,yM). 将 y=kx+b 代入 푥2 8 + 푦2 4 =1 得(2k2+1)x2+4kbx+2b2-8=0. 故 xM= 푥1 + 푥2 2 = -2푘푏 2푘2 + 1,yM=k·xM+b= 푏 2푘2 + 1. 于是直线 OM 的斜率 kOM= 푦푀 푥푀=- 1 2푘,即 kOM·k=- 1 2. 所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值. B 组　自主命题·省(区、市)卷题组 考点一　定点与定值问题 1.(2016 北京,19,14 分)已知椭圆 C: 푥2 푎2+ 푦2 푏2=1 过 A(2,0),B(0,1)两点. (1)求椭圆 C 的方程及离心率; (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上,直线 PA 与 y 轴交于点 M,直线 PB 与 x 轴交于点 N.求证:四边形 ABNM 的面积为定值. 答案　(1)由题意得,a=2,b=1. 所以椭圆 C 的方程为 푥2 4 +y2=1.(3 分) 又 c= 푎2 - 푏2= 3, 所以离心率 e= 푐 푎= 3 2 .(5 分) (2)证明:设 P(x0,y0)(x0<0,y0<0),则푥20+4푦20=4.(6 分) 又 A(2,0),B(0,1), 所以,直线 PA 的方程为 y= 푦0 푥0 - 2(x-2). 令 x=0,得 yM=- 2푦0 푥0 - 2,从而|BM|=1-yM=1+ 2푦0 푥0 - 2.(9 分) 直线 PB 的方程为 y= 푦0 - 1 푥0 x+1. 令 y=0,得 xN=- 푥0 푦0 - 1, 从而|AN|=2-xN=2+ 푥0 푦0 - 1.(12 分) 所以四边形 ABNM 的面积 S= 1 2|AN|·|BM| = 1 2(2 + 푥0 푦0 - 1)(1 + 2푦0 푥0 - 2) = 푥2 0 + 4푦2 0 + 4푥0푦0 - 4푥0 - 8푦0 + 4 2(푥0푦0 - 푥0 - 2푦0 + 2) = 2푥0푦0 - 2푥0 - 4푦0 + 4 푥0푦0 - 푥0 - 2푦0 + 2 =2. 从而四边形 ABNM 的面积为定值.(14 分) 2.(2015 陕西,20,12 分)如图,椭圆 E: 푥2 푎2+ 푦2 푏2=1(a>b>0)经过点 A(0,-1),且离心率为 2 2 . (1)求椭圆 E 的方程; (2)经过点(1,1),且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P,Q(均异于点 A),证明:直线 AP 与 AQ 的斜率之和为 2. 答案　(1)由题设知 푐 푎= 2 2 ,b=1, 结合 a2=b2+c2,解得 a= 2. 所以椭圆 E 的方程为 푥2 2 +y2=1. (2)证明:由题设知,直线 PQ 的方程为 y=k(x-1)+1(k≠2),代入 푥2 2 +y2=1,得(1+2k2)x2-4k(k-1)x+2k(k-2)=0. 由已知可知 Δ>0. 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),x1x2≠0, 则 x1+x2= 4푘(푘 - 1) 1 + 2푘2 ,x1x2= 2푘(푘 - 2) 1 + 2푘2 . 从而直线 AP,AQ 的斜率之和 kAP+kAQ= 푦1 + 1 푥1 + 푦2 + 1 푥2 = 푘푥1 + 2 - k 푥1 + 푘푥2 + 2 - k 푥2 =2k+(2-k)( 1 푥1 + 1 푥2)=2k+(2-k) 푥1 + 푥2 푥1푥2 =2k+(2-k) 4푘(푘 - 1) 2푘(푘 - 2)=2k-2(k-1)=2. 考点二　参变量的取值范围和最值问题 1.(2018 浙江,17,4 分)已知点 P(0,1),椭圆 푥2 4 +y2=m(m>1)上两点 A,B 满足퐴푃=2푃퐵,则当 m=　　　　时,点 B 横坐标的绝对值最 大. 答案　5 2.(2018 浙江,21,15 分)如图,已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点,抛物线 C:y2=4x 上存在不同的两点 A,B 满足 PA,PB 的中点均在 C 上. (1)设 AB 中点为 M,证明:PM 垂直于 y 轴; (2)若 P 是半椭圆 x2+ 푦2 4 =1(x<0)上的动点,求△PAB 面积的取值范围. 答案　(1)设 P(x0,y0),A(1 4푦21,푦1),B(1 4푦22,푦2). 因为 PA,PB 的中点在抛物线上, 所以 y1,y2 为方程(푦 + 푦0 2 )2 =4· 1 4푦2 + 푥0 2 即 y2-2y0y+8x0-푦20=0 的两个不同的实根. 所以 y1+y2=2y0,因此,PM 垂直于 y 轴. (2)由(1)可知{푦1 + 푦2 = 2푦0, 푦1푦2 = 8푥0 - 푦20,所以|PM|= 1 8(푦21+푦22)-x0= 3 4푦20-3x0,|y1-y2|=2 2(푦20 - 4푥0). 因此,△PAB 的面积 S△PAB= 1 2|PM|·|y1-y2|= 3 2 4 (푦20-4x0) 3 2. 因为푥20+ 푦2 0 4 =1(x0<0),所以푦20-4x0=-4푥20-4x0+4∈[4,5]. 因此,△PAB 面积的取值范围是[6 2,15 10 4 ]. 3.(2016 山东,21,14 分)已知椭圆 C: 푥2 푎2+ 푦2 푏2=1(a>b>0)的长轴长为 4,焦距为 2 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)过动点 M(0,m)(m>0)的直线交 x 轴于点 N,交 C 于点 A,P(P 在第一象限),且 M 是线段 PN 的中点.过点 P 作 x 轴的垂线交 C 于 另一点 Q,延长 QM 交 C 于点 B. (i)设直线 PM,QM 的斜率分别为 k,k',证明 푘' 푘为定值; (ii)求直线 AB 的斜率的最小值. 答案　(1)设椭圆的半焦距为 c. 由题意知 2a=4,2c=2 2, 所以 a=2,b= 푎2 - 푐2= 2. 所以椭圆 C 的方程为 푥2 4 + 푦2 2 =1. (2)(i)证明:设 P(x0,y0)(x0>0,y0>0). 由 M(0,m),可得 P(x0,2m),Q(x0,-2m). 所以直线 PM 的斜率 k= 2푚 - 푚 푥0 = 푚 푥0, 直线 QM 的斜率 k'= -2푚 - 푚 푥0 =- 3푚 푥0 . 此时 푘' 푘=-3.所以 푘' 푘为定值-3. (ii)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 直线 PA 的方程为 y=kx+m, 直线 QB 的方程为 y=-3kx+m. 联立{푦 = 푘푥 + 푚, 푥2 4 + 푦2 2 = 1, 整理得(2k2+1)x2+4mkx+2m2-4=0. 由 x0x1= 2푚2 - 4 2푘2 + 1, 可得 x1= 2(푚2 - 2) (2푘2 + 1)푥0 . 所以 y1=kx1+m= 2푘(푚2 - 2) (2푘2 + 1)푥0 +m. 同理 x2= 2(푚2 - 2) (18푘2 + 1)푥0 ,y2= -6푘(푚2 - 2) (18푘2 + 1)푥0 +m. 所以 x2-x1= 2(푚2 - 2) (18푘2 + 1)푥0 - 2(푚2 - 2) (2푘2 + 1)푥0 = -32푘2(푚2 - 2) (18푘2 + 1)(2푘2 + 1)푥0 , y2-y1= -6푘(푚2 - 2) (18푘2 + 1)푥0 +m- 2푘(푚2 - 2) (2푘2 + 1)푥0 -m= -8푘(6푘2 + 1)(푚2 - 2) (18푘2 + 1)(2푘2 + 1)푥0 , 所以 kAB= 푦2 - 푦1 푥2 - 푥1= 6푘2 + 1 4푘 = 1 4(6푘 + 1 푘). 由 m>0,x0>0,可知 k>0, 所以 6k+ 1 푘≥2 6,等号当且仅当 k= 6 6 时取得. 此时 푚 4 - 8푚2= 6 6 ,即 m= 14 7 ,符合题意. 所以直线 AB 的斜率的最小值为 6 2 . 考点三　存在性问题 　(2015 四川,20,13 分)如图,椭圆 E: 푥2 푎2+ 푦2 푏2=1(a>b>0)的离心率是 2 2 ,点 P(0,1)在短轴 CD 上,且푃퐶·푃퐷=-1. (1)求椭圆 E 的方程; (2)设 O 为坐标原点,过点 P 的动直线与椭圆交于 A,B 两点.是否存在常数 λ,使得푂퐴·푂퐵+λ푃퐴·푃퐵为定值?若存在,求 λ 的值;若不存 在,请说明理由. 答案　(1)由已知得,点 C,D 的坐标分别为(0,-b),(0,b). 又点 P 的坐标为(0,1),且푃퐶·푃퐷=-1, 于是{1 - 푏2 = -1, 푐 푎 = 2 2 , 푎2 - 푏2 = 푐2. 解得 a=2,b= 2. 所以椭圆 E 的方程为 푥2 4 + 푦2 2 =1. (2)当直线 AB 的斜率存在时,设直线 AB 的方程为 y=kx+1,A,B 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 由{푥2 4 + 푦2 2 = 1, 푦 = 푘푥 + 1, 得(2k2+1)x2+4kx-2=0. 其判别式 Δ=(4k)2+8(2k2+1)>0, 所以,x1+x2=- 4푘 2푘2 + 1,x1x2=- 2 2푘2 + 1. 从而,푂퐴·푂퐵+λ푃퐴·푃퐵=x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1-1)(y2-1)] =(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1 = ( - 2휆 - 4)푘2 + ( - 2λ - 1) 2푘2 + 1 =- 휆 - 1 2푘2 + 1-λ-2. 所以,当 λ=1 时,- 휆 - 1 2푘2 + 1-λ-2=-3. 此时,푂퐴·푂퐵+λ푃퐴·푃퐵=-3,为定值. 当直线 AB 斜率不存在时,直线 AB 即为直线 CD. 当 λ=1 时,푂퐴·푂퐵+λ푃퐴·푃퐵=푂퐶·푂퐷+푃퐶·푃퐷=-2-1=-3. 故存在常数 λ=1,使得푂퐴·푂퐵+λ푃퐴·푃퐵为定值-3. C 组　教师专用题组 考点一　定点与定值问题 　(2014 江西,20,13 分)如图,已知抛物线 C:x2=4y,过点 M(0,2)任作一直线与 C 相交于 A,B 两点,过点 B 作 y 轴的平行线与直线 AO 相交于点 D(O 为坐标原点). (1)证明:动点 D 在定直线上; (2)作 C 的任意一条切线 l(不含 x 轴),与直线 y=2 相交于点 N1,与(1)中的定直线相交于点 N2.证明:|MN2|2-|MN1|2 为定值,并求此 定值. 答案　(1)证明:依题意可设直线 AB 的方程为 y=kx+2,代入 x2=4y,得 x2=4(kx+2),即 x2-4kx-8=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 x1x2=-8, 直线 AO 的方程为 y= 푦1 푥1x,直线 BD 的方程为 x=x2. 解得交点 D 的坐标为(푥2, 푦1푥2 푥1 ), 注意到 x1x2=-8 及푥21=4y1,则有 y= 푦1푥1푥2 푥2 1 = -8푦1 4푦1 =-2. 因此 D 点在定直线 y=-2 上(x≠0). (2)依题设知,切线 l 的斜率存在且不等于 0,设切线 l 的方程为 y=ax+b(a≠0),代入 x2=4y 得 x2=4(ax+b),即 x2-4ax-4b=0,由 Δ=0 得(4a)2+16b=0,化简整理得 b=-a2. 故切线 l 的方程可写为 y=ax-a2. 分别令 y=2、y=-2 得 N1、N2 的坐标为 N1(2 푎 + a,2)、N2( - 2 푎 + a, - 2), 则|MN2|2-|MN1|2=(2 푎 - a)2 +42-(2 푎 + a)2 =8, 即|MN2|2-|MN1|2 为定值 8. 考点二　参变量的取值范围和最值问题 1.(2017 山东,21,14 分)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 푥2 푎2+ 푦2 푏2=1(a>b>0)的离心率为 2 2 ,椭圆 C 截直线 y=1 所得线段的长 度为 2 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)动直线 l:y=kx+m(m≠0)交椭圆 C 于 A,B 两点,交 y 轴于点 M.点 N 是 M 关于 O 的对称点,☉N 的半径为|NO|.设 D 为 AB 的中 点,DE,DF 与☉N 分别相切于点 E,F,求∠EDF 的最小值. 答案　(1)由椭圆的离心率为 2 2 ,得 a2=2(a2-b2), 又当 y=1 时,x2=a2- 푎2 푏2,得 a2- 푎2 푏2=2, 所以 a2=4,b2=2. 因此椭圆方程为 푥2 4 + 푦2 2 =1. (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程{푦 = 푘푥 + 푚, 푥2 + 2푦2 = 4, 得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-4=0, 由 Δ>0 得 m2<4k2+2,(*) 且 x1+x2=- 4푘푚 2푘2 + 1,因此 y1+y2= 2푚 2푘2 + 1, 所以 D( - 2푘푚 2푘2 + 1, 푚 2푘2 + 1), 又 N(0,-m),所以|ND|2=( - 2푘푚 2푘2 + 1)2 +( 푚 2푘2 + 1 + m)2 , 整理得|ND|2= 4푚2(1 + 3푘2 + 푘4) (2푘2 + 1)2 , 因为|NF|=|m|, 所以 |푁퐷|2 |푁퐹|2= 4(푘4 + 3푘2 + 1) (2푘2 + 1)2 =1+ 8푘2 + 3 (2푘2 + 1)2. 令 t=8k2+3,t≥3,故 2k2+1= 푡 + 1 4 , 所以 |푁퐷|2 |푁퐹|2=1+ 16푡 (1 + 푡)2=1+ 16 푡 + 1 푡 + 2 . 令 y=t+ 1 푡,所以 y'=1- 1 푡2. 当 t≥3 时,y'>0, 从而 y=t+ 1 푡在[3,+∞)上单调递增, 因此 t+ 1 푡≥ 10 3 , 等号当且仅当 t=3 时成立,此时 k=0, 所以 |푁퐷|2 |푁퐹|2≤1+3=4, 由(*)得- 2b>0)的离心率为 3 2 ,且点( 3,1 2)在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 E: 푥2 4푎2+ 푦2 4푏2=1,P 为椭圆 C 上任意一点,过点 P 的直线 y=kx+m 交椭圆 E 于 A,B 两点,射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. (i)求 |푂푄| |푂푃|的值; (ii)求△ABQ 面积的最大值. 答案　(1)由题意知 3 푎2+ 1 4푏2=1, 又 푎2 - 푏2 푎 = 3 2 ,解得 a2=4,b2=1. 所以椭圆 C 的方程为 푥2 4 +y2=1. (2)由(1)知椭圆 E 的方程为 푥2 16+ 푦2 4 =1. (i)设 P(x0,y0), |푂푄| |푂푃|=λ, 由题意知 Q(-λx0,-λy0). 因为 푥2 0 4 +푦20=1, 又 ( - 휆푥0)2 16 + ( - 휆푦0)2 4 =1, 即 휆2 4 (푥2 0 4 + 푦20)=1, 所以 λ=2,即 |푂푄| |푂푃|=2. (ii)设 A(x1,y1),B(x2,y2). 将 y=kx+m 代入椭圆 E 的方程, 可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-16=0, 由 Δ>0,可得 m2<4+16k2.① 则有 x1+x2=- 8푘푚 1 + 4푘2,x1x2= 4푚2 - 16 1 + 4푘2 . 所以|x1-x2|= 4 16푘2 + 4 - 푚2 1 + 4푘2 . 因为直线 y=kx+m 与 y 轴交点的坐标为(0,m), 所以△OAB 的面积 S= 1 2|m||x1-x2| = 2 16푘2 + 4 - 푚2|m| 1 + 4푘2 = 2 (16푘2 + 4 - 푚2)푚2 1 + 4푘2 =2 (4 - 푚2 1 + 4푘2) 푚2 1 + 4푘2. 设 푚2 1 + 4푘2=t. 将 y=kx+m 代入椭圆 C 的方程, 可得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0, 由 Δ≥0,可得 m2≤1+4k2.② 由①②可知 0 1 4时,S△OPQ=8· 4푘2 + 1 4푘2 - 1 =8(1 + 2 4푘2 - 1)>8; 当 0≤k2< 1 4时,S△OPQ=8· 4푘2 + 1 1 - 4푘2 =8( -1 + 2 1 - 4푘2). 因 0≤k2< 1 4,则 0<1-4k2≤1, 2 1 - 4푘2≥2, 所以 S△OPQ=8( -1 + 2 1 - 4푘2)≥8, 当且仅当 k=0 时取等号. 所以当 k=0 时,S△OPQ 的最小值为 8. 综合(i)(ii)可知,当直线 l 与椭圆 C 在四个顶点处相切时,△OPQ 的面积取得最小值 8. 2.(2014 湖南,20,13 分)如图,O 为坐标原点,双曲线 C1: 푥2 푎2 1 - 푦2 푏2 1 =1(a1>0,b1>0)和椭圆 C2: 푦2 푎2 2 + 푥2 푏2 2 =1(a2>b2>0)均过点 P(2 3 3 ,1),且以 C1 的两个顶点和 C2 的两个焦点为顶点的四边形是面积为 2 的正方形. (1)求 C1,C2 的方程; (2)是否存在直线 l,使得 l 与 C1 交于 A,B 两点,与 C2 只有一个公共点,且|푂퐴+푂퐵|=|퐴퐵|?证明你的结论. 答案　(1)设 C2 的焦距为 2c2,由题意知,2c2=2,2a1=2, 从而 a1=1,c2=1. 因为点 P(2 3 3 ,1)在双曲线 x2- 푦2 푏2 1 =1 上,所以(2 3 3 )2 - 1 푏2 1 =1,故푏21=3. 由椭圆的定义知 2a2= (2 3 3 )2 + (1 - 1)2+ (2 3 3 )2 + (1 + 1)2=2 3. 于是 a2= 3,푏22=푎22-푐22=2,故 C1,C2 的方程分别为 x2- 푦2 3 =1, 푦2 3 + 푥2 2 =1. (2)不存在符合题设条件的直线. (i)若直线 l 垂直于 x 轴,因为 l 与 C2 只有一个公共点,所以直线 l 的方程为 x= 2或 x=- 2. 当 x= 2时,易知 A( 2, 3),B( 2,- 3), 所以|푂퐴+푂퐵|=2 2,|퐴퐵|=2 3, 此时,|푂퐴+푂퐵|≠|퐴퐵|. 当 x=- 2时,同理可知,|푂퐴+푂퐵|≠|퐴퐵|. (ii)若直线 l 不垂直于 x 轴,设 l 的方程为 y=kx+m, 由{푦 = 푘푥 + 푚, 푥2 - 푦2 3 = 1 得(3-k2)x2-2kmx-m2-3=0. 当 l 与 C1 相交于 A,B 两点时,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是上述方程的两个实根,从而 x1+x2= 2푘푚 3 - 푘2,x1x2= 푚2 + 3 푘2 - 3 . 于是 y1y2=k2x1x2+km(x1+x2)+m2= 3푘2 - 3푚2 푘2 - 3 . 由{푦 = 푘푥 + 푚, 푦2 3 + 푥2 2 = 1 得(2k2+3)x2+4kmx+2m2-6=0. 因为直线 l 与 C2 只有一个公共点,所以上述方程的判别式 Δ=16k2m2-8(2k2+3)(m2-3)=0. 化简,得 2k2=m2-3,因此푂퐴·푂퐵=x1x2+y1y2= 푚2 + 3 푘2 - 3 + 3푘2 - 3푚2 푘2 - 3 = - 푘2 - 3 푘2 - 3 ≠0, 于是푂퐴2 +푂퐵2 +2푂퐴·푂퐵≠푂퐴2 +푂퐵2 -2푂퐴·푂퐵, 即|푂퐴+푂퐵|2≠|푂퐴-푂퐵|2,故|푂퐴+푂퐵|≠|퐴퐵|. 综合(i),(ii)可知,不存在符合题设条件的直线. 【三年模拟】 时间:60 分钟　分值:70 分 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1.(2020 届云南昆明一中第二次月考,11)已知圆 M:(x+ 5)2+y2=36,定点 N( 5,0),点 P 为圆 M 上的动点,点 Q 在 NP 上,点 G 在 MP 上,且满足푁푃=2푁푄,퐺푄·푁푃=0,则点 G 的轨迹方程为(　　) A. 푥2 9 + 푦2 4 =1 B. 푥2 36+ 푦2 31=1 C. 푥2 9 - 푦2 4 =1 D. 푥2 36- 푦2 31=1 答案　A　 2.(2020 届云南昆明第一中学第四次月考,11)设 P,Q 分别为圆 x2+(y-6)2=2 和椭圆 푥2 10+y2=1 上的动点,则 P,Q 两点间的最大距离 是(　　) A.5 2 B. 46+ 2 C.7+ 2 D.6 2 答案　D　 3.(2020 届河南中原名校联盟第三次测评,10)椭圆 C: 푥2 푎2+ 푦2 푏2=1(a>b>0)的长轴长、短轴长和焦距成等差数列,若点 P 为椭圆 C 上的 任意一点,且 P 在第一象限,O 为坐标原点,F(3,0)为椭圆 C 的右焦点,则푂푃·푃퐹的取值范围为(　　) A.(-16,-10) B.( -10, - 39 4 ) C.( -16, - 39 4 ] D.( -∞, - 39 4 ] 答案　C　 4.(2020 届甘肃顶级名校 10 月联考,12)已知椭圆 C1: 푥2 푎2 1 + 푦2 푏2 1 =1(a1>b1>0)与双曲线 C2: 푥2 푎2 2 - 푦2 푏2 2 =1(a2>0,b2>0)有相同的焦点 F1,F2,若点 P 是 C1 与 C2 在第一象限内的交点,且|F1F2|=2|PF2|,设 C1 与 C2 的离心率分别为 e1,e2,则 e2-e1 的取值范围是(　　) A.(1 2, + ∞) B.(1 3, + ∞) C.[1 2, + ∞) D.[1 3, + ∞) 答案　A　 5.(2019 四川绵阳二诊,12)已知椭圆 C: 푥2 푚+ 푦2 푚 - 4=1(m>4)的右焦点为 F,点 A(-2,2)为椭圆 C 内一点.若椭圆 C 上存在一点 P,使得 |PA|+|PF|=8,则 m 的取值范围是(　　) A.(6+2 5,25] B.[9,25] C.(6+2 5,20] D.[3,5] 答案　A 6.(2019 安徽六安一中 4 月月考,12)已知点 P(-2,0),设不垂直于 x 轴的直线 l 与抛物线 y2=4x 交于不同的两点 A、B,若 x 轴是 ∠APB 的平分线所在直线,则直线 l 一定过点(　　) A.(-1,0) B.(1,0) C.(2,0) D.(4,0) 答案　C　 二、填空题(共 5 分) 7.(2020 届豫南九校第三次联考,16)已知椭圆 C:3x2+4y2=12,椭圆 C 上有不同的两点关于直线 l:y=4x+m 对称,则实数 m 的取值 范围为　　　　　　. 答案　( - 2 13 13 ,2 13 13 ) 三、解答题(共 35 分) 8.(2020 届陕西百校联盟 9 月联考,21)记抛物线 C:y2=-2x 的焦点为 F,点 M 在抛物线上,N(-3,1),斜率为 k 的直线 l 与抛物线 C 交 于 P,Q 两点. (1)求|MN|+|MF|的最小值; (2)若 M(-2,2),直线 MP,MQ 的斜率都存在,且 kMP+kMQ+2=0,探究直线 l 是否过定点.若是,求出该定点坐标;若不是,请说明理由. 答案　(1)设抛物线 C 的准线为 l',过点 M 作 MM'⊥l',垂足为 M',过点 N 作 NN'⊥l',垂足为 N',(1 分) 则|MN|+|MF|=|MN|+|MM|'≥|NN'|= 7 2, 故|MN|+|MF|的最小值为 7 2.(4 分) (2)设直线 l 的方程为 y=kx+b,P(x1,y1),Q(x2,y2), 将直线 l 的方程与抛物线 C 的方程联立得{푦 = 푘푥 + 푏, 푦2 = -2x, 得 k2x2+(2kb+2)x+b2=0,(6 分) 则 x1+x2= -2푘푏 - 2 푘2 ①,x1x2= 푏2 푘2②,(7 分) 又 kMP+kMQ= 푦1 - 2 푥1 + 2+ 푦2 - 2 푥2 + 2=-2, 即(kx1+b-2)(x2+2)+(kx2+b-2)(x1+2)=-2(x1+2)(x2+2), 2kx1x2+2k(x1+x2)+b(x1+x2)-2(x1+x2)+4b-8=-2x1x2-4(x1+x2)-8, 将①②代入化简得,b2-b-2-2k(b+1)=0, 即(b+1)(b-2-2k)=0,得 b=-1 或 b=2+2k.(9 分) 当 b=-1 时,直线 l 为 y=kx-1,此时直线恒过(0,-1);(10 分) 当 b=2+2k 时,直线 l 为 y=kx+2k+2=k(x+2)+2,此时直线恒过 M(-2,2),不合题意,舍去. 综上所述,直线 l 过定点(0,-1).(12 分) 9.(2018 河北五校 12 月联考,20)已知椭圆 C: 푥2 푎2+ 푦2 푏2=1(a>b>0)的离心率为 2 2 ,右焦点为 F,上顶点为 A,且△AOF 的面积为 1 2(O 是坐标 原点). (1)求椭圆 C 的方程; (2)设 P 是椭圆 C 上的一点,过 P 的直线 l 与以椭圆的短轴为直径的圆切于第一象限,切点为 M,证明:|PF|+|PM|为定值. 答案　(1)设椭圆的半焦距为 c,由已知得{푐2 푎2 = 1 2, 1 2bc = 1 2, 푏2 + 푐2 = 푎2 ⇒{푎2 = 2, 푏2 = 1, ∴椭圆 C 的方程为 푥2 2 +y2=1. (2)证明:以短轴为直径的圆的方程为 x2+y2=1,F(1,0), 设 P(x0,y0),则 푥2 0 2 +푦20=1(00,x1+x2= 24푘2 3 + 4푘2, ∴|MN|=12- 1 2(x1+x2)=12- 12푘2 3 + 4푘2=12- 12 3 푘2 + 4 , ∵k≥2 6或 k≤-2 6, ∴k2≥24, ∴0< 1 푘2≤ 1 24, ∴9<12- 12 3 푘2 + 4 ≤ 100 11 ,即 9<|MN|≤ 100 11 . 综上可知,|MN|的取值范围是[9,100 11 ].