2018届二轮复习不等式学案（江苏专用）

2018届二轮复习不等式学案（江苏专用）

热点问题4 基本不等式 一、 填空题 ‎1．已知，若实数满足，则的最小值为 ．‎ 答案 7‎ 解析 由可得：，则，其中（），由基本不等式，则（当且仅当时，等号成立）．‎ ‎2．已知正实数x，y满足，则x + y 的最小值为 ．‎ 答案 ‎ 解析 因为，则，所以 ‎ 正实数x，y，则 ‎ 又（当且仅当时式中等号成立）‎ ‎3．函数的最大值为 ．‎ 答案 ‎ 解析 ，令，则 欲使函数取得最大值，则，又，所以．‎ ‎4．若不等式x2＋2xy≤a(x2＋y2)对于一切正数x，y恒成立，则实数a的最小值为________．‎ 答案 ‎ 解析 因为 ‎ 令，则（），又 ‎ 令，则=‎ 所以．‎ ‎ 5．设，过定点A的动直线和过定点B的动直线交于点，则的最大值是 ．‎ 答案 5‎ 解析 由题意：，又两直线互相垂直，所以点的轨迹是以为直径的圆，则，所以 ‎6．已知的最大值为_________．‎ ‎ 答案 4‎ 解析 ‎ ‎7．已知，且满足，则的最大值为 ．‎ ‎ 答案 18‎ ‎ 解析 ，‎ ‎ ，，…．‎ ‎8．国际上钻石的重量计量单位为克拉．已知某种钻石的价值V美元与其重量ω克拉的平方成正比，若把一颗钻石切割成重量分别为m，n(m≥n)的两颗钻石，且价值损失的百分率＝×100%(切割中重量损耗不计)，则价值损失的百分率的最大值为________．‎ 答案 50%　‎ 解析 因为V与ω的平方成正比，所以设V＝kω2，则原有价值V0＝k(m＋n)2，现有价值 V＝V1＋V2＝km2＋kn2，所以价值损失的百分率＝＝×100%，而＝≤＝，当且仅当m＝n时取等号．故价值损失的百分率的最大值为50%．‎ 二、解答题 ‎9．设函数．‎ ‎（1）若不等式的解集．求的值；‎ ‎（2）若求的最小值．‎ 解 （1）由不等式的解集可得：方程的两根为且 由根与系数的关系可得： ‎ ‎（2）若，则，所以 ‎ 的最小值为9（当且仅当时式中等号成立）‎ ‎10．有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定：大桥上的车距d m与车速v km/h和车长l m的关系满足d＝kv‎2l＋l(k为正的常数)．假定车身长为‎4 m，当车速为‎60 km/h时，车距为2．66个车身长．‎ ‎（1）写出车距d m关于车速v km/h的函数关系式；‎ ‎（2）应规定怎样的车速，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？‎ 解 （1） 由题意，当v＝60时，d＝2．66l，‎ 所以k＝＝＝0．0006，‎ 所以d＝0．0024v2＋2．‎ ‎（2）设每小时通过的车辆数为Q，则Q＝．‎ 即Q＝＝．‎ 因为0．0024v＋≥2＝0．24，‎ 所以Q≤＝，当且仅当0．0024v＝，即v＝50时，Q取最大值．‎ 故当车速为50 km/h时，大桥上每小时通过的车辆最多．‎ ‎11． 已知数列的前项和为，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，＝，记数列的前项和．若对，‎ ‎ 恒成立，求实数的取值范围．‎ 解：（1）当时，，‎ 当时，‎ 即：，数列为以2为公比的等比数列 ‎ ‎ （2）由得，则cn＝＝＝－，‎ Tn＝1－＋－＋…＋－＝1－＝．‎ ‎∵≤k(n＋4)，∴k≥＝． ‎ ‎∵n＋＋5≥2＋5＝9，当且仅当n＝，即n＝2时等号成立，‎ ‎∴≤，因此k≥，故实数k的取值范围为 ‎ ‎12．如图，点是椭圆的一个顶点，的长轴是圆的直径．是过点且互相垂直的两条直线，其中交圆于两点，交椭圆于另一点 ‎(1)求椭圆的方程； (2)求面积取最大值时直线的方程．‎ x O y B l1‎ l2‎ P D A ‎（第12题图）‎ ‎ 解 （1）由已知得到，且，所以椭圆的方程是； ‎ ‎（2）因为直线，且都过点，所以设直线，‎ 直线，所以圆心到直线 的距离为，‎ 所以直线被圆所截的弦； ‎ 由，所以 ‎ ‎，所以 ‎ ‎， ‎ 当时等号成立，此时直线 ．‎