2017-2018学年江西省樟树中学高二下学期第一次月考数学（理）试题 Word版
江西省樟树中学2017-2018高二年级下学期第一次月考
数学试卷（理）
考试范围：考到选修2－3第一章 考试时间：3月25日
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1.若复数满足，则复数的虚部为( )
A． B． C． D．
2．已知函数在区间内可导，且，则＝
A． B．2 C．－2 D．0
3．用数学归纳法证明“1＋＋＋…＋
1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立推证n＝k＋1时，左边应增加的项数是
A．2k－1 B．2k－1 C．2k D．2k＋1
4．若直线平分圆，则的最小值是A．16 B．9 C.12 D．8
5．设满足约束条件，则取值范围是（ ）
A. B. C. D.
6．已知的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的常数项为（ ）
A. B. C. D.
7．从0，1，2，3，4，5这六个数中取两个奇数和两个偶数组成没有重复数字的四位数的个数是
A. 300 B. 216 C. 180 D. 162
8．已知 ，则的值等于（ ）
A. 64 B. 32 C. 63 D. 31
9．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图，在鳖臑中，平面，且，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B.
C. D.
10.椭圆的焦点分别为，弦过，若的内切圆面积为，两点的坐标分别为和，则的值为( )
A．6 B． C. D．3
11.当时，下列有关函数，的结论正确的个数为（ ）
①是偶函数；
②与有相同的对称中心；
③函数与的图象交点的横坐标之和为；
④函数与的图象交点的纵坐标之和为.
A． B． C. D．
12.已知函数，，存在，使得的最小值为，则函数图象上一点到函数图象上一点的最短距离为（ ）
A． B． C. D．
二、填空题（本大题共4小题，共20分）
13． ．
14．设，，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是________．
15．社团活动有助于学生综合素质的提高，樟树中学高一新生中的6名同学打算参加学校组织的“科技社”、“舞蹈社”、“美术社”、“足球社”、“篮球社”五个社团，若每名同学必须参加且只能参加1个社团而且每个社团都要有同学参加，则不同参加方法数为 种.
16．过抛物线焦点的直线与交于两点，在点处的切线分别与轴交于两点，则的最大值是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（本小题满分10分）
7名师生站成一排照相留念，其中老师1人，男生4人，女生2人，在下列情况下，各有不同站法多少种？
（1）两个女生必须相邻而站；
（2）4名男生互不相邻；
（3）老师不站中间，女生甲不站左端．
18．（本小题满分12分）
已知（且）的展开式中前三项的系数成等差数列.
（1）求展开式中二项式系数最大的项；
（2）求展开式中所有的有理项.
19．（本小题满分12分）
如图，设点P在曲线y＝x2上，从原点向A(2,4)移动，记直线OP与曲线y＝x2所围成图形的面积为S1，直线OP、直线x＝2与曲线y＝x2所围成图形的面积为S2.
（1）当S1＝S2时，求点P的坐标；
（2）当S1＋S2取最小值时，求点P的坐标及此最小值。
20．（本题满分12分）
如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=CD=2，点M是线段EC的中点．
（1）求证：BM∥平面ADEF；
（2）求证：平面BDE⊥平面BEC；
（3）求平面BDM与平面ABF所成的角（锐角）的余弦值．
21． （本小题满分12分）
如图，椭圆经过点，离心率，直线的方程为.
求椭圆的方程；
是经过右焦点的任一弦（不经过点），设直线与直线相交于点，记，，的斜率为，，.问：是否存在常数，使得？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
22． （本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）设，讨论的单调性；
（Ⅱ）若不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求的最小值.
樟树中学高二年级数学第一次月考答案
BBCBD CCCAD CC
13． 14。 15。1800 16．8
17．（1）1440；……4分（2）144种；……8分（3）3720种. ……12分
18．∵，，成等差，∴ ∴.……2分
（1） ，∴时，二项式系数最大，
即二项式系数最大项为.……7分
（2）由，知或8，∴有理项为，.……12分
19．解： (1)设点P的横坐标为t(00；
故当t＝时，S1＋S2有最小值，最小值为－，
此时点P的坐标为(，2)．……12分
20．（1）证明：取DE的中点N，连结MN，AN．在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，则MN∥CD且．由已知AB∥CD，，
得MN∥AB，且MN=AB，四边形ABMN为平行四边形，BM∥AN，
因为AN⊂平面ADEF，且BM⊄平面ADEF∴BM∥平面ADEF．……3分
（2）证明：在正方形ADEF中，ED⊥AD．又平面ADEF⊥平面ABCD，
平面ADEF∩平面ABCD=AD，∴ED⊥平面ABCD．∴ED⊥BC．
在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4， 得．在△BCD中，，CD=4，可得BC⊥BD．又ED∩BD=D，故BC⊥平面BDE．
又BC⊂平面BEC，则平面BDE⊥平面BEC．……6分
（3）解：如图，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，4，0），
D（0，0，0），E（0，0，2）．因为点M是线段EC的中点，
则M（0，2，1），，又．
设是平面BDM的法向量则，．取x1=1，得y1=﹣1，z1=2，即得平面BDM的一个法向量为 由题可知，是平面ABF的一个法向量．
设平面BDM与平面ABF所成锐二面角为θ，
因此，．……12分
21 由在椭圆上得，①依题设知，则②
②带入①解得，，.故椭圆的方程为.……4分
由题意可设的斜率为，则直线的方程为③
代入椭圆方程并整理，得，
设，，则有，④
在方程③中令得，的坐标为.
从而，，.注意到，，共线，则有，即有.
所以
④代入得，
又，所以，故存在常数符合题意. ……12分
22.（Ⅰ）函数定义域为，由题意得，则，
①当时，，则在上单调递增；
②当时，令，解得，
当时，，在上单调递增，
当时，，在上单调递减. ……4分
（Ⅱ）设函数，其中为自然对数的底数，
∴，，
当时，，在上是增函数，∴不可能恒成立，
当时，由，得,
∵不等式恒成立，∴，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴当时，取最大值，，
∴满足即可，∴，
∴，令，，
令，，由，得，当时，，是增函数，
当时，，是减函数，
∴当时，取最小值，
∵时，，时，，，
∴当时，，是减函数，
当时，，是增函数，
∴时，取最小值，，
∴的最小值为.……12分
