2018-2019学年福建省厦门外国语学校高二下学期第一次月考数学（文）试题 解析版

2018-2019学年福建省厦门外国语学校高二下学期第一次月考数学（文）试题 解析版

绝密★启用前 福建省厦门外国语学校2018-2019学年高二下学期第一次月考数学（文)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．曲线在点处的切线的倾斜角为（ ）‎ A．-1 B．45° C．-45° D．135°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 要求曲线在点处切线的倾斜角，先求出曲线方程的导函数，并计算出点处的导数即切线的斜率，然后利用斜率与倾斜角的关系求解.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以，‎ ‎∴．‎ 由，，‎ 得，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义，以及已知斜率求倾斜角，属于简单题.要解答本题，首先必须掌握在曲线上某点的导函数就是该点处的切线斜率，先对函数求导求得切线斜率，即是倾斜角正切值，再结合倾斜角本身的范围即可求出倾斜角的值.‎ ‎2．设函数，且，则k=（  ）‎ A．0 B．-1 C．3 D．-6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析：由，按导数乘法乘积运算法则求导可得 ‎，由可求k.‎ 详解： ‎ ‎ ‎ ‎，‎ 解得.‎ 故选：B.‎ 点睛：对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误．‎ ‎3．已知的导函数图象如图所示，那么的图象最有可能是图中的（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，根据的图象可知，当或时，，当时，，所以函数或时，函数单调递减，当时，函数单调递增，故选A.‎ 考点：函数的单调性与导数的关系.‎ ‎4．若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：，∵函数在区间单调递增，∴在区间上恒成立．∴，而在区间上单调递减，∴．∴的取值范围是．故选：D．‎ 考点：利用导数研究函数的单调性.‎ 视频 ‎5．若曲线在点处的切线方程是，则（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的切线方程得到切点坐标以及切线斜率，再根据导数的几何意义列方程求解即可．‎ ‎【详解】‎ 曲线在点处的切线方程是，‎ ‎，则，即切点坐标为，‎ 切线斜率，‎ 曲线方程为，‎ 则函数的导数 ‎ 即，即，‎ 则，，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义的应用，属于中档题．应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：(1) 已知切点求斜率,即求该点处的导数；(2) 己知斜率求切点即解方程；(3) 巳知切线过某点(不是切点) 求切点, 设出切点利用求解.‎ ‎6．已知函数在区间 内存在单调递减区间，实数a的取值范围    ‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出函数的导数，问题转化为，根据不等式的性质求出a的范围即可．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 由题意得，‎ 使得不等式成立，‎ 即时，，‎ 令，，‎ 则，‎ 令，解得：，‎ 令，解得：，‎ 故在递增，在递减，‎ 故，‎ 故满足条件a的范围是，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及不等式的性质，是一道中档题．‎ ‎7．已知复数满足，则的虚部为（ ）‎ A．-4 B．‎ C．4 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题解析：设 ‎∴，解得 考点：本题考查复数运算及复数的概念 点评：解决本题的关键是正确计算复数，要掌握复数的相关概念 ‎8．已知是定义在上的奇函数，且当时，不等式成立，若 ，则的大小关系是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】令，当x<0时，F(x)在单调递减。又f(x)是奇函数，F(x)是偶函数，所以F(x)在单调递增，所以，既 ‎>> ，选A.‎ ‎9．已知函数，当时，恒成立，则实数的取值范围是 ( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求得的最小值，然后结合恒成立的条件求解实数的取值范围即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得：，‎ 令可得：，‎ 且：，‎ 据此可知函数在区间上的最小值为，‎ 结合恒成立的条件可得：，‎ 求解关于m的不等式可得实数的取值范围是.‎ 本题选择C选项.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函数求解函数的最值，恒成立条件的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎10．若对于任意实数，函数恒大于零，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求出函数的导数，根据导数的符号求出函数的单调区间，求出最值，即可得到实数的取值范围 ‎【详解】‎ 当时，恒成立 若，为任意实数，恒成立 若时，恒成立 即当时，恒成立，‎ 设，则 当时，，则在上单调递增 当时，，则在上单调递减 当时，取得最大值为 则要使时，恒成立，的取值范围是 故选 ‎【点睛】‎ 本题以函数为载体，考查恒成立问题，解题的关键是分离含参量，运用导数求得新函数的最值，继而求出结果，当然本题也可以不分离参量来求解，依然运用导数来分类讨论最值情况。‎ ‎11．若点是曲线上任意一点，则点到直线的距离的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 点是曲线上任意一点,‎ 所以当曲线在点P的切线与直线平行时，点P到直线的距离的最小，‎ 直线的斜率为1，由，解得或（舍）.‎ 所以曲线与直线的切点为.‎ 点到直线的距离最小值是.选C.‎ ‎12．直线分别与直线，曲线交于点，则的最小值为（ ）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：设，则，所以，所以，令，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以时，函数的最小值为，故选D.‎ 考点：导数的应用.‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．是虚数单位，复数 ________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直接利用复数代数形式的乘除运算化简求值．‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．‎ ‎14．设x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则常数a－b的值为________．‎ ‎【答案】21‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知得，且，，由此利用导数性质能求出常数的值.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以 因为与是函数，的两个极值点，可得 解得，，所以，故答案为21.‎ ‎【点睛】‎ 在极值点处，曲线若有切线则切线是水平的，即：当切线存在时，极值点处的导数为 ‎0；‎ 注意：导数为0的点不一定是极值点，如.‎ ‎15．已知函数，则的极大值为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ，因此，时取极大值 ‎16．已知过点作曲线的切线有且仅有两条，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点为，求导得斜率，然后利用点斜式得切线方程，将点A代入，使得方程关于有两解即可.‎ ‎【详解】‎ 设切点为，则切线斜率为：.‎ 切线方程为：，‎ 将点代入切线方程得：，又.‎ 所以，整理得有两个解.‎ 所以，解得或.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的几何意义：求切线，求切线时要注意设过点作切线还是在点处的切线，前者需要设出切点，后者给出的点即为切点，属于易错题型.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．求当为何实数时，复数满足：‎ ‎（Ⅰ）为实数；（Ⅱ）为纯虚数；（Ⅲ）位于第四象限．‎ ‎【答案】（Ⅰ）或（Ⅱ）（Ⅲ）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（Ⅰ）由虚部等于0，求得值；（Ⅱ）由实部等于0且虚部不等于0求得值；（Ⅲ）由实部大于0且虚部小于0求得的范围．‎ ‎【详解】‎ 复数． ‎ ‎（Ⅰ）若z为实数，则，解得或；‎ ‎（Ⅱ）若z为纯虚数，则 ，解得；‎ ‎（Ⅲ）若z位于第四象限，则 ，解得．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的代数表示法及其几何意义，熟记复数概念和几何意义即可，属于基础题型.‎ ‎18．设函数。‎ ‎（1）求函数的单调减区间；‎ ‎（2）若函数在区间上的极大值为8，求在区间上的最小值。‎ ‎【答案】（1）减区间为（﹣1，2）；（2）f(x)的最小值为-19。‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出，由可得减区间；（2）根据极大值为8求得，然后再求出最小值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）f′（x）=6x2-6x﹣12=6（x-2）（x+1），‎ 令，得﹣1＜x＜2．‎ ‎∴函数f（x）的减区间为（﹣1，2）．‎ ‎（2）由（1）知，f′（x）=6x2-6x﹣12=6（x+1）（x﹣2），‎ 令f′（x）=0，得x=-1或x=2（舍）．‎ 当x在闭区间[-2，3]变化时，f′（x），f（x）变化情况如下表 x ‎(-2,-1)‎ ‎-1‎ ‎(-1,2)‎ ‎2‎ ‎(2,3)‎ f′（x）‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ f（x）‎ 单调递增 m+7‎ 单调递减 m-20‎ 单调递增 ‎∴当x=-1时，f（x）取极大值f（-1）=m+7，‎ 由已知m+7=8，得m=1．‎ 当x=2时f(x)取极小值f(2)=m-20=-19‎ 又f(-2)=-3,‎ 所以f(x)的最小值为-19．‎ ‎【点睛】‎ ‎（1）解题时注意导函数的符号与函数单调性间的关系；‎ ‎（2）求函数在闭区间上的最值时，可先求出函数在该区间上的极值，然后再求出函数在区间端点处的函数值，比较后最大者即为最大值，最小者即为最小值．‎ ‎19．已知函数.‎ 求的单调区间；‎ 若在处取得极值，直线y=与的图象有三个不同的交点，求的取值范围。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 略 ‎20．已知函数 . ‎ ‎（1）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）求的单调区间.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导数，根据导数的几何意义求出切线的斜率，结合点斜式，即可得到切线方程；（2）求导数，构造函数，对求导，根据导数确定的符号，即可判断的单调性.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解： ， 所以 ， ，‎ 因此曲线 在 处的切线方程为： ‎ ‎（2）解： 令 ，则 ，‎ 当 时， ， 单调递减，‎ 当 时， ， 单调递增.‎ 所以 所以 在 单调递增 ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，对函数求导，解导函数对应的不等式即可求解，属于常考题型.‎ ‎21．设f(x)="xln" x–ax2+(2a–1)x，aR.‎ ‎（Ⅰ）令g(x)=f'(x)，求g(x)的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）已知f(x)在x=1处取得极大值.求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）当时，函数单调递增区间为，当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为； （Ⅱ）‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）先求出，然后讨论当时，当时的两种情况即得.‎ ‎（Ⅱ）分以下情况讨论：①当时，②当时，③当时，④当时，综合即得.‎ 试题解析：（Ⅰ）由 可得，‎ 则，‎ 当时，‎ 时， ，函数单调递增；‎ 当时，‎ 时， ，函数单调递增，‎ 时， ，函数单调递减.‎ 所以当时， 单调递增区间为；‎ 当时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知， .‎ ‎①当时， ， 单调递减.‎ 所以当时， ， 单调递减.‎ 当时， ， 单调递增.‎ 所以在x=1处取得极小值，不合题意.‎ ‎②当时， ，由(Ⅰ)知在内单调递增，‎ 可得当当时， ， 时， ，‎ 所以在(0,1)内单调递减，在内单调递增，‎ 所以在x=1处取得极小值，不合题意.‎ ‎③当时，即时， 在(0,1)内单调递增，在内单调递减，‎ 所以当时， ， 单调递减，不合题意.‎ ‎④当时，即，当时， ， 单调递增,‎ 当时， ， 单调递减，‎ 所以f(x)在x=1处取得极大值，合题意.‎ 综上可知，实数a的取值范围为.‎ ‎【考点】应用导数研究函数的单调性、极值,分类讨论思想 ‎【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题.解答本题，准确求导是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当.本题能较好地考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力及分类讨论思想等.‎ 视频 ‎22．已知函数 . ‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若存在，使成立，求整数的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）5.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)求导，分类讨论时三种情况的单调性(2)分离含参量，构造新函数，，求导算出零点的范围，从而求出结果 解析：（1）由题意可知，，，‎ 方程对应的，‎ 当，即时，当时，，‎ ‎∴在上单调递减； ‎ 当时，方程的两根为，‎ 且 ， ‎ 此时，在上，函数单调递增，‎ 在上，函数单调递减；‎ 当时，，， ‎ 此时当，单调递增，‎ 当时，，单调递减； ‎ 综上：当时，，单调递增，当时， 单调递减；‎ 当时，在上单调递增，‎ 在上单调递减；‎ 当时，在上单调递减； ‎ ‎（2）原式等价于，‎ 即存在，使成立．‎ 设，，‎ 则， ‎ 设，‎ 则，∴在上单调递增．‎ 又，根据零点存在性定理，可知在上有唯一零点，设该零点为， 则，且，即，‎ ‎∴ ‎ 由题意可知，又，，∴的最小值为.‎ 点睛：本题考查了运用导数求函数的单调性，在求解过程中结合判别式和定义域需要进行分类讨论，在求解含有参量的恒成立问题时，可以采用分离参量的方法，不过需要注意用零点的存在定理进行判断零点范围，然后得出结果。‎