2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第十章 第4节 随机事件的概率

2021高考数学人教版一轮复习多维层次练：第十章 第4节 随机事件的概率

多维层次练 60 [A 级 基础巩固] 1．下列说法正确的是( ) A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为3 5 ，则比赛 5 场，甲胜 3 场 B．某医院治疗一种疾病的治愈率为 10%，前 9 个病人没有治愈， 则第 10 个病人一定治愈 C．随机试验的频率与概率相等 D．天气预报中，预报明天降水概率为 90%，是指降水的可能性 是 90% 解析：由概率的意义知 D 正确． 答案：D 2．把红、黄、蓝、白 4 张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四人， 每个人分得一张，事件“甲分得红牌”与“乙分得红牌”( ) A．是对立事件 B．是不可能事件 C．是互斥但不对立事件 D．不是互斥事件 解析：显然两个事件不可能同时发生，但两者可能同时不发生， 因为红牌可以分给丙、丁两人，综上，这两个事件为互斥但不对立事 件． 答案：C 3．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出 2 粒都是黑子的 概率是1 7 ，都是白子的概率是12 35.则从中任意取出 2 粒恰好是同一色的概 率是( ) A.1 7 B.12 35 C.17 35 D．1 解析：设“从中取出 2 粒都是黑子”为事件 A，“从中取出 2 粒都 是白子”为事件 B，“任意取出 2 粒恰好是同一色”为事件 C，则 C＝ A∪B，且事件 A 与 B 互斥，所以 P(C)＝P(A)＋P(B)＝1 7 ＋12 35 ＝17 35 ，即 任意取出 2 粒恰好是同一色的概率为17 35. 答案：C 4．设 A 与 B 是互斥事件，A，B 的对立事件分别记为 A，B，则 下列说法正确的是( ) A．A 与 B 互斥 B．A 与 B 互斥 C．P(A＋B)＝P(A)＋P(B) D．P(A＋B)＝1 解析：根据互斥事件的定义可知，A 与 B，A 与 B 都有可能同时 发生，所以 A 与 B 互斥，A 与 B 互斥是不正确的；P(A＋B)＝P(A)＋ P(B)正确；A 与 B 既不一定互斥，也不一定对立，所以 D 项错误． 答案：C 5．在 1，2，3，4，5，6，7，8 这组数据中，随机取出五个不同 的数，则数字 5 是取出的五个不同数的中位数的概率为( ) A. 9 56 B. 9 28 C. 9 14 D.5 9 解析：从 1，2，3，4，5，6，7，8 这组数据中，随机取五个不同 的数有 C 58种取法，则数字 5 是取出的五个不同数的中位数有 C24·C 23种 取法， 故所求的概率为 P＝C24·C23 C58 ＝6×3 8×7 ＝ 9 28. 答案：B 6．设事件 A，B，已知 P(A)＝1 5 ，P(B)＝1 3 ，P(A∪B)＝ 8 15 ，则 A， B 之间的关系一定为( ) A．两个任意事件 B．互斥事件 C．非互斥事件 D．对立事件 解析：因为 P(A)＋P(B)＝1 5 ＋1 3 ＝ 8 15 ＝P(A∪B)，所以 A，B 之间的 关系一定为互斥事件．故选 B. 答案：B 7．(2020·青岛二中检测)有标号分别为 1、2、3 的蓝色卡片和标号 分别为 1、2 的绿色卡片，从这五张卡片中任取两张，这两张卡片颜色 不同且标号之和小于 4 的概率是________． 解析：因为从这五张卡片中任取两张共有 10 种取法，两张卡片颜 色不同且标号之和小于 4 的取法有 2＋1＝3(种)，因此所求概率是 3 10. 答案： 3 10 8．掷一个骰子的试验，事件 A 表示“出现小于 5 的偶数点”，事 件 B 表示“出现小于 5 的点数”，若 B 表示 B 的对立事件，则一次试 验中，事件 A＋B 发生的概率为________． 解析：掷一个骰子的试验有 6 种可能结果． 依题意 P(A)＝2 6 ＝1 3 ，P(B)＝4 6 ＝2 3 ， 所以 P(B)＝1－P(B)＝1－2 3 ＝1 3 ， 因为 B 表示“出现 5 点或 6 点”的事件， 因此事件 A 与 B 互斥， 从而 P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝1 3 ＋1 3 ＝2 3. 答案：2 3 9.甲、乙两人在 5 次综合测评中的成绩如下：甲：88，89，90，91， 92，乙：83，83，87，9，99，其中乙的一个数字被污损，则甲的平均 成绩超过乙的平均成绩的概率是________． 解析：设被污损的数字为 x，则 — x甲＝1 5(88＋89＋90＋91＋92)＝90， — x乙＝1 5(83＋83＋87＋99＋90＋x)， 若 — x甲＝ — x乙，则 x＝8. 若 — x甲＞ — x乙，则 x 可以为 0，1，2，3，4，5，6，7， 故 p＝ 8 10 ＝4 5. 答案：4 5 10．某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员 工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据，如下表所示： 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及 以上 顾客数/人 x 30 25 y 10 结算时间/ (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (1)确定 x，y 的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值； (2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率(将频率视 为概率)． 解：(1)由已知得 25＋y＋10＝55，x＋30＝45，所以 x＝15，y＝20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所收集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机 样本，顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计，其估 计值为1×15＋1.5×30＋2×25＋2.5×20＋3×10 100 ＝1.9(分钟)． (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟”， A1，A2，A3 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 1 分钟”，“该 顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟”，“该顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”，将频率视为概率得 P(A1)＝ 15 100 ＝ 3 20 ，P(A2)＝ 30 100 ＝ 3 10 ， P(A3)＝ 25 100 ＝1 4. 因为 A＝A1∪A2∪A3，且 A1，A2，A3 是互斥事件，所以 P(A)＝P(A1 ∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝ 3 20 ＋ 3 10 ＋1 4 ＝ 7 10. 故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为 7 10. [B 级 能力提升] 11．公元 5 世纪，数学家祖冲之估计圆周率的值的范围是 3.141 592 6＜π＜3.141 592 7.为纪念祖冲之在圆周率上的成就，我们把 3.141 592 6 称为“祖率”．某小学教师为帮助同学们了解“祖率”，让同学们从小 数点后的 7 位数字 1，4，1，5，9，2，6 中随机选取 2 位数字，整数 部分 3 不变，那么得到的数大于 3.14 的概率为( ) A.28 31 B.19 21 C.22 31 D.17 21 解析：选择数字的总的方法有 5×6＋1＝31(种)，其中得到的数不 大于 3.14 的数为 3.11，3.12，3.14. 所以得到的数大于 3.14 的概率为 P＝1－ 3 31 ＝28 31. 答案：A 12．甲袋中有 3 个白球和 5 个黑球，乙袋中有 4 个白球 6 个黑球， 现从甲袋中随机取出一个球放入乙袋中，充分混合后再从乙袋中随机 取出一个球放回甲袋，则甲袋中白球没有减少的概率为( ) A.35 44 B.25 44 C.37 44 D. 5 44 解析：若先从甲袋中取出的是白球，则满足题意的概率为 P1＝3 8 × 5 11 ＝15 88 ；若先从甲袋中取出的是黑球，则满足题意的概率为 P2＝5 8 ，易 知这两种情况不可能同时发生，故所求概率为 P＝P1＋P2＝15 88 ＋5 8 ＝35 44. 答案：A 13．(2019·全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在 经停某站的高铁列车中，有 10 个车次的正点率为 0.97，有 20 个车次 的正点率为 0.98，有 10 个车次的正点率为 0.99，则经停该站高铁列车 所有车次的平均正点率的估计值为________． 解析： x － ＝10×0.97＋20×0.98＋10×0.99 10＋20＋10 ＝0.98. 则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为 0.98. 答案：0.98 [C 级 素养升华] 14.某学校成立了数学、英语、音乐 3 个课外兴趣小组，3 个小组 分别有 39，32，33 个成员，一些成员参加了不止一个小组，具体情况 如图所示．现随机选取一个成员，他属于至少 2 个小组的概率是 ________，他属于不超过 2 个小组的概率是________． 解析：“至少 2 个小组”包含“2 个小组”和“3 个小组”两种情 况，故他属于至少 2 个小组的概率为 P＝ 11＋10＋7＋8 6＋7＋8＋8＋10＋10＋11 ＝3 5. “不超过 2 个小组”包含“1 个小组”和“2 个小组”，其对立事 件是“3 个小组”． 故他属于不超过 2 个小组的概率是 P＝1－ 8 6＋7＋8＋8＋10＋10＋11 ＝13 15. 答案：3 5 13 15