2018-2019学年山西省汾阳中学高二上学期第二次月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年山西省汾阳中学高二上学期第二次月考数学（理）试题 解析版

‎2018-2019学年山西省汾阳中学高二上学期第二次月考数学（理）试题 解析版 一、选择题（本大题共12小题，共56.0分）‎ 1. 已知命题p：，，则是　　‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：命题：，的否定是：，． 故选：D． 直接写出特称命题的否定得答案． 本题考查特称命题的否定，关键是注意命题否定的格式，是基础题． ‎ 2. 已知平面，a是直线，则“”是“”的　　‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】C ‎【解析】解：根据题意，“”，又由平面，则有“”，则“”是“”的充分条件， 反之，若“”，又由平面，则有“”，则“”是“”的必要条件， 则“”是“”的充要条件； 故选：C． 根据题意，由直线与平面垂直的性质，结合充分必要条件的定义，分析可得答案． 本题考查充分必要条件的判定，涉及直线与平面垂直的性质，属于基础题． ‎ 3. 若曲线表示椭圆，则k的取值范围是　　‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】【分析】 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题曲线表示椭圆，可得，解出即可得出． 【解答】 解：曲线表示椭圆， ， 解得，且． 故选：D． ‎ 1. 已知点和，动点满足，则点P的轨迹方程是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：动点满足， ， 化为． 故选：B． 利用两点之间的距离公式即可得出． 本题考查了两点之间的距离公式的应用，属于基础题． ‎ 2. 下列说法错误的是　　‎ A. “若，则x，y互为相反数”的逆命题是真命题 B. “若，则有实根”的逆否命题是真命题 C. 如果命题“”与命题“p或q”都是真命题，那么命题q一定是真命题 D. “”是“”的充分不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】解：x，y互为相反数，故A成立； “若，则有实根”是真命题，故它的逆否命题一定是真命题，故B成立； 命题“”与命题“p或q”都是真命题，则p是假命题，q是真命题，故C成立； “”不能推出“”，故D不成立． 故选D． x，y互为相反数；“若，则有实根”是真命题，故它的逆否命题一定是真命题；命题“”与命题“p或q”都是真命题，则p是假命题，q是真命题；“”不能推出“”． 本题考查必要条件、充分条件和充要条件，解题时要认真审题，仔细解答，注意四种命题的真假关系的应用． ‎ 3. 如图，在直三棱柱中，，，，则异面直线与AC所成角的余弦值是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：连结，， 是异面直线与AC所成角或所成角的补角， 在直三棱柱中，，，， ，，，， ， 异面直线与AC所成角的余弦值为． 故选：D． 由，知是异面直线与AC所成角或所成角的补角，由此能求出异面直线与AC所成角的余弦值． 本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养． ‎ 1. 直线l ：与圆C ：交于E ，F 两点，则是原点的面积为(    )．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】【分析】‎ 本题考查点到直线的距离公式和直线与圆的位置关系，先求出圆心坐标，再由点到直线的距离公式和勾股定理求出弦长，再由原点到直线之间的距离求出三角形的高，进而根据三角形的面积公式求得答案 ‎ ‎【解答】‎ 解：圆的圆心为，    到直线的距离， 弦长， 原点到直线的距离， 的面积为． 故选D．‎ ‎ ‎ 2. 某三棱锥的三视图如图所示，则该几何体的外接球的体积是　　 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】【分析】 本题考查的知识点是由三视图求外接球的体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状． 判断三棱锥的外接球的球心的位置，求出外接球的半径，然后求解即可． 【解答】 解：由三视图可知三棱锥是以俯视图为底面，高为，顶点在底面的射影在底面等腰三角形的底边的中点， 如图， ‎ ‎ 外接球的球心在棱锥的高上，设外接球的半径为R， 则，解得． 该几何体的外接球的体积是． 故选D．‎ ‎ ‎ 1. 设椭圆短轴的一点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆长轴端点的最短距离为，则焦点在y轴上的椭圆方程是　　‎ A. B. 或 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】解：设椭圆方程为：， 有题意可知：，且， 解的：，， 有， 椭圆方程为：， 故选：D． 由焦点在y轴上设椭圆方程为：，由题意可知，且，即可求得a和c，根据，求得椭圆方程． 本题考查椭圆的标准方程，椭圆的简单几何性质，考查正三角形的性质，属于基础题． ‎ 1. 若A点坐标为，是椭圆的左焦点，点P是该椭圆上的动点，则的最大值为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】【分析】 本题考查椭圆的大定义、方程和性质和应用，解题时要注意数形结合法以及定义法的合理运用． 求得椭圆的标准方程，可得，，，所以，由此结合图象能求出的最大值． 【解答】 解：椭圆即为， 可得，，， ， 那么， 所以 根据三角形三边关系可知， 当点P位于时，的差最大， 此时与A点连线交椭圆于， 易得， 此时，也得到最大值，其值为 ‎． 故选B． ‎ 1. 方程有唯一解，则实数k的取值范围是     ‎ A. B. C. 或 D. 或或 ‎【答案】D ‎【解析】【分析】 由题意可知：方程左边对应的函数图象是以原点为圆心、半径为1的圆的上半圆，右边对应的函数图象是经过定点且斜率为k的一条直线． 可得当直线与半圆相切时或直线在x轴上的交点位于和之间时，原方程有唯一的实数解由此建立关于k的代数关系式，即可得到实数k的范围． 【解答】 解：设， 表示以原点为圆心、半径为1的圆的上半圆含端点A、． 设，表示经过定点且斜率为k的一条直线． 当直线与半圆相切时，原方程有唯一解 此时原点到直线的距离等于1， 得，解之得 ． 当直线在x轴上的交点位于A、B之间时，原方程也有唯一解． 且，  线在x轴上的交点位于A、B之间时，或．  综上所述，原方程有唯一实数解时，或或  故选：D． ‎ 2. ‎，分别是椭圆的左、右焦点，过作直线交椭圆于A，B两点，已知，，则椭圆的离心率为　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】解：如图所示，设． ，， ，， ，， ， 解得． ， ． 在中，由余弦定理可得：， 化为， ， 化为， ‎ ‎． 故选：A． 如图所示，设利用直角三角形的边角关系、椭圆的定义可得在中，由余弦定理可得：， 化简利用离心率计算公式即可得出． 本题考查了直角三角形的边角关系、椭圆的定义及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ 1. 已知双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于6，则点M到另一个焦点的距离____________‎ ‎【答案】14‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查双曲线的性质、几何意义等． 【解答】 解：设双曲线的左右焦点分别为，， 则， 因为双曲线上一点P到一个焦点的距离为6， 不妨令， 则， 舍去或． 故答案为：14． ‎ 2. 如图，正方体中，二面角的余弦值为         ．‎ ‎ ‎ ‎【答案】​‎ ‎【解析】【分析】 本题考查了二面角的求解问题，属于基础题． 【解答】解： ‎ ‎ 连接，交于O，连接AO， ，O为的中点， ， ， 为二面角1的平面角， 设正方体的棱长为1， 则，， 在中，, 即二面角的余弦值为． 故答案为． ‎ 1. 已知两条直线m、n，两个平面、，给出下面四个命题： ‎ ‎         ；                          ；‎ ‎         ；                             ‎ 其中正确命题的序号是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【分析】 本题给出关于空间线面位置关系的命题，要我们找出其中的真命题，着重考查了线面平行、面面平行的性质和线面垂直、面面垂直的判定与性质等知识，属于中档题． 根据线面平行的性质定理，可得是真命题通过在正方体中举出反例，得到 不正确根据线面平行的判定与性质，可得不正确根据面面平行的性质结合线面垂直的性质定理，可得是真命题由此可得本题的答案． 【解答】 解：，；这是线与面垂直中出现的定理，故正确； ，，或m，n异面，故不正确； ，或，故不正确； ，，可以先得到进而得到，故正确， 故答案为． ‎ 1. 直线l与椭圆C：相交于A，B两点，l与x轴、y轴分别相交于C，D两点如果C，D是线段AB的两个三等分点，则直线l的斜率为________．‎ ‎【答案】​‎ ‎【解析】【分析】 本题主要考查直线与椭圆的位置关系． 【解答】 解：由题意，设直线l的方程为，，， 则 ，，由方程组 得， 所以 ，由韦达定理， 得， ． 由是线段MN的两个三等分点， 得线段MN的中点与线段CD的中点重合所以 ， 解得   故答案为． ‎ 三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）‎ 2. 设命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆；命题q：方程表示焦点在x轴上的双曲线，若为假，为真，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】解：命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆；则，解得． 命题q：方程表示焦点在x轴上的双曲线，则，，解得． 若为假，为真，与q必然一真一假， ，或， 解得． 实数m的取值范围是．‎ ‎【解析】命题p：方程表示焦点在x轴上的椭圆；则，解得m范围命题q：方程表示焦点在x轴上的双曲线，则，，解得m范围若为假，为真，可得p与q必然一真一假，即可得出． 本题考查了简易逻辑的判定方法、圆锥曲线的标准方程、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． ‎ 1. 已知p：，q：． 若p是q的充分条件，求实数m的取值范围； 若“”是“”的充分条件，求实数m的取值范围．‎ ‎【答案】解：：，q：． 故p：，q：， 若p是q的充分条件， 则， 故 解得：； 若“”是“”的充分条件， 即q是p的充分条件， 则， ， 解得：．‎ ‎【解析】解出关于p，q的不等式，根据若p是q的充分条件，得到，求出m的范围即可； 根据q是p的充分条件，得到，求出m的范围即可． 本题主要考查了分式不等式和一元二次不等式的解法，以及充分而不必要条件的应用，同时考查了运算求解的能力，属于基础题． ‎ 2. 如图，在三棱锥中，D，E，F分别为棱PC，AC，AB的中点，已知，，，求证： 直线平面DEF； 平面平面ABC．‎ ‎【答案】证明：、E为PC、AC的中点，， 又平面DEF，平面DEF， 平面DEF； 、E为PC、AC的中点，； 又、F为AC、AB的中点，； ， ， ； ，，； ，平面ABC； 平面BDE，平面平面ABC．‎ ‎【解析】由D、E为PC、AC的中点，得出，从而得出平面DEF； 要证平面平面ABC，只需证平面ABC，即证，且即可． 本题考查了空间中的平行与垂直问题，解题时应明确空间中的线线、线面、面面之间的垂直与平行的互相转化关系，是基础题目． ‎ 1. 已知线段AB的端点B在圆：上运动，端点A的坐标为，线段AB中点为M，Ⅰ试求M点的轨方程；Ⅱ若圆与曲线交于C，D两点，试求线段CD的长．‎ ‎【答案】解：Ⅰ设，， 则由题意可得：，解得：， 点B在圆：上， ， ，即． 轨迹方程为；Ⅱ由方程组，解得直线CD的方程为， 圆 的圆心到直线CD的距离为， 圆 的半径为4， 线段CD的长为．‎ ‎【解析】Ⅰ设出M和B的坐标，由中点坐标公式把B的坐标用m的坐标表示，代入圆的方程得答案；Ⅱ求出圆的圆心坐标和半径，求出圆心到直线CD的距离利用勾股定理得答案． 本题考查了代入法求圆的方程，考查了直线和圆的关系，训练了点到直线距离公式的应用，是中档题． ‎ 1. 已知椭圆C：，以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点，为顶点的三角形周长是，且． 求椭圆C的标准方程； 若过点引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，求弦AB所在的直线方程．‎ ‎【答案】解：以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点，为顶点的三角形周长是，且． ，， ， 椭圆方程为． 当直线l的斜率不存在时，过点引曲线C的弦AB不被点Q平分； 当直线l的斜率为k时，l：与椭圆方程联立，消元可得 过点引曲线C的弦AB恰好被点Q平分， ， 解得． 点Q在椭圆内 直线l：，即l：．‎ ‎【解析】利用以椭圆短轴的一个顶点B与两个焦点，为顶点的三角形周长是，且，建立方程，可求椭圆的几何量，从而可得椭圆C的标准方程； 当斜率l不存在时，过点引曲线C的弦AB不被点Q平分；当直线l的斜率为k时，设方程与椭圆方程联立，利用韦达定理及过点引曲线C的弦AB恰好被点Q平分，建立方程，即可求得结论． 本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查弦中点问题，正确运用韦达定理是关键． ‎ 1. 已知椭圆的离心率为，、分别为椭圆C的左、右焦点，是椭圆C上一点．Ⅰ求椭圆C的方程；Ⅱ过点的直线l交椭圆C于A、B两点，O是坐标原点，且，求直线l的方程．‎ ‎【答案】解：Ⅰ在椭圆C上， 又，，解得，， 故所求椭圆方程为分Ⅱ，． 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 由，与矛盾，故直线l的斜率存在且不为零 设直线l的方程为，， 由，得，，， ； 由，得，解得， 所求直线l的方程为或分．‎ ‎【解析】Ⅰ利用离心率为，是椭圆C上一点，建立方程，求出a，b，即可求椭圆C的方程；Ⅱ分类讨论，利用，求出k，即可求直线l的方程． 本题考查椭圆的相关知识，考查运算能力、分析问题解决问题的能力，较难题． ‎