数学理卷·2018届河南省中原名校（豫南九校）高三上学期第四次质量考评（期中）（2017

数学理卷·2018届河南省中原名校（豫南九校）高三上学期第四次质量考评（期中）（2017

河南省中原名校（豫南九校）2018届高三上学期第四次质量考评 ‎（期中）数学（理）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设全集,集合 ，,则的值为（ ）‎ A．0 B．1 C． D．‎ ‎2. 是虚数单位,复数（ ）‎ A．0 B．2 C． D．‎ ‎3. 若“”是“”的充分不必要条件，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎4. 如果，那么的最小值为（ ）‎ A．4 B． C. 9 D．18‎ ‎5. 一个几何体的三视图如图所示：其中，正（主）视图中的边长是2的正三角形，俯视图为正六边形，那么该几何体的体积为（ ）‎ A．1 B． C. 2 D．4‎ ‎6. 连接双曲线和（其中）的四个顶点的四边形面积为，连接四个焦点的四边形的面积为，则的最小值为（ ）‎ A． B．2 C. D．3‎ ‎7. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（ ）‎ ‎①；‎ ‎②函数在处取得极小值，在处取得极大值；‎ ‎③函数在处取得极大值，在处取得极小值；‎ ‎④函数的最小值为.‎ A．③ B．①② C.③④ D．④‎ ‎8. 若将函数的图象向右平移个单位后得到的图象关于点对称，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9. 已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，为抛物线上的一点，且满足，则点到的距离为（ ）‎ A． B．1 C. D．2‎ ‎10. 在中，，的最大值是（ ）‎ A．1 B．2 C.3 D．4‎ ‎11. 已知，则的最大值为（ ）‎ A．1 B． C. 2 D．‎ ‎12. 已知定义在上的函数为增函数，且，则等于（ ）‎ A． B． C. 或 D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.若，满足约束条件则的最大值为 ．‎ ‎14.如图，长方体的三个面的对角线，，的长分别是1，2，3，则该长方体的外接球的表面积为 ．‎ ‎15.已知直线的方程为，抛物线为，若点是抛物线上任一点，则点到直线的最短距离是 ．‎ ‎16.已知数列满足，.记，则数列的前项和 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 海中一小岛的周围内有暗礁，海轮由西向东航行至处测得小岛位于北偏东，航行8后，于处测得小岛在北偏东（如图所示）.‎ ‎（1）如果这艘海轮不改变航向，有没有触礁的危险？请说明理由.‎ ‎（2）如果有触礁的危险，这艘海轮在处改变航向为东偏南（）方向航行，求的最小值.‎ 附：‎ ‎18.已知两个不共线的向量满足，，.‎ ‎（1）若与垂直，求的值；‎ ‎（2）当时，若存在两个不同的使得成立，求正数的取值范围. ‎ ‎19.如图，在四棱柱中，侧棱底面，，，，，且点和分别为和的中点.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的正弦值；‎ ‎（3）设为棱上的点，若直线和平面所成角的正弦值为，求线段的长. ‎ ‎20.设椭圆的右焦点为，右顶点为.已知，其中为原点，为椭圆的离心率.‎ ‎（1）求椭圆的方程及离心率的值；‎ ‎（2）设过点的直线与椭圆交于点（不在轴上），垂直于的直线与交于点，与轴交于点.若，且，求直线的斜率的取值范围. ‎ ‎21. 设函数.若曲线在点处的切线方程为（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 已知曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为，（为参数）.‎ ‎（1）将两曲线化成普通坐标方程；‎ ‎（2）求两曲线的公共弦长及公共弦所在的直线方程.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知关于的不等式.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）如果不等式的解集为空集，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:BAADB 6-10:BAABA 11、12：CB 二、填空题 ‎13.3 14. 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）如图1，过点作直线的垂线，交直线于点.‎ 由已知得，，，‎ ‎∴.‎ ‎∴在中，.‎ 又，∴海轮由触礁的危险.‎ ‎（2）如图2，延长至，使，故.‎ 由（1）得.‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.‎ 即，∴.‎ 故海轮应按东偏南15°的方向航行.‎ ‎18.解：（1）由条件知，，又与垂直，‎ 所以，所以.‎ 所以，故.‎ ‎（2）由，得，‎ 即，‎ 即，，‎ 所以.‎ 由得，又要有两解，结合三角函数图象可得，‎ ‎，即，又因为，所以.‎ ‎19.解：如图，以为原点建立空间直角坐标系，依题意可得，，，，，，，.又因为，分别为和的中点，所以，.‎ ‎（1）证明：依题意，可得为平面的一个法向量，‎ ‎，由此可得.‎ 又因为直线，所以平面.‎ ‎（2），，设为平面的一个法向量，则 即 不妨设，可得.‎ 设为平面的一个法向量，‎ 则 又，所以 不妨设，可得.‎ 因此有，‎ 于是，‎ 所以，二面角的正弦值为.‎ ‎（3）依题意，可设，其中，则，‎ 从而.‎ 又为平面的一个法向量，由已知，得 ‎，‎ 整理得，解得.‎ 又因为，所以.‎ 所以，线段的长为.‎ ‎20.解：（1）设，∵，∴，‎ 又，∴，，∴，‎ 所以，因此.‎ 所以，椭圆的方程为..‎ ‎（2）解：设直线的斜率为，则直线的方程为，设，‎ 由方程组，消去，得，‎ 解得，或，由题意得，从而.‎ 由（1）知，，设，有，.‎ 由，得，所以，解得.因此直线的方程为.‎ 设，由方程组，消去，解得，在中，，即，化简得，即，解得，或.‎ 所以，直线的斜率的取值范围为.‎ ‎21.解：（1）函数的定义域为.‎ ‎.‎ 依题意得，，即 所以.‎ 所以，.‎ 当时，；当时，.‎ 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是.‎ ‎（2）设函数，故对任意，不等式恒成立.‎ 又，当，即恒成立时，‎ 函数单调递减，设，则，‎ 所以，即，符合题意；‎ 当时，恒成立，此时函数单调递增.‎ 于是，不等式对任意恒成立，不符合题意；‎ 当时，设，‎ 则；‎ 当时，，此时单调递增，‎ 所以，‎ 故当时，函数单调递增.‎ 于是当时，成立，不符合题意；‎ 综上所述，实数的取值范围为：.‎ ‎22.解：（1）由题知，曲线：的直角坐标方程为：①，‎ 圆心为，半径为1；‎ 曲线：（为参数）的直角坐标方程为②，‎ ‎（2）由①-②得，，此即为过两圆的交点的弦所在的直线方程.‎ 圆心到直线的距离，‎ 故两曲线的公共弦长为.‎ ‎23.解：（1）原不等式.‎ 当时，原不等式化为，解得，∴‎ 当时，原不等式化为，∴.‎ 当时，原不等式化为，解得，∴.‎ 综上，原不等式解集为.‎ ‎（2）解法一：作出与的图象.‎ 若使解集为空集，‎ 只须的图象在的图象的上方，或与重合，‎ ‎∴，所以的范围为.‎ 解法二：，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 当时，，‎ 综上，原问题等价于，∴.‎ 解法三：∵，当且仅当时，上式取等号，∴.‎