【数学】2020届一轮复习人教B版不等式学案理

【数学】2020届一轮复习人教B版不等式学案理

不等式 【2019 年高考考纲解读】 高考对本内容的考查主要有： (1)一元二次不等式是 C 级要求，线性规划是 A 级要求． (2)基本不等式是 C 级要求，理解基本不等式在不等式证明、函数最值的求解方面的重要应用．试题类型可 能是填空题，同时在解答题中经常与函数、实际应用题综合考查，构成中高档题. 【重点、难点剖析】 1．不等式的解法 (1)求解一元二次不等式的基本思路：先化为一般形式 ax2＋bx＋c>0 (a>0)，再求相应一元二次方程 ax2＋bx ＋c＝0(a>0)的根，最后根据相应二次函数图象与 x 轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集． (2)解含参数不等式的难点在于对参数的恰当分类，关键是找到对参数进行讨论的原因．确定好分类标准、 层次清楚地求解． 2．基本不等式 (1)基本不等式 a2＋b2≥2ab 取等号的条件是当且仅当 a＝b. (2)几个重要的不等式：①ab≤(a＋b 2 )2(a，b∈R)． ② a2＋b2 2 ≥ a＋b 2 ≥ ab≥ 2ab a＋b(a＞0，b＞0)． ③a＋ 1 a≥2(a＞0，当 a＝1 时等号成立)． ④2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R，当 a＝b 时等号成立)． (3)最值问题：设 x，y 都为正数，则有 ①若 x＋y＝s(和为定值)，则 x＝y 时，积 xy 取得最大值 s2 4 ； ②若 xy＝p(积为定值)，则当 x＝y 时，和 x＋y 取得最小值 2 p. 3．不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 (1)恒成立问题 若不等式 f(x)>A 在区间 D 上恒成立，则等价于在区间 D 上 f(x)min>A； 若不等式 f(x)A 成立，则等价于在区间 D 上 f(x)max>A； 若在区间 D 上存在实数 x 使不等式 f(x)A 在区间 D 上恰成立，则等价于不等式 f(x)>A 的解集为 D； 若不等式 f(x) a b D．a2>ab>b2 【解析】∵c 为实数，∴取 c＝0，得 ac2＝0，bc2＝0，此时 ac2＝bc2，故选项 A 不正确； 1 a－ 1 b＝ b－a ab ， ∵a0，ab>0，∴ b－a ab >0，即 1 a> 1 b，故选项 B 不正确；∵a0，∴a2>ab，又∵ab－b2＝b(a－ b)>0，∴ab>b2，故选项 D 正确，故选 D． c ca b< c cab ba< 3a = 2b = 1 2c = 1 1 2 23 2> 【答案】D 【方法技巧】解不等式的四种策略 (1)解一元二次不等式的策略：先化为一般形式 ax2＋bx＋c>0(a>0)，再结合相应二次方程的根及二次函数 图象确定一元二次不等式的解集． (2)解简单的分式不等式的策略：将不等式一边化为 0，再将不等式等价转化为整式不等式(组)求解． (3)解含指数、对数不等式的策略：利用指数、对数函数的单调性将其转化为整式不等式求解． (4)解含参数不等式的策略：根据题意确定参数分类的标准，依次讨论求解． 【变式探究】 (1)若不等式 x2＋ax＋1≥0 对于一切 x∈(0， 1 2 )成立，则 a 的取值范围是________． (2)已知一元二次不等式 f(x)<0 的解集为Error!，则 f(10x)> 0 的解集为______． 【答案】(1)[－ 5 2，＋∞)　(2){x|x<－lg 2} 【规律方法】解一元二次不等式一般要先判断二次项系数的正负也即考虑对应的二次函数图象的开口方向， 再考虑方程根的个数也即求出其判别式的符号，有时还需要考虑其对称轴的位置，根据条件列出方程组或 结合对应的函数图象求解． 题型二、线性规划问题 【例 2】（2018 年全国 I 卷理数）若 ， 满足约束条件 ，则 的最大值为 _____________． 【答案】6 【解析】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示： 由 可得 ，画出直线 ，将其上下移动，结合 的几何意义，可知当直线过点 B 时， z 取得最大值，由 ，解得 ，此时 ，故答案为 6. 【举一反三】（2018 年全国Ⅱ卷理数）若 满足约束条件 则 的最大值为__________． 【答案】9 【解析】作可行域，则直线 过点 A(5,4)时取最大值 9. 【变式探究】(2018·天津卷)设变量 x，y 满足约束条件Error!则目标函数 z＝3x＋5y 的最大值为(　　) A．6 B．19 C．21 D．45 【解析】由变量 x，y 满足的约束条件画出可行域(如图中阴影部分所示)． 作出初始直线 l0：3x＋5y＝0，平移直线 l0，当直线经过点 A(2,3)时，z 取最大值，即 zmax＝3×2＋5×3＝ 21，故选 C． 【答案】C 【变式探究】【2017 北京，理 4】若 x，y 满足 则 x + 2y 的最大值为 （A）1 （B）3 （C）5 （D）9 【答案】D 【解析】如图，画出可行域， 表示斜率为 的一组平行线，当过点 时，目标函数取得最大值 ， 故选 D. 3 2 x x y y x ≤  + ≥  ≤ ， ， ， 2z x y= + 1 2 − ( )3,3C 【变式探究】【2016 年高考北京理数】若 ， 满足 ，则 的最大值为（ ） A.0 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】作出如图可行域，则当 经过点 时，取最大值，而 ，∴所求最大值为 4，故选 C. 【感悟提升】(1)线性规划问题一般有三种题型：一是求最值；二是求区域面积；三是确定目标函数中的字 母系数的取值范围．(2)一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得． 【举一反三】已知实数 x，y 满足约束条件Error!若 z＝2x＋y 的最小值为 3，则实数 b＝(　　) A． 9 4 B． 3 2 C．1 D． 3 4 【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示． 由 z＝2x＋y 得 y＝－2x＋z， 平移初始直线 y＝－2x， 由图可知当直线 y＝－2x＋z 经过点 A 时，直线 y＝－2x＋z 的纵截距最小，此时 z 最小，为 3， 即 2x＋y＝3. x y 2 0 3 0 x y x y x − ≤  + ≤  ≥ 2x y+ yxz += 2 P )2,1(P 由Error!解得Error!即 A(3 4， 3 2 )， 又点 A 也在直线 y＝－x＋b 上，即 3 2＝－ 3 4＋b，∴b＝ 9 4.故选 A． 【答案】A 【变式探究】(1)设 x，y 满足约束条件Error!则 z＝2x－y 的最大值为(　　) A．10　　　　B．8　　　　C．3　　　　D．2 (2)(2014·浙江)当实数 x，y 满足Error!时，1≤ax＋y≤4 恒成立，则实数 a 的取值范围是________． 【命题意图】(1)本题主要考查线性规划问题的求解，意在考查考生的数形结合能力与运算求解能力． (2)本题主要考查线性规则、不等式恒成立问题，考查考生的数形结合与运算求解能力． 【答案】(1)B　(2)[1， 3 2 ] 【解析】(1)作出可行域如图中阴影部分所示，由 z＝2x －y 得 y＝2x－z，作出直线 y＝2x，平移使之经过 可行域，观察可知，当直线经过点 B(5,2)时，对应的 z 值最大．故 zmax＝2×5－2＝8. (2)作出题中线性规划条件满足的可行域如图中阴影部分所示，令 z＝ax＋y，即 y＝－ax＋z.作直线 l0：y＝ －ax，平移 l0，最优解可在 A(1,0)，B(2,1)，C (1， 3 2 )处取得． 故由 1≤z≤4 恒成立，可得 Error!解得 1≤a≤ 3 2. 【感悟提升】 1．线性规划问题的三种题型 (1)求最值，常见形如截距式 z＝ax＋by，斜率式 z＝ x－b x－a，距离式 z＝(x－a)2＋(y－b)2. (2)求区域面积． (3)由最优解或可行域确定参数的值或取值范围． 2．解答线性规划问题的步骤及应注意的问题 (1)解决线性规划问题首先要找到可行域，再注意目标函数所表示的几何意义，数形结合找到目标函数达到 最值时可行域的顶点(或边界上的点)，但要注意作图一定要准确，整点问题要验证解决． (2)画可行域时应注意区域是否包含边界． (3)对目标函数 z＝Ax＋By 中的 B 的符号，一定要注意 B 的正负与 z 的最值的对应，要结合图形分析． 题型三、基本不等式及其应用 例 3、【2017 山东，理 7】若 ，且 ，则下列不等式成立的是 （A） （B） （C） （D） 【答案】B 【解析】因为 ，且 ，所以 ，所以选 B. 0a b> > 1ab = 0a b> > 1ab = 【变式探究】【2016 高考天津理数】设变量 x，y 满足约束条件 则目标函数 的最 小值为（ ） （A） （B）6 （C）10 （D）17 【答案】B 【解析】可行域为一个三角形 ABC 及其内部，其中 ，直线 过点 B 时取最小 值 6，选 B. 【感悟提升】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即 条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用， 否则会出现错误． 【举一反三】(1)已知不等式 x＋2 x＋1<0 的解集为{x|a0， 则 2 m＋ 1 n的最小值为(　　) A．4 2 B．8 C．9 D．12 (2)要制作一个容积为 4 m3，高为 1 m 的无盖长方体容器．已知该容器的底面造价是每平方米 20 元，侧面造 价是每平方米 10 元，则该容器的最低总造价是________(单位：元)． 【命题意图】(1)本题主要考查解分式不等式、均值不等式等基础知识，对学生的转化思想、运算能力有一 定要求． (2)本题主要考查空间几何体的表面积、基本不等式等基础知识，意在考查考生处理实际问题的能力、空间 想象能力和运算求解能力． 【答案】(1)C　(2)160 【解析】(1)易知不等式 x＋2 x＋1<0 的解集为(－2，－1)，所以 a＝－2，b＝－1，则 2m＋n＝1， 2 m＋ 1 n＝(2m＋ n)·(2 m＋ 1 n )＝5＋ 2m n ＋ 2n m ≥5＋4＝9 当且仅当 m＝n＝ 1 3时取等号，所以 2 m＋ 1 n的最小值为 9. 设该容器的总造价为 y 元，长方体的底面矩形的长为 x m，因为无盖长方体的容积为 4 m3，高为 1 m，所以 长方体的底面矩形的宽为 4 xm，依题意，得 y＝20×4＋10· (2x＋ 2 × 4 x )＝80＋20 (x＋ 4 x )≥80＋20×2 x × 4 x＝160(当且仅当x＝ 4 x，即x＝2时取等号)，所以该容器的最低总造价为 160 元． 【感悟提升】 2 5z x y= + 4− z 2 5x y= + (1)一般地，分子、分母有一个一次、一个二次的分式结构的函数以及含有两个变量的函数，特别适合用基 本不等式求最值． (2)在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条 件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件． (3)若两次连用基本不等式，要注意等号的取得条件的一致性，否则就会出错． 【举一反三】下列结论中正确的是(　　) A．lgx＋ 1 lgx的最小值为 2 B． x＋ 1 x的最小值为 2 C． sin2x＋4 sin2x 的最小值为 4 D．当 00，b>0)在该约束条件下 取到最小值 2 5时，a2＋b2 的最小值为(　　) A．5 B．4 C. 5 D．2 7 3y x= − M z M (60,100) 60x = 100y = A B 216000 法二　把 2a＋b＝2 5看作平面直角坐标系 aOb 中的直线，则 a2＋b2 的几何意义是直线上的点与坐标原点 距离的平方，显然 a2＋b2 的最小值是坐标原点到直线 2a＋b＝2 5距离的平方，即(|－2 5| 5 ) 2 ＝4. 【答案】B 【变式探究】在平面直角坐标系 xOy 中，M 为不等式组{2x－y－2 ≥ 0， x＋2y－1 ≥ 0， 3x＋y－8 ≤ 0 所表示的区域上一动点，则直线 OM 斜率的最小值为(　　) A．2 B．1 C．－ 1 3 D．－ 1 2 【解析】已知的不等式组表示的平面区域如图中阴影所示，显然当点 M 与点 A 重合时直线 OM 的斜率最小， 由直线方程 x＋2y－1＝0 和 3x＋y－8＝0，解得 A(3，－1)，故 OM 斜率的最小值为－ 1 3. 【答案】C 【举一反三】设关于 x，y 的不等式组{2x－y＋1 > 0， x＋m < 0， y－m > 0 表示的平面区域内存在点 P(x0，y0)，满足 x0－2y0＝ 2，求得 m 的取值范围是(　　) A.(－∞， 4 3) B.(－∞， 1 3) C.(－∞，－ 2 3) D.(－∞，－ 5 3)