2017-2018学年河北省承德实验中学高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

2017-2018学年河北省承德实验中学高二上学期期中数学试题（理科）（解析版）

‎2017-2018学年河北省承德实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、单选（本大题共12题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（　　）‎ A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣1‎ C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1‎ ‎2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（　　）‎ A．∀x∈R，x2﹣x+1≤0 B．∀x∈R，x2﹣x+1＜0‎ C．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0‎ ‎3．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．（5分）双曲线﹣=1的一个焦点坐标为（　　）‎ A．（3，0） B．（0，3） C．（2，0） D．（0，2）‎ ‎5．（5分）下列命题为真命题的是（　　）‎ A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞b C．若，则a＜b D．若，则a＜b ‎6．（5分）已知点（1，﹣2）在抛物线y=ax2的准线上，则a的值为（　　）‎ A． B．﹣ C．8 D．﹣8‎ ‎7．（5分）若双曲线=1的一条渐近线过点（2，），则此双曲线的离心率为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎8．（5分）给定命题p：若x∈R，则；题q：若x≥0，则x2≥0．则下列各命题中，假命题的是（　　）‎ A．p∨q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）‎ ‎9．（5分）焦点为（0，6），且与双曲线﹣y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎10．（5分）“m=1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my﹣3=0垂直”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎11．（5分）已知抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，F为C的焦点，P为C上的一点，若|PF|=5，则△POF的面积为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎12．（5分）若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（　　）‎ A．36 B．16 C．20 D．24‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a=　 　．‎ ‎14．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是　 　．‎ ‎15．（5分）P为抛物线y2=4x上任意一点，P在y轴上的射影为Q，点M（7，8），则|PM|与|PQ|长度之和的最小值为　 　．‎ ‎16．（5分）已知下列命题：‎ ‎①命题“∀x∈R，x2+3＜5x”的否定是“∃x∈R，x2+3＜5x”；‎ ‎②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“（￢p）∧（￢q）为真命题”；‎ ‎③“a＞2015”是“a＞2017”的充分不必要条件；‎ ‎④“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知条件p：|1﹣|≤3；条件q：x2﹣2x+1﹣m2＞0（m＞0）若￢p是q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围．‎ ‎18．（12分）已知双曲线E：．‎ ‎（1）若m=4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；‎ ‎（2）若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围．‎ ‎19．（12分）已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎20．（12分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；‎ 命题q：函数f（x）=lg[x2﹣2（m+1）x+m（m+1）]的定义域为R，‎ 若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．‎ ‎21．（12分）已知椭圆C：x2+2y2=4．‎ ‎（I）求椭圆C的离心率；‎ ‎（II）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．‎ ‎22．（12分）椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（﹣4，0）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若△AMN面积为3，求直线MN的方程．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年河北省承德实验中学高二（上）期中数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、单选（本大题共12题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．（5分）命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是（　　）‎ A．若a＞b，则a﹣1≤b﹣1 B．若a＞b，则a﹣1＜b﹣1‎ C．若a≤b，则a﹣1≤b﹣1 D．若a＜b，则a﹣1＜b﹣1‎ ‎【分析】根据命题“若p，则q”的否命题是“若￢p，则￢q”，直接写出它的否命题．‎ ‎【解答】解：命题“若a＞b，则a﹣1＞b﹣1”的否命题是 ‎“若a≤b，则a﹣1≤b﹣1”．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了命题与它的否命题之间的关系，解题时应熟悉四种命题之间的关系，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）命题“∀x∈R，x2﹣x+1＞0”的否定是（　　）‎ A．∀x∈R，x2﹣x+1≤0 B．∀x∈R，x2﹣x+1＜0‎ C．∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0 D．∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0‎ ‎【分析】欲写出命题的否定，必须同时改变两个地方：①：“∀”；②：“＞”即可，据此分析选项可得答案．‎ ‎【解答】解：命题“∀x∈R，x2+x+1＞0“的否定是∃x0∈R，x02﹣x0+1≤0，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】这类问题的常见错误是没有把全称量词改为存在量词，或者对于“＞”的否定用“＜‎ ‎”了．这里就有注意量词的否定形式．如“都是”的否定是“不都是”，而不是“都不是”．特称命题的否定是全称命题，“存在”对应“任意”．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）设x∈R，则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．‎ ‎【解答】解：由2﹣x≥0得x≤2，‎ 由|x﹣1|≤1得﹣1≤x﹣1≤1，‎ 得0≤x≤2．‎ 则“2﹣x≥0”是“|x﹣1|≤1”的必要不充分条件，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合充分条件和必要条件的定义以及不等式的性质是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）双曲线﹣=1的一个焦点坐标为（　　）‎ A．（3，0） B．（0，3） C．（2，0） D．（0，2）‎ ‎【分析】根据题意，由双曲线的标准方程，分析可得a、b的值，计算可得c的值，结合双曲线焦点的位置，即可得双曲线焦点的坐标，分析选项即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线﹣=1中，其焦点在y轴上，‎ a=2，b=，‎ 则c==3，‎ 其焦点坐标为（0，±3）；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的标准方程，注意分析双曲线焦点的位置．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）下列命题为真命题的是（　　）‎ A．若ac＞bc，则a＞b B．若a2＞b2，则a＞b C．若，则a＜b D．若，则a＜b ‎【分析】分别举例说明选项A，B，C错误；利用基本不等式的性质说明D正确．‎ ‎【解答】解：由ac＞bc，当c＜0时，有a＜b，选项A错误；‎ 若a2＞b2，不一定有a＞b，如（﹣3）2＞（﹣2）2，但﹣3＜﹣2，选项B错误；‎ 若，不一定有a＜b，如，当2＞﹣3，选项C错误；‎ 若，则，即a＜b，选项D正确．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了命题的真假判断与应用，考查了不等式的性质，是基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）已知点（1，﹣2）在抛物线y=ax2的准线上，则a的值为（　　）‎ A． B．﹣ C．8 D．﹣8‎ ‎【分析】利用点在抛物线准线上，代入方程求解即可．‎ ‎【解答】解：点（1，﹣2）在抛物线y=ax2的准线上，可得准线方程为：y=﹣，即﹣，‎ 解得a=．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的简单性质的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若双曲线=1的一条渐近线过点（2，），则此双曲线的离心率为（　　）‎ A．2 B． C． D．‎ ‎【分析】求出双曲线的渐近线，建立a，b的关系，结合双曲线离心率的公式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：双曲线=1的渐近线方程为y=±x，‎ ‎∵双曲线=1的一条渐近线过点（2，），‎ ‎∴（2，）在y=x上，即=，即=，‎ 则双曲线的离心率e=====，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线离心率的计算，根据点与渐近线的关系求出a，b的关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）给定命题p：若x∈R，则；题q：若x≥0，则x2≥0．则下列各命题中，假命题的是（　　）‎ A．p∨q B．（￢p）∨q C．（￢p）∧q D．（￢p）∧（￢q）‎ ‎【分析】本题的关键是判定命题p：若x∈R，则；题q：若x≥0，则x2≥0的真假，再利用复合命题的真假判定．‎ ‎【解答】解：对于命题p：若x∈R，则；‎ 显然当x≤0时，不成立，故p假 对于命题q：若x≥0，则x2≥0．‎ 显然q真 ‎∴利用复合命题的真假判定 p∨q为真，（￢p）∨q为真，（￢p）∧q为真，（￢p）∧（￢q）为假 故选：D ‎【点评】本题考查的知识点是复合命题的真假判定，解决的办法是先判断组成复合命题的简单命题的真假，再根据真值表进行判断．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）焦点为（0，6），且与双曲线﹣y2=1有相同的渐近线的双曲线方程是（　　）‎ A．﹣=1 B．﹣=1‎ C．﹣=1 D．﹣=1‎ ‎【分析】根据题意，设要求双曲线的方程为﹣y2=k，结合焦点的位置可得k＜0，可得其标准方程为：﹣=1，由双曲线的几何性质可得c2=（﹣k）+（﹣2k）=36，解可得k的值，代入双曲线的标准方程即可得答案．‎ ‎【解答】解：根据题意，要求双曲线与﹣y2=1有相同的渐近线，可以设其方程为：﹣y2=k，‎ 又由其焦点为（0，6），则其焦点在y轴上且c=6，必有k＜0，‎ 故其标准方程为：﹣=1，‎ 则有c2=（﹣k）+（﹣2k）=36，‎ 解可得k=﹣12；‎ 故要求双曲线的标准方程为：﹣=1；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的几何性质，涉及双曲线的标准方程，关键是掌握渐近线相同的双曲线方程的设法．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）“m=1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my﹣3=0垂直”的（　　）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【分析】‎ 对y的系数m、2m﹣1分类讨论、互相垂直的直线与斜率的关系即可得出．‎ ‎【解答】解：当m=0时，两条直线分别化为：﹣y+1=0，x﹣1=0，此时两条直线垂直；‎ 当m=时，两条直线分别化为：x+2=0，6x+y﹣6=0，此时两条直线不垂直；‎ 当m≠0，时，两条直线分别化为：，y=，‎ 若此时两条直线垂直，则，解得m=﹣1．‎ 综上可得：直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my﹣3=0垂直的充要条件是：m=0或﹣1．‎ 因此“m=1”是“直线mx+（2m﹣1）y+1=0和直线3x+my﹣3=0垂直”的既不充分也不必要条件．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了分类讨论、互相垂直的直线与斜率的关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）已知抛物线C：y2=4x，O为坐标原点，F为C的焦点，P为C上的一点，若|PF|=5，则△POF的面积为（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】利用抛物线的性质计算P点坐标，从而得出三角形的面积．‎ ‎【解答】解：F（1，0），‎ 设P（m，n），则|PF|=m+1=5，‎ ‎∴m=4，∴n=±4，‎ ‎∴S△POF==2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1、F2的连线互相垂直，则△PF1F2的面积为（　　）‎ A．36 B．16 C．20 D．24‎ ‎【分析】由题意可知：a=6，b=4，c=2．利用椭圆的定义及勾股定理即可求得|PF1||PF2|=32．根据三角形的面积公式，即可求得△PF1F2的面积．‎ ‎【解答】解：∵椭圆的方程：，则a=6，b=4，c==2．‎ 由椭圆的定义：|PF1|+|PF2|=2a=12，由勾股定理可知：|PF1|2+|PF2|2=（2c）2=80，‎ ‎∴|PF1||PF2|=32．‎ ‎∴△PF1F2的面积=|PF1||PF2|=16．‎ ‎△PF1F2的面积为16，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的标准方程及定义，考查勾股定理的应用，考查计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）若双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点与抛物线y2=4x的焦点重合，则a=　　．‎ ‎【分析】先根据抛物线y2=4x的方程求出焦点坐标，得到双曲线的c值，进而根据双曲线的性质得到答案．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），‎ 故双曲线x2﹣y2=a2（a＞0）的右焦点坐标为（1，0），‎ 故c=1，‎ 由双曲线x2﹣y2=a2的标准方程为：，‎ 故2a2=1，‎ 又由a＞0，‎ ‎∴a=．‎ 故答案为：‎ ‎【点评】本题主要考查圆锥曲线的基本元素之间的关系问题，同时双曲线、椭圆的相应知识也进行了综合性考查．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）抛物线y2=4x的焦点到双曲线x2﹣=1的渐近线的距离是　　．‎ ‎【分析】先确定抛物线的焦点位置，进而可确定抛物线的焦点坐标，再由题中条件求出双曲线的渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论．‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的焦点在x轴上，且p=2，‎ ‎∴抛物线y2=4x的焦点坐标为（1，0），‎ 由题得：双曲线x2﹣=1的渐近线方程为x±y=0，‎ ‎∴F到其渐近线的距离d==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的性质，考查双曲线的基本性质，解题的关键是定型定位，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）P为抛物线y2=4x上任意一点，P在y轴上的射影为Q，点M（7，8），则|PM|与|PQ|长度之和的最小值为　9　．‎ ‎【分析】抛物线焦点为F（1，0），准线方程为x=﹣1，于是|PQ|=|PF|﹣1，‎ ‎【解答】解：抛物线y2=4x的焦点为F（1，0），准线方程为：直线x=﹣1，∴|PQ|=|PF|﹣1‎ 连结MF，则|PM|+|PF|的最小值为|MF|=‎ ‎=10．‎ ‎∴|PM|+|PQ|的最小值为10﹣1=9．‎ 故答案为：9．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的性质，通常把最短距离问题转化为线段问题来解决，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知下列命题：‎ ‎①命题“∀x∈R，x2+3＜5x”的否定是“∃x∈R，x2+3＜5x”；‎ ‎②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，则“（￢p）∧（￢q）为真命题”；‎ ‎③“a＞2015”是“a＞2017”的充分不必要条件；‎ ‎④“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题为真命题 其中，所有真命题的序号是　②　．‎ ‎【分析】写出原命题的否定，可判断①；根据复合命题真假判断的真值表，可判断②；根据充要条件的定义，可判断③；判断原命题的真假，结合互为闻到的两个问题等价，可判断④‎ ‎【解答】解：①命题“∀x∈R，x2+3＜5x”的否定是“∃x∈R，x2+3≥5x”，故错误；‎ ‎②已知p，q为两个命题，若“p∨q”为假命题，‎ 则p，q均为假命题，则￢p，￢q均为真命题，‎ 则“（￢p）∧（￢q）为真命题”，正确；‎ ‎③“a＞2015”是“a＞2017”的必要不充分条件，故错误；‎ ‎④“若xy=0，则x=0且y=0”为假命题，故其逆否命题为假命题，故错误；‎ 故答案为：②．‎ ‎【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了命题的否定，四种命题，复合命题，充要条件等知识点，难度中档．‎ ‎　‎ 三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．（10分）已知条件p：|1﹣|≤3；条件q：x2﹣2x+1﹣m2＞0（m＞0）若￢p是q的充分非必要条件，试求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】根据题意，分别求出2个条件中不等式的解集，进而分析可得，解可得m的取值范围．‎ ‎【解答】解：条件P中不等式解得﹣3≤x≤9，‎ 条件q中的不等式解得x＜1﹣m或x＞1+m，‎ 若￢p是q的充分非必要条件，可以推出￢q是p的充分非必要条件，‎ 分析可得：，‎ 解得0＜m≤4．‎ ‎【点评】本题考查充分必要条件的应用，关键是正确解出两个条件中不等式的解集．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）已知双曲线E：．‎ ‎（1）若m=4，求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程；‎ ‎（2）若双曲线E的离心率，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）m=4时，双曲线方程转化为：，先求出a，b，c，由此能求出双曲线的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程．‎ ‎（2）由双曲线E：，推导出e2=1+，再由，能求出实数m的取值范围．‎ ‎【解答】解：（1）∵双曲线E：．‎ ‎∴m=4时，双曲线方程转化为：，‎ ‎∴a=2，b=，c==3，‎ ‎∴双曲线的焦点坐标为F1（﹣3，0），F2（3，0），‎ 双曲线的顶点坐标A1（﹣2，0），A2（2，0），‎ 双曲线的渐近线方程为：y=．‎ ‎（2）∵双曲线E：，‎ ‎∴==1+，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 解得5＜m＜10，‎ ‎∴实数m的取值范围是（5，10）．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程的求法，考查参数的取值范围的求法，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质，是中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知p：∀x∈R，不等式恒成立，q：椭圆的焦点在x轴上．若命题p∧q为真命题，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】通过不等式恒成立求出p中m的范围；椭圆的焦点在x轴上求出m的范围，利用命题p∧q为真命题，求出m的交集即可．‎ ‎【解答】解：∵p：∀x∈R，不等式恒成立，‎ ‎∴（x﹣）2+，‎ 即，‎ 解得：；‎ q：椭圆的焦点在x轴上，‎ ‎∴m﹣1＞3﹣m＞0，‎ 解得：2＜m＜3，‎ 由p∧q为真知，p，q皆为真，‎ 解得．‎ ‎【点评】本题考查不等式恒成立问题，椭圆的简单性质，命题的真假的判断，是综合性比较高的问题，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根；‎ 命题q：函数f（x）=lg[x2﹣2（m+1）x+m（m+1）]的定义域为R，‎ 若“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】分别求出p，q为真时的m的范围，通过讨论p，q的真假，得到关于m的不等式组，解出即可．‎ ‎【解答】解：命题p：方程x2+mx+1=0有两个不相等的实根，‎ ‎∴△=m2﹣4＞0，解得m＞2或m＜﹣2．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2分）‎ 命题q：即不等式x2﹣2（m+1）x+m（m+1）＞0对任意的实数x恒成立，‎ ‎∴△=4（m+1）2﹣4m（m+1）＜0，解得m＜﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）‎ 若“p∨q”为真，“p∧q”为假，‎ 则p与q必然一真一假，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6分）‎ ‎∴或 ‎，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（8分）‎ 解得m＞2或﹣2≤m＜﹣1．‎ ‎∴实数m的取值范围是m＞2或﹣2≤m＜﹣1．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（10分）‎ ‎【点评】本题考查了复合命题的判断，考查二次函数的性质，是一道中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知椭圆C：x2+2y2=4．‎ ‎（I）求椭圆C的离心率；‎ ‎（II）设O为原点，若点A在直线y=2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．‎ ‎【分析】（I）把椭圆方程化成标准方程求出a，b，c的值，由离心率的定义e=即得其值；‎ ‎（II）设出A，B两点的坐标，利用向量垂直的条件找出A，B坐标间的关系，用距离公式表示出AB，消元后建立AB的函数关系，利用基本不等式求出最小值．‎ ‎【解答】解：（I）由题意，椭圆C的标准方程为．‎ 所以a2=4，b2=2，从而c2=a2﹣b2=2．因此a=2，c=．‎ 故椭圆C的离心率e=．‎ ‎（II）设点A，B的坐标分别为（t，2），（x0，y0），其中x0≠0．‎ 因为OA⊥OB，所以=0，即tx0+2y0=0，解得t=．‎ 又x02+2y02=4，所以|AB|2=（x0﹣t）2+（y0﹣2）2=（x0+）2+（y0﹣2）2‎ ‎=++4=（0≤4）．‎ 因为（0≤4）．，当时等号成立，所以|AB|2≥8．‎ 故线段AB长度的最小值为2．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的方程与性质及利用基本不等式求解最值等基础知识点，对学生的运算和数据处理能力要求较高，属于中档题 ‎　‎ ‎22．（12分）椭圆C：过点P（，1）且离心率为，F为椭圆的右焦点，过F的直线交椭圆C于M，N两点，定点A（﹣4，0）．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）若△AMN面积为3，求直线MN的方程．‎ ‎【分析】（1）由题意可得：=1，=，又a2=b2+c2，联立解得：a2，b2，c．可得椭圆C的方程．‎ ‎（2）F（2，0）．①若MN⊥x轴，把x=2代入椭圆方程可得：+=1，解得y．则S△AMN≠3，舍去．‎ ‎②若MN与x轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线MN的方程为：my=x﹣2．把x=my+2代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+4my﹣2=0．可得|y1﹣y2|=．利用S△AMN==3即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可得：=1，=，又a2=b2+c2，‎ 联立解得：a2=6，b2=2，c=2．‎ ‎∴椭圆C的方程为：．‎ ‎（2）F（2，0）．‎ ‎①若MN⊥x轴，把x=2代入椭圆方程可得：+=1，解得y=±．‎ 则S△AMN==2≠3，舍去．‎ ‎②若MN与x轴重合时不符合题意，舍去．因此可设直线MN的方程为：my=x﹣2．‎ 把x=my+2代入椭圆方程可得：（m2+3）y2+4my﹣2=0．‎ ‎∴y1+y2=﹣，y1•y2=，‎ ‎∴|y1﹣y2|===．‎ 则S△AMN==3×=3，解得m=±1．‎ ‎∴直线MN的方程为：y=±（x﹣2）．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、三角形面积计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎