2018-2019学年黑龙江省大庆第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年黑龙江省大庆第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年黑龙江省大庆第一中学高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，则概率（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，求得，，再利用概率的计算公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ 抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现任意一种点数的概率都是，‎ 记事件A为“向上的点数是奇数”，事件B为“向上的点数不超过3”，‎ 所以，‎ 所以，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了概率的求法问题，其中解答中要认真审题，注意等可能事件的概率的计算公式的合理运用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎2．总体由编号为01，02，03，，49，50的50个个体组成，利用随机数表（以下选取了随机数表中的第1行和第2行）选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第9列和第10列数字开始由左向右读取，则选出来的第4个个体的编号为（ ）‎ ‎78 16 65 72 08 02 63 14 07 02 43 69 69 38 74 ‎ ‎32 04 94 23 49 55 80 20 36 35 48 69 97 28 01 ‎ A．05 B．09 C．07 D．20‎ ‎【答案】C ‎【解析】从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，且小于或等于50的编号，注意重复数值要舍去，由此求出答案.‎ ‎【详解】‎ 根据题意，从随机数表第1行第9列和第10列数字开始，由左到右依次选取两个数字，其中小于或等于50的编号依次是，可知选出的第4个值为，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单的随机抽样中的随机数表法的应用，其中解答中熟记随机数表法的抽取方法，依次抽取是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎3．已知空间中三点A（0，1，0），B（2，2，0），C（－1，3，1），则（ ）‎ A．与是共线向量 B．的单位向量是 C．与夹角的余弦值是 D．平面ABC的一个法向量是 ‎【答案】D ‎【解析】分别根据两个向量的坐标运算，单位向量的定义和两向量的夹角公式，及法向量的求法，逐一判定，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，对于A中，，所以，则与不是共线向量，所以不正确；‎ 对于B中，因为，所以的单位向量为或，所以是错误的；‎ 对于C中，向量，所以，所以是错误的；‎ 对于D中，设平面ABC的一个法向量是，因为，所以 ‎，令，‎ 所以平面ABC的一个法向量为，所以是正确的，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了向量的坐标运算，两个向量的夹角公式以及共线向量的定义和平面法向量的求解，其中解答中熟记向量的基本概念和向量的运算公式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎4．用秦九韶算法计算多项式在x=-4时的值，的值为（　　）‎ A．-845 B．220 C．-57 D．34‎ ‎【答案】D ‎【解析】由于函数f（x）=3x4+5x3+6x2+79x–8=（（（3x+5）x+6）x+79）x–8，当x=–4时，分别算出v0=3，v1=–4×3+5=–7，v2═–4×（–7）+6=34，故选D．　‎ ‎5．在一次数学竞赛中，高一•1班30名学生的成绩茎叶图如图所示：若将学生按成绩由低到高编为1-30号，再用系统抽样的方法从中抽取6人，则其中成绩在区间[73，90]上的学生人数为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据茎叶图的数据，结合系统抽样的方法的特征，即可求解所要抽取的人数，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 根据茎叶图可得，成绩在区间[73，90]上的数据由15和，‎ 所以用系统抽样的方法从所有的30人中抽取6人，‎ 成绩在区间[73，90]上的学生人数为人故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了系统抽样的方法，以及茎叶图的应用问题，其中解答中系统抽样的方法，以及茎叶图的数据的读取是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎6．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】设正方形边长为，则圆的半径为，正方形的面积为，圆的面积为.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型概率的计算公式得，此点取自黑色部分的概率是，选B.‎ 点睛:对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算.‎ ‎7．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M，N分别是棱DD1，D1C1的中点，则直线OM( )‎ A．与AC，MN均垂直相交 B．与AC垂直，与MN不垂直 C．与MN垂直，与AC不垂直 D．与AC，MN均不垂直 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：因为平面，所以，又因为，所以平面，所以；易知，在中，因为，所以；故选A．‎ ‎【考点】1.空间中垂直关系的转化；2.勾股定理．‎ ‎【方法点睛】本题考查空间中线线垂直的证明，属于中档题；证明或判定线线垂直时，若证明相交直线的垂直，可考虑矩形的邻边垂直、菱形的对角线垂直、等腰三角形的三线合一、勾股定理等平面几何知识的应用，若证明异面直线的垂直，一般考虑线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化关系进行证明，要注意“立体几何问题平面化”思想的运用.‎ ‎8．下列有关命题的说法错误的是（ ）‎ A．若“”为假命题，则p，q均为假命题 B．“ ”是“”的充分不必要条件 C．“”的必要不充分条件是“”‎ D．若命题p：，，则命题：，‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据复合命题的之间判定的真值表，可判定A；根据充要条件的定义，可判定B、C，根据存在性命题的否定，可得判定D，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，对于A中，若“”为假命题，根据复合命题的真值表，可得p，q均为假命题，所以A是正确的；‎ 对于B中，“”是“”是成立的，但当“”时，“”不一定是成立的，所以“”是“”是的充分不必要条件，所以B是正确的；‎ 对于C中， “”时，“”不一定成立，而“”时，“”是成立的，所以“”的充分不必要条件是“”是错误的；‎ 对于D中，根据存在性命题的否定可知，命题p：，，则命题：，正确的，所以D是正确的；‎ 综上可知，错误的为C，故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了命题的真假判定及应用，复合命题的真假判定，充要条件以及含由量词的否定等知识点的应用，其中解答中熟记简易逻辑的相关知识点，合理应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎9．如图，过抛物线焦点的直线依次交抛物线与圆于点A、B、C、D，则的值是（ ）‎ A．8 B．4 C．2 D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】设过抛物线的焦点F的直线方程为，与抛物线的方程联立，即可求解的值，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，可得抛物线的焦点坐标为，‎ 设直线的方程为，联立，得，‎ 因为，‎ 所以，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与抛物线位置关系的应用，其中解答中设出直线的方程，与抛物线的方程联立，合理应用根与系数的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10．已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（　　）‎ A．求首项为1，公差为2的等差数列前2017项和 B．求首项为1，公差为2的等差数列前2018项和 C．求首项为1，公差为4的等差数列前1009项和 D．求首项为1，公差为4的等差数列前1010项和 ‎【答案】C ‎【解析】 由题意可知，为求首项为1，公差为4的等差数列的前1009项和.故选C.‎ 点睛：算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎11．如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABC⊥平面BCD，△BAC与△BCD均为等腰直角三角形，且∠BAC=∠BCD=90°，BC=2，点P是线段AB上的动点，若线段CD上存在点Q，使得异面直线PQ与AC成30°的角，则线段PA长的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】以C为原点，CD为轴，CB为轴，过C作平面BCD的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法即可求出线段PA长的取值范围.‎ ‎【详解】‎ 以C为原点，CD为轴，CB为轴，过C作平面BCD的垂线为轴，建立空间直角坐标系，则，‎ 设，‎ 则，‎ 因为异面直线PQ与AC所成的角为，‎ 所以，‎ 即，所以，‎ 所以 ，解得，‎ 所以，即线段PA的长的取值范围是，故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用向量法求解线段的取值范围问题，其中解答中认真审题，建立适当的空间直角坐标系，利用向量法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.‎ ‎12．如图，是椭圆与双曲线的公共焦点，将的离心率分别记为，点是在第一象限的公共点，若 的一条渐近线是线段的中垂线，则（ ）‎ A．2 B． C． D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题设中的条件，设焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，根据椭圆与双曲线的性质以及勾股定理建立方程，联立可得的等式，整理即可得到结论.‎ ‎【详解】‎ 由题设中的条件，设焦距为，椭圆的长轴长为，双曲线的实轴长为，‎ 由双曲线的定义可知，……(1)‎ 由椭圆的定义可得，………(2)‎ 因为的一条渐近线是线段的中垂线，‎ 所以，所以，………..(3)‎ 联立(1)(2)得，…………..(4)‎ 将(4)代入(3)得，即，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆与双曲线的定义的应用，以及圆锥曲线的离心率问题，其中解答中通过椭圆与双曲线的定义和焦点三角形中利用勾股定理建立三个方程求解椭圆的离心率和双曲线的离心率满足的关系式是解答本题的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.‎ 二、填空题 ‎13．已知某运动员每次投篮命中的概率都为50%，现采用随机模拟的方法估计该运动员四次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定0，1，2，3，4表示命中，5，6，7，8 9表示不命中；再以每四个随机数为一组，代表四次投篮的结果．经随机模拟产生了20组随机数：9075 9660 1918 9257 2716 9325 8121 4589 5690 6832 4315 2573 3937 9279 5563 4882 7358 1135 1587 4989 ‎ 据此估计，该运动员四次投篮恰有两次命中的概率为____．‎ ‎【答案】0.35‎ ‎【解析】由题意得20组随机数中，该运动员四次投篮恰有两次命中的有7个，据此能求出该运动员四次投篮恰有两次命中的概率.‎ ‎【详解】‎ 由题意可得20组随机数中，该运动员四次投篮恰有两次命中的有：‎ ‎，共7个，‎ 据此估计，该运动员四次投篮恰有两次命中的概率为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型及其概率的计算问题，其中解答中认真审题，利用列举法求得该运动员四次投篮恰有两次命中的此数是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎14．已知椭圆的左右焦点为，，离心率为，若为椭圆上一点，且，则的面积等于____．‎ ‎【答案】4.‎ ‎【解析】分析：根据椭圆可得意，由离心率，可得c值，因为，结合椭圆的定义和勾股定理形成方程组可求得的值，再求面积即可.‎ 详解：‎ 由题意，，得，，，‎ ‎∵为椭圆上一点，且，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，即，得，‎ 故的面积．‎ 点睛：考查椭圆的定义和基本性质，对直角的条件通常可选择勾股定理建立等式关系求解，属于中档题.‎ ‎15．在棱长为2的正方体△ABCD-A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、CD的中点，则点B到截面AMC1N的距离为_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】建立空间直角坐标系，利用香炉峰能求出点B到截面的距离，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如图所示，建立空间直角坐标系，‎ 因为棱长为2的正方体中，分别是的中点，‎ 所以，‎ 则，‎ 设平面的法向量为，‎ 则，取，得，‎ 所以点B到截面的距离为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用空间向量求解点到平面的距离问题，其中解答中建立适当的空间直角坐标系，正确求解平面的法向量，利用向量法准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于中档试题.‎ ‎16．以下五个关于圆锥曲线的命题中：‎ ‎①平面内与定点A（-3，0）和B（3，0）的距离之差等于4的点的轨迹为；‎ ‎②点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影是M点A的坐标是A（3，6），则的最小值是6；‎ ‎③平面内到两定点距离之比等于常数的点的轨迹是圆；‎ ‎④若过点C（1，1）的直线交椭圆于不同的两点A，B，且C是AB的中点，则直线的方程是．‎ ‎⑤已知P为抛物线上一个动点，Q为圆上一个动点，那么点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线距离之和的最小值是 其中真命题的序号是______．（写出所有真命题的序号）‎ ‎【答案】②④⑤‎ ‎【解析】由双曲线的定理可判定①；由抛物线的定义和三点共线取得最小值，可判定②；由时为两个定点连线的垂直平分线，可判定③；由点差法和直线的斜率公式，中点坐标公式判定④；由抛物线的定义和三点共线取得最小值，可判定⑤，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意，①中，平面内与定点和的距离之差等于4，根据双曲线的定义可得轨迹为双曲线的右支，且，即方程为，所以是错误的；‎ ‎②中，点P是抛物线上的动点，点P在y轴上的射影为M点，且，由于点A在抛物线开口之外，抛物线的焦点F坐标为，则，‎ 由点A、P、F三点共线可得取得最小值，所以是正确的；‎ ‎③中，平面内到两定点距离之比等于的点的轨迹不一定是圆，若，此时为两个定点的垂直平分线，所以是错误的；‎ ‎④中，若过点的直线角椭圆于不同的两点A、B，且C是AB的中点，可得C在椭圆的内部，设，可得，两式相减可得，由于，‎ 所以，则直线的方程为，所以是正确的；‎ ‎⑤已知P为抛物线上一动点，Q为圆上的一个动点，由抛物线的定义可得P到准线的距离即为P到焦点的距离，‎ 又由的最小值即为到圆心的距离减半径1，即有最小值为，‎ 则点P到点Q的距离与点P到抛物线的准线的距离之和的最小值为，所以是正确的，‎ 所以正确命题的序号为②④⑤.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了圆锥曲线的定义、标准方程及其简单的几何性质的应用，着重考查了转化思想和方程思想的应用，以及推理与计算能力，试题综合性较强，属于中档试题.‎ 三、解答题 ‎17．某中学组织了一次高二文科学生数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生中各随机抽取100人的成绩进行统计分析，分别制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图．‎ ‎（Ⅰ）若所得分数大于等于80分认定为优秀，求男、女生优秀人数各有多少人？‎ ‎（Ⅱ）在（Ⅰ）中的优秀学生中用分层抽样的方法抽取5人，从这5人中任意选取2人，求至少有一名男生的概率．‎ ‎【答案】（I）,；（II）.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由频率分布直方图可分别得到男生，女生优秀的频率，再乘以总人数，即可得到男、女生优秀人数；（Ⅱ）构建有序实数对，用枚举法列举所有可能的情形和满足题意的情形，再利用古典概型的计算公式求解即可.‎ 试题解析：‎ 解：（Ⅰ）由题可得，男生优秀人数为人，‎ 女生优秀人数为人．‎ ‎（Ⅱ）因为样本容量与总体中的个体数的比是，‎ 所以样本中包含男生人数为人，女生人数为人．‎ 设两名男生为，，三名女生为，，．‎ 则从5人中任意选取2人构成的所有基本事件为：，，，，，，，，，共10个，‎ 每个样本被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．‎ 记事件：“选取的2人中至少有一名男生”，则事件包含的基本事件有：，，，，，，共7个．‎ 所以，即选取的2人中至少有一名男生的概率为．‎ ‎18．移动公司为提升其文化品牌，特地从国外进口了某种音响设备，该设备的使用年限(年)与所支出的维修费(万元)的数据如下表：‎ ‎ ‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎ ‎ ‎11‎ ‎13‎ ‎14‎ ‎15‎ ‎17‎ ‎(Ⅰ)求所支出的维修费y对使用年限的线性回归方程；‎ ‎(Ⅱ)当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少？(附：在线性回归方程 中，‎ ‎，；其中，为样本平均值．)‎ ‎【答案】（1）（2）万元 ‎【解析】（Ⅰ）根据表格中的公式，利用公式，求得，，进而求解回归直线的方程；‎ ‎（Ⅱ）由（1）代入，求得的值，即可作出预测.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）经计算，，‎ 又，故线性回归方程为．‎ ‎（Ⅱ）当使用年限为8年时，支出的维修费估计为万元．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了回归直线方程的求解及其应用，其中解答中根据表格中的数据，利用公式准确计算是解答的关键，着重考查了推理与计算能力，属于基础题.‎ ‎19．已知动圆在运动过程中，其圆心M到点（0，1）与到直线y=-1的距离始终保持相等．‎ ‎（1）求圆心M的轨迹方程；‎ ‎（2）若直线与点M的轨迹交于A、B两点，且，求k的值．‎ ‎【答案】(1) 圆心的轨迹方程为;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎（1）根据题意及抛物线的定义可得圆心的轨迹方程为．（2）将直线方程与抛物线方程联立消元后得到一二次方程，根据二次方程根据系数的关系和弦长公式可得．‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵圆心到点与到直线的距离相等，‎ ‎∴圆心的轨迹是以点为焦点，以为准线的抛物线，‎ 设其方程为，‎ 则，解得．‎ ‎∴圆心的轨迹方程为．‎ ‎（2）由消去整理得，‎ ‎∵直线与抛物线交于两点，‎ ‎∴，解得．‎ 设，‎ 则，‎ 由题意得 ‎，‎ 解得，‎ 又，‎ ‎∴．‎ ‎20．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，△ABC和△AA1C均是边长为2的等边三角形，点O为AC中点，平面AA1C1C⊥平面ABC．‎ ‎（1）证明：A1O⊥平面ABC；‎ ‎（2）求直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）‎ ‎【解析】（1）由AA1=A1C，且O为AC的中点，得A1O⊥AC，根据面面垂直的性质定理，即可证得A1O⊥平面ABC；‎ ‎（2）以O为原点，OB，OC，OA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，求得平面A1BC1的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）证明：∵AA1=A1C，且O为AC的中点，‎ ‎∴A1O⊥AC，‎ 又∵平面AA1C1C⊥平面ABC，且交线为AC，又A1O⊂平面AA1C1C，‎ ‎∴A1O⊥平面ABC；‎ ‎（2）如图，以O为原点，OB，OC，OA1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．‎ 由已知可得O（0，0，0）A（0，-1，0），‎ ‎，‎ 平面A1BC1的法向量为，‎ 则有，‎ 所以的一组解为，‎ 设直线AB与平面A1BC1所成角为，‎ 则 又∵，‎ 所以直线AB与平面A1BC1所成角的正弦值：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了立体几何中的线面平行判定和直线与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎21．如图所示，在四棱锥中，底面ABCD为直角梯形，，，，点E为AD的中点，，平面ABCD，且  ‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）线段PC上是否存在一点F，使二面角的余弦值是？若存在，请找出点F的位置；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见解析 ‎【解析】（1）由题意，证得，再由线面垂直的性质，证得，利用线面垂直的判定定理，即可证得平面PEC，进而得到．‎ ‎（2）由（1）建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，由与共线，得，再求得平面CPD和平面CPD的一个法向量，利用向量的夹角公式即可求解.‎ ‎【详解】‎ 证明：（1）∵，，‎ ‎∴，，‎ E为AD的中点，，‎ ‎≌，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，平面ABCD，平面ABCD，，‎ 又，且PH，平面PEC，平面PEC，‎ 又平面PEC，．‎ 解：(2)由(1)可知∽，‎ 由题意得，，‎ ‎，，，，，‎ ‎、EC、BD两两垂直，建立以H为坐标原点，HB、HC、HP所在直线分别为x，y，z轴的坐标系，‎ ‎，，，，，‎ 假设线段PC上存在一点F满足题意，‎ 与共线，‎ ‎∴存在唯一实数，，满足，解得，‎ 设向量为平面CPD的一个法向量，‎ 且，，‎ ‎∴，取，得，‎ 同理得平面CPD的一个法向量，‎ ‎∵二面角的余弦值是，‎ ‎∴，‎ 由，解得 ‎【点睛】‎ 本题考查了立体几何中的线面平行判定和利用向量法求解二面角的应用问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理.同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎22．设椭圆的离心率为，左顶点到直线的距离为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的方程；‎ ‎（Ⅱ）设直线与椭圆C相交于A、B两点，若以AB为直径的圆经过坐标原点O，试探究：点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出这个定值；否则，请说明理由；‎ ‎（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，试求△AOB面积S的最小值．‎ ‎【答案】（1）（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】（Ⅰ）由已知，根据点到直线的距离公式，求解，再由椭圆的离心率，求得，进而可求得椭圆的方程；‎ ‎（Ⅱ）法一：设，，①当直线l的斜率不存在时，求得点O到直线AB的距离为定值；②当直线l的斜率存在时，设其方程为联立方程组，根据根与系数的关系和题设条件，化简得，进而求得点O到直线AB的距离为定值.‎ 法二：设直线方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和题设条件，化简得，进而得到点O到直线AB的距离为定值；‎ ‎（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，‎ 联立方程组，进而求得面积的表达式，利用基本不等式，即可求解面积的最小值；‎ 法二：由（Ⅱ），①当直线l的斜率不存在时，，②当直线l的斜率存在时，得出面积的表示，利用基本不等式求得最小值，即可得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎（Ⅰ）由已知，）‎ 因为故所求椭圆的方程为;‎ ‎（Ⅱ）法一：设，，‎ ‎①当直线l的斜率不存在时，由椭圆对称性知，，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即 又因为点在椭圆上，故，解得，‎ 此时点O到直线AB的距离为 ‎②当直线l的斜率存在时，设其方程为．‎ 联立得：‎ 所以，‎ 由已知，以AB为直径的圆经过坐标原点O，则，且 故 化简得，‎ 故点O到直线AB的距离为综上，点O到直线AB的距离为定值 法二：（若设直线方程为，也要对直线斜率为0进行讨论）‎ 设，‎ ‎①当直线l的斜率为0时，由椭圆对称性知x1=-x2，y1=y2，因为以AB为直径的圆经过坐标原点O，故，即 又因为点在椭圆上，故，解得，‎ 此时点O到直线AB的距离为 ‎②当直线l的斜率不为0，或斜率不存在时，设其方程为．‎ 联立得：‎ 所以，‎ 故，‎ 即,所以,‎ 所以,‎ 化简得，故点O到直线AB的距离为 综上，点O到直线AB的距离为定值 ‎（Ⅲ）法一：当直线OA、直线OB中有一条斜率不存在，另一条斜率为0时，易知S=1;‎ 当直线OA、直线OB斜率存在且不为0时，设直线OA的斜率为k，‎ 则直线OB的斜率为，由得，‎ 同理故 令，则 故综上，△AOB面积S的最小值为．‎ 法二：由（Ⅱ），①当直线l的斜率不存在时，，‎ ‎②当直线l的斜率存在时，，且点O到直线AB的距离为，‎ ‎​ ‎ 故，‎ 令，则，‎ 因为，故．综上，△AOB面积S的最小值为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查椭圆的标准方程与几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系的应用问题,解答此类题目时，通常联立直线方程与椭圆（圆锥曲线）方程的方程组，应用一元二次方程根与系数的关系，得到“目标函数”的解析式，确定函数的性质进行求解，此类问题易错点是复杂式子的变形能力不足，导致错漏百出，本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力、分析问题解决问题的能力等.‎