数学理卷·2018届内蒙古北京八中乌兰察布分校高三上学期第二次调研考试（2017

数学理卷·2018届内蒙古北京八中乌兰察布分校高三上学期第二次调研考试（2017

乌兰察布分校 ‎2017-2018学年第一学期第二次调考 高三年级数学（理科）试题 命题人：刘宇 审核人：魏晓燕 分值：150分 时间：120分钟 一、选择题（本题共12小题,每小题5分，满分60分。在每小题给出的四个选项中，只有1项是符合题意的。）‎ 1. 已知集合，则 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 2. ‎“”是“直线：与直线：垂直”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则下列命题中的假命题是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若相交，则相交 D. 若相交，则相交 4. 等差数列中的、是函数的两个极值点，则 A. ‎ B. 4‎ C. ‎ D. ‎ 5. 已知扇形OAB的面积为1，周长为4，则弦AB的长度为 A. 2‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 6. 已知角且，则 的值为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 7. 函数的零点所在的大致区间是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 1. 若函数的导函数是，则 A. 1‎ B. 2‎ C. ‎ D. ‎ 2. 将函数的图象向右平移个单位后，所得图象关于y轴对称，则的最小值为 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 3. 已知函数的部分图象如图所示，则分别为 A. ‎ B. ‎ B. C. D. ‎ 4. 函数是定义在内的可导函数，且满足： ，对于任意的正实数，若，则必有 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 5. 函数有两个零点，则a的取值范围是 A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分）‎ ‎13.若满足约束条件，则函数的最大值是 ‎ ‎14.在中，边上的高等于，则COSA= ‎ ‎15.已知是正数，且，则的最小值是 ‎ ‎16.已知圆，直线l：，若圆上恰有4个点到直线l的距离都等于1，则b的取值范围为 ‎ 三、解答题(本大题共6个小题，满分70分，17-21题,每题12分,22题和23题各10分,其中解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知：的三个内角的对边分别为，且满足 ‎． Ⅰ求角B的大小； ‎ Ⅱ若的面积为，求b边的长．‎ ‎18.为提高学生学习数学的兴趣，某地区举办了小学生“数独比赛”比赛成绩共有90分，70分，60分，40分，30分五种，按本次比赛成绩共分五个等级从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按这五个等级进行了统计，得到如下数据表： ‎ 成绩等级 A B C D E 成绩分 ‎90‎ ‎70‎ ‎60‎ ‎40‎ ‎30‎ 人数名 ‎4‎ ‎6‎ ‎10‎ ‎7‎ ‎3‎ Ⅰ根据上面的统计数据，试估计从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率； Ⅱ根据Ⅰ的结论，若从该地区参加“数独比赛”的小学生参赛人数很多中任选3人，记X表示抽到成绩等级为“A或B”的学生人数，求X的分布列及其数学期望E（X）； ‎ ‎19.如图所示，在直四棱柱中，‎ 底面ABCD是矩形，‎ 是侧棱的中点． ‎ (1) 求证：平面AED； ‎ (2) 求二面角的大小． 20.如图，已知椭圆C：的离心率是，一个顶点是． Ⅰ求椭圆C的方程； Ⅱ设是椭圆C上异于点B的任意两点，且试问：直线PQ是否恒过一定点？若 ‎ 是，求出该定点的坐标；若不是，说明理由．‎ ‎ ‎ ‎21.已知函数 若函数的图象在处的切线的斜率为，求的极值； 当时，的图象恒在x轴下方，求实数a的取值范围．‎ ‎ 请在22题和23题中任选一题作答,如果多做,则按所选的第一题给分.‎ ‎22.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为为参数，以原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为． Ⅰ写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程； Ⅱ若点P的直角坐标为，曲线C与直线l交于两点，求的值． ‎ ‎23.已知函数． 当时，求不等式的解集； 若的解集包含，求实数a的取值范围． ‎ ‎高三二调理科数学答案 一、 选择题：‎ ‎1.B 2.A 3.D 4.C 5.C 6.A 7.C 8.D 9.B 10.A 11.D 12.D 二、选择题：‎ ‎13. 6 14. 15. 16 16. ‎ 三、简答题：‎ ‎17.解：（Ⅰ）由已知得cos2B+cosB=0，可得2cos2B+cosB-1=0， 即（2cosB-1）（cosB+1）=0，解得cosB= 或cosB=-1．  因为0＜B＜π，故舍去cosB=-1，所以，B=． （Ⅱ）由sinA=3sinC利用正弦定理可得a=‎3c， 而△ABC的面积为acsinB=，将a=‎3c和B= 代入上式，得出c=1，且a=3，再由余弦定理b2=a2+c2-2accosB，解得b=．‎ ‎18.解：（I）根据统计数据可知，从本地区参加“数独比赛”的30名小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为=‎ ‎， 即从本地区参加“数独比赛”的小学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B”的概率为． （II）由题意知随机变量X可取0，1，2，3， ∴P（X=0）=C（）0（）3=；P（X=1）=C（）1（）2=； P（X=2）=C（）2（）=；P（X=3）=C（）3（）0=； 所以X的分布列为（必须写出分布列，否则扣1分）‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 故Eξ=0×+1×+2×+3×=1，所求期望值为1．‎ 19. ‎（1）证明：∵在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是矩形，  ∴以D1为原点，D1A1为x轴，D1C1为y轴，D1D为z轴，  建立如图所示空间直角坐标系．  ∵AB=1，BC=，AA1=2，E是侧棱BB1的中点， ∴D（0，0，2），A（，0，2），E（，1，1），，C1（0，1，0）， ‎ ‎∴=（，0，0），=（0，1，-1），=（0，1，1），  ‎ ‎ ∴=0，，   ∴A1E⊥DA，A1E⊥AE， ∴A1E⊥平面AED．  （2）解：设 是平面A1DE的一个法向量，  ∵，=（-，0，2）， ∴，  取x=1，得=（，-1，1），  ∵⊥平面AA1D，∴平面AA1D的一个法向量为=（0，1，0），  ∴cos＜＞==-，  结合图形，可判别得二面角A-A1D-E是锐角，它的大小为．‎ ‎20.（Ⅰ）解：设椭圆C的半焦距为c．依题意，得b=1，（1分）  且 ，（3分） 解得 a2=4．（4分）  所以，椭圆C的方程是．（5分）  （Ⅱ）证法一：易知，直线PQ的斜率存在，设其方程为y=kx+m．（6分）  将直线PQ的方程代入x2+4y2=4，  消去y，整理得 （1+4k2）x2+8kmx+‎4m2‎-4=0．（8分）  设 P（x1，y1），Q（x2，y2），  则 ，．①（9分）  因为 BP⊥BQ，且直线BP，BQ的斜率均存在，  所以 ，整理得 x1x2+y1y2-（y1+y2）+1=0．②（10分）  因为 y1=kx1+m，y2=kx2+m， ‎ ‎ 所以 y1+y2=k（x1+x2）+‎2m，．③  将③代入②，整理得．④  将①代入④，整理得 ‎5m2-2m-3=0．  解得 ，或m=1（舍去）．  所以，直线PQ恒过定点．（12分）  证法二：直线BP，BQ的斜率均存在，设直线BP的方程为y=kx+1．（6分）  将直线BP的方程代入x2+4y2=4，消去y，得 （1+4k2）x2+8kx=0．（8分）  解得 x=0，或．（9分）  设 P（x1，y1），所以，，  所以 ．（10分）  以替换点P坐标中的k，可得 ．  从而，直线PQ的方程是 ．  依题意，若直线PQ过定点，则定点必定在y轴上．  在上述方程中，令x=0，解得．  所以，直线PQ恒过定点．（12分）‎ ‎21.解：（Ⅰ）∵f′（x）=+alnx-（2x+a）=alnx-2x+，x＞0，  ∴f′（e）=a-2e+=‎ ‎-2e，  ∴a=0，  ∴f（x）=2lnx-x2+  ∴f′（x）=-2x==-，  令f′（x）＞0，解得0＜x＜1，函数f（x）递增，  令f′（x）＜0，解得x＞1，函数f（x）递减，  ∴f（x）极大值=f（1）=0，无极小值，  （2）由（1）可知f′（x）=alnx-2x+，x＞0，  令g（x）=alnx-2x+，  ∴g′（x）=-2-=（a-2x-），  当x＞1时，x+＞2，有a-2x-＜a-4，  ①若a-4≤0，即a≤4时，g′（x）＜0，故g（x）在区间（1，+∞）上单调递减，  则当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即f′（x）＜0，故f（x）在区间（1，+∞）上单调递减，  故当x＞1时，f（x）＜f（1）=0，  故当a≤4，x＞1时，f（x）的图象恒在x轴的下方，  ②若a-4＞0，即a＞4时，令g′（x）＞0，可得1＜x＜，  故g（x）在区间（0，）上单调递减，  故当1＜x＜时，g（x）＞g（1）=0，  故f（x）在区间（1，‎ ‎）上单调递增，  故当1＜x＜时，f（x）＞f（1）=0，  故当a＞4，x＞1时，函数f（x）的图象不可恒在x轴下方，  综上可知，a的取值范围是（-∞，4]．‎ ‎22.解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数，  可得直线l的普通方程为：x+y-=0   …（2分）  曲线C的极坐标方程为ρ=6cosθ，即ρ2=6ρcosθ，化为直角坐标方程为x2+y2=6x，  即圆C的直角坐标方程为：（x-3）2+y2=9…（5分）  （Ⅱ）把直线的参数方程代入圆C的方程，化简得：t2+2t-5=0…（8分）  所以，t1+t2=-2，t1t2=-5＜0  所以|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=|t1-t2|==…（10分）‎ ‎23.解：（1）当a=-4时，求不等式f（x）≥6，即|x-4|+|x-2|≥6，  而|x-4|+|x-2|表示数轴上的x对应点到4、2对应点的距离之和，  而0和6对应点到4、2对应点的距离之和正好等于6，故|x-4|+|x-2|≥6的解集为{x|x≤0，或x≥6}．  （2）原命题等价于f（x）≤|x-3|在[0，1]上恒成立，即|x+a|+2-x≤3-x在[0，1]上恒成立，  即-1≤x+a≤1，即-1-x≤a≤1-x在[0，1]上恒成立，即-1≤a≤0．‎