2019-2020学年河南省三门峡市高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

2019-2020学年河南省三门峡市高二上学期期末数学（文）试题（解析版）

2019-2020 学年河南省三门峡市高二上学期期末数学（文）试 题 一、单选题 1．已知 a，b，c 为实数，则下列结论正确的是（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 C．若 ， ，则 D．若 ，则 【答案】C 【解析】根据不等式的性质，对各选项逐个判断即可得出． 【详解】 对 A，若 ，当 时，则 ，当 时，则 ，所以 A 错误； 对 B，若 ，当 时，则 ，当 时， ， 当 时，则 ，所以 B 错误； 对 C，若 ， ，则 ，C 正确； 对 D，若 ，当 时，则 ，当 时，则 ，所以 D 错误； 故选：C． 【点睛】 本题主要考查不等式的性质应用，属于基础题． 2．命题“若 ,则 且 ”的否命题为( ) A．若 ,则 且 B．若 ,则 或 C．若 ,则 且 D．若 ,则 或 【答案】D 【解析】利用否命题的定义是条件、结论同时否定，将条件的“ ”变成“ ”，结论中的 “ ”变成“ ”，但主要“且”的否定为“或”. 【详解】 因为命题的否命题是条件、结论同时否定， 又因为 的否定是 ； 0ac bc> > a b> 0a b> > ac bc> a b> 0c > ac bc> a b> 2 2ac bc> 0ac bc> > 0c > a b> 0c < a b< 0a b> > 0c > ac bc> 0c < ac bc< 0c = ac bc= a b> 0c > ac bc> a b> 0c ≠ 2 2ac bc> 0c = 2 2ac bc= 2 2( 1) ( 2) 0x y− + − = 1x = 2y = 2 2( 1) ( 2) 0x y− + − = 1x ≠ 2y ≠ 2 2( 1) ( 2) 0x y− + − = 1x ≠ 2y ≠ 2 2( 1) ( 2) 0x y− + − ≠ 1x ≠ 2y ≠ 2 2( 1) ( 2) 0x y− + − ≠ 1x ≠ 2y ≠ = ≠ = ≠ 2 2( 1) ( 2) 0x y− + − = 2 2( 1) ( 2) 0x y− + − ≠ 且 的否定是则 或 ； 故选 D. 【点睛】 该题考查的是有关写出给定命题的否命题的问题，属于简单题目. 3．不等式 的解集为（ ） A． 或 B． 或 C． D． 【答案】A 【解析】将不等式因式分解为 ，再根据解一元二次不等式的解法求 出不等式的解集即可． 【详解】 解： ， ， 解得： 或 ， 故不等式的解集是 或 ， 故选： ． 【点睛】 本题考查了解一元二次不等式，考查计算能力，属于基础题． 4．“ ”是“ ”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由题意分别考查充分性和必要性是否成立即可. 【详解】 ，充分性成立， ， ， ，必要性不成立，故选 A． 【点睛】 1x = 2y = 1x ≠ 2y ≠ 27 3 4 0x x+ − > 4 7x x  >  }1x < − { 1x x > 4 7x < −  4| 17x x − < <   4| 1 7x x − < <   ( )( )7 4 1 0x x− + > 27 3 4 0x x+ − > (7 4)( 1) 0x x∴ − + > 4 7x > 1x < − 4 7x x  >  }1x < − A 0a b> > 2 2 2b aa b< + 2 20 2a b a b ab> > ⇒ + > 2 2 2 a bab a b +< ⇒ ≠ a b R∈ 本题主要考查了充分性和必要性的判断，属于基础题. 5．已知函数 ，则 的值为（　　） A． B．1 C． D．0 【答案】D 【解析】求出 的导函数，代入即得答案. 【详解】 根据题意， ，所以 ，故选 D. 【点睛】 本题主要考查导函的四则运算，比较基础. 6．设 为正项等比数列 的前 项和， ， ， 成等差数列，则 的值为 （ ） A． B． C．16 D．17 【答案】D 【解析】设等比数列的公比为 q，q＞0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公 式，解方程可得公比 q，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值． 【详解】 正项等比数列{an}的公比设为 q，q＞0，a5，3a3，a4 成等差数列， 可得 6a3＝a5+a4，即 6a1q2＝a1q4+a1q3， 化为 q2+q﹣6＝0，解得 q＝2（﹣3 舍去）， 则 1+q4＝1+16＝17． 故选：D． 【点睛】 本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质，考查方程思想和化简 运算能力，属于基础题． 7．在区域 中，若满足 的区域面积占 面积的 ，则 实数 的值为（ ） ( ) sin cosf x x x x= + '( )2f π 2 π 1− ( )f x '( ) sin cos sin cosf x x x x x x x= + − = '( ) 02f π = nS { }na n 5a 33a 4a 8 4 S S 1 16 1 17 ( ) ( ) 81 8 8 4 414 1 11 111 a qS qq aS qqq − −−= = =−−− 0 ( , ) | 1 1 x x y x y x y     Ω = +     −     0ax y+  Ω 1 3 a A． B． C． D． 【答案】C 【解析】画出区域 ，以及 ，根据 的区域面积占 面积的 列方 程，解方程求得 的值. 【详解】 画出区域 如下图所示，其中 . 当 时，由 得 ，由图像可知满足 的区域面积占 面积 不小于 ,不合题意. 当 时，由 得 ，设直线 交直线 于 ，由 ，得 ，代入 得 ，将 代入 ，解得 ，故选 C. 2 3 1 2 1 2 − 2 3 − Ω 0ax y+  0ax y+  Ω 1 3 a Ω 2 2 1ABC AOC BOCS S S∆ ∆ ∆= = = 0a ≥ 0ax y+ ≥ y ax≥ − 0ax y+  Ω 1 2 0a < 0ax y+ ≥ y ax≥ − 0ax y+ = 1x y+ = D 1 1 2 3AOD D ABCS OA x S∆ ∆= ⋅ ⋅ = 1 23 1 3 2 Dx = = 1x y+ = 1 3Dy = 2 1,3 3      0ax y+ = 1 2a = − 【点睛】 本小题主要考查不等式组组成区域的画法，考查两条直线交点坐标有关问题求解，考查 数形结合的数学思想方法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题. 8．已知两点 ， .给出下列曲线方程：① ，② ，③ ，在曲线上存在点 P 满足 的所有曲线是（ ） A．①②③ B．③ C．①② D．②③ 【答案】B 【解析】求出线段 的垂直平分线方程，然后分别和题目给出的四条曲线方程联立， 利用判别式判断直线和曲线的交点情况，从而判断给出的曲线上是否存在点 ，使得 ． 【详解】 解：由 ， ， 51, 4A     54, 4B − −   4 2 1 0x y+ − = 2 2 14 y x+ = 2 2 14 yx − = PA PB= MN P | | | |PA PB= 51, 4A     54, 4B − −   得 ， 、 的中点坐标为 ， 的垂直平分线方程为 ，即 ． ① 直线 与直线 平行， 直线 上不存在点 ，使 ； ②联立 ，得 ， ． 直线 与 没有交点，曲线 上不存在点 满足 ． ③联立 ，消去 得 ，解得 ，方程有解， 直线 与 有交点，曲线 上存在点 满足 ； 曲线上存在点 满足 的所有曲线是③． 故选： ． 【点睛】 本题考查了曲线与方程，训练了线段的垂直平分线方程的求法，考查了利用判别式法判 断直线与曲线的位置关系，属于中档题． 9．已知函数 的图象与直线 有且仅有三个交点，交点的横坐 标的最大值为 ，令 ， ，则（ ） A． B． C． D． 与 的大小 不确定 【答案】C 【解析】作出函数 的图象与直线 ，由图可知，当直线 与 函数 在 上的图象相切时，刚好有三个交点，根据导数的几何意义 5 5( ) 14 4 1 ( 4) 2ABk − − = =− − A B 3,02  −   AB∴ 30 2 2y x − = − +   2 3y x= − −  2 3y x= − − 4 2 1 0x y+ − = ∴ 4 2 1 0x y+ − = P | | | |PA PB= 2 2 2 3 14 y x yx = − − + = 28 12 5 0x x+ + = 212 4 8 5 16 0∆ = − × × = − < ∴ 2 3y x= − − 2 2 14 yx + = 2 2 14 yx + = P | | | |PA PB= 2 2 2 3 14 y x yx = − − − = y 12 13 0x + = 13 12x = − ∴ 2 3y x= − − 2 2 14 yx − = 2 2 14 yx − = P | | | |PA PB= ∴ P | | | |PA PB= B ( ) sinf x x= ( 0)y kx k= > α 1 sin 2A α= 21 2B α α += A B> A B< A B= A B ( ) sinf x x= ( 0)y kx k= > ( 0)y kx k= > ( ) sinf x x= [ ],2π π 即可 得到 ，以及 ，得 ，化简 ，即可得出答案． 【详解】 作出函数 的图象与直线 ，如图所示： 当直线 与函数 在 上的图象相切时，刚好有三个交点． 所以， ， 即得 ， ，故 ． 故选：C． 【点睛】 本题主要考查三角函数恒等变换，以及导数几何意义的应用，意在考查学生运用数形结 合思想的能力和数学运算能力，属于中档题． 10．已知数列 的各项均为整数， ， ，前 12 项依次成等差数列，从 第 11 项起依次成等比数列，则 （ ） A．8 B．16 C．64 D．128 【答案】B 【解析】分析：利用等差数列等比数列的通项公式求出公差与公比即可得到所求值. 详解：设由前 12 项构成的等差数列的公差为 ，从第 11 项起构成的等比数列的公比为 ， 由 ，解得 或 ， 又数列 的各项均为整数，故 ，所以 ， cosk α= − sinkα α= − tanα α= B ( ) sinf x x= ( 0)y kx k= > ( 0)y kx k= > ( ) sinf x x= [ ],2π π cosk α= − sinkα α= − tanα α= 2 2 2 2 22 sin11 1 tan sin cos 1cos sin2 2tan 2sin cos sin 22 cos B α α α α αα αα α α α α α ++ + += = = = = A B= { }na 8 2a = − 13 4a = 15a = d q ( )22 12 13 11 2 4d 42 3d aa a − += = =− + d 1= 3d 4 = { }na d 1= 13 12 q 2a a = = 所以 ，故 故选：B 点睛：本题综合考查了等比数列与等差数列的通项公式，考查了逻辑推理能力及运算求 解能力. 11．设双曲线 的左，右顶点为 是双曲线上不同于 的一点，设直线 的斜率分别为 ，则当 取得最小值时，双曲线 C 的离心率为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设 ，可得 ，得到 ，代入已知条 件，得到 ，设 ，得到 ，利用导数求得函数单调性，得到 时，函数 取得最小值，即 ，再由离心率的公式，即可求解． 【详解】 由双曲线 ，则 ， 设 ，则 ，可得 ， 则 ，所以 ， 所以 ， 11 10 12 2 13n n n na n− − ≤=  ≥ ， ， 4 15 2 16a = = ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > , ,A B P ,A B ,AP BP ,m n ( )23 2 3 ln ln3 b mn mn m na  + − − +   3 1 2 + 5 2 3 5 0 0( , )P x y 2 2 2 2 0 0 2( )x ay b a −= 2 2 0 2 2 2 0 y bmn x a a = =− ( ) 2 3 2 2 23 2 3 ln ln 3 ( ) 2 6ln3 3 b b b b bmn mn m na a a a a  + − − + = ⋅ + × − × −   0b ta = > 3 22( ) 3 2 6ln3f t t t t t= + − − 2t = ( )f t 2b a = ( )2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b − = > > ( ,0), ( ,0)A a B a− 0 0( , )P x y 2 2 0 0 2 2 1x y a b − = 2 2 2 2 0 0 2( )x ay b a −= 0 0 0 0 ,y ym nx a x a = =+ − 2 2 0 2 2 2 0 y bmn x a a = =− ( ) 2 2 2 2 2 2 2 23 2 3 ln ln 3 2 3ln3 3 b b b b bmn mn m na a a a a   + − − + = + × − × −      2 3 2 23 ( ) 2 6ln3 b b b b a a a a = ⋅ + × − × − 设 ，则 ， 则 ， 当 时， ， 单调递减； 当 时， ， 单调递增， 所以当 时，函数 取得最小值， 即当 取得最小值时， ， 所以双曲线的离心率为 ，故选 D． 【点睛】 本题主要考查了双曲线的标准方程及几何性质的应用，以及利用导数求解函数的单调性 与最值的应用，其中解答中根据双曲线的性质，得到关于 的函数，利用导数求解是解 答的关键，着重考查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题． 12．已知函数 ，若方程 有四个不等的实数根，则 实数 的取值范围是( ) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】先将方程 有四个不等的实数根转化为 的 图像与直线 有 4 个交点；用导数的方法判断函数 的单调性，作出函数 图像，根据函数的图像，即可得出结果. 【详解】 方程 有四个不等的实数根等价于 的图像与直线 0b ta = > 3 22( ) 3 2 6ln3f t t t t t= + − − 3 2 2 2 6 2 4 3 6 ( 2)(2 3)( ) 3 2 4 t t t t tf t t t t t t − + − − +′ = + − − = = (0,2)t ∈ ( ) 0f t′ < ( )f t (2, )t ∈ +∞ ( ) 0f t′ > ( )f t 2t = ( )f t ( )23 2 3 ln ln3 b mn mn m na  + − − +   2b a = 2 2 2 2 21 5c a b be a a a += = = + = b a ( ) 3 1 2ln , 0 4 2, 0 x xf x x x x x + >=   − − < ( )f x ax= a ( )1,1− ( )0,1 ( )1,+∞ 1 ee     , ( )f x ax= ( ) 2 2 1 2ln , 0 2 4, 0 x xxg x x xx + >=   − − < y a= ( )g x ( )g x ( )f x ax= ( ) 2 2 1 2ln , 0 2 4, 0 x xxg x x xx + >=   − − < 有 4 个交点； （1）当 时， ，由 得 ；由 得 ； 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；因此 ； （2）当 时， ， 由 得 ；由 得 ； 所以函数 在 上单调递增，在 上单调递减；因此 ； 由（1）（2）作出函数 的图像与直线 的图像如下： 由图像易得 . 故选 B 【点睛】 本题主要考查由方程根的个数求参数的问题，灵活运用数形结合的方法，熟记导数方法 判定函数单调性即可，属于常考题型. 二、填空题 13．准线方程为 的抛物线的标准方程是___________. 【答案】 【解析】由抛物线的准线方程可知，抛物线是焦点在 轴负半轴上的抛物线，并求得 值，则答案可求． 【详解】 y a= 0x > ( ) 3 4ln xg x x −′ = ( ) 0g x′ > 0 1x< < ( ) 0g x′ < 1x > ( )g x ( )0,1 (1, )+∞ ( )max (1) 1g x g= = 0x < ( ) 3 2 2 2 2( 1)2 xg x x x x +′ = + = ( ) 0g x′ > 1 0x− < < ( ) 0g x′ < 1x < − ( )g x ( )1,0− ( , 1)−∞ − ( )min ( 1) 1g x g= − = − ( )g x y a= 0 1a< < 2y = 2 8x y= - y p 解：由抛物线的准线方程为 ，可知抛物线是焦点在 轴负半轴上的抛物线， 设其方程为 ， 则其准线方程为 ，得 ． 该抛物线的标准方程是 ． 故答案为： ． 【点睛】 本题考查抛物线的标准方程，属于基础题． 14．函数 在 上的最小值是__________. 【答案】 【解析】利用导数求得函数 在区间 上的单调性，求得函数的极小值也即是 最小值，由此求得函数在区间 上的最小值. 【详解】 依题意， ，故函数在 上递减，在 上递增， 所以 时函数有极小值也即是最小值为 . 【点睛】 本小题主要考查利用导数求函数在闭区间上的最小值，属于基础题. 15．数列中 ， ， ， ， ， ， ，则 ________. 【答案】5 【解析】依题意可得， ， ，所以根据累乘法和裂项相消法 即可求出 ，进而求出 ． 【详解】 由 及 得， ， ， ，即 ． 2y = y 2 2 ( 0)x py p= − > 22 py = = 4p = ∴ 2 8x y= - 2 8x y= - 31( ) 4 43f x x x= − + [0,3]x∈ 4 3 − ( )f x [ ]0,3 [ ]0,3 ( ) ( )( )' 2 4 2 2f x x x x= − = + − [ ]0,2 [ ]2,3 2x = ( ) 1 42 8 4 2 43 3f = × − × + = − { }na 1 2 5a = 2 1n n na a a+ = + *n∈N 1 1n n b a = + 1 2 3n nP b b b b=  1 2 3n nS b b b b= + + +…+ 5 2n nP S+ = 1 1 1 n n n n ab a a + = =+ 1 1 1 n n n b a a + = − ,n nP S 5 2n nP S+ 2 1n n na a a+ = + 1 2 5a = 0na > 2 1 1 1 n n n n n n n a ab a a a a + = = =+ + ( )1 1 1 1 1 1 1n n n n na a a a a+ = = −+ + 1 1 1 n n n b a a + = − 所以， ，即有 ， 　 . 即有， ． 所以， ． 故答案为：5． 【点睛】 本题主要考查累乘法和裂项相消法的应用，意在考查学生的分析能力和数学运算能力， 属于中档题． 16．方程 的曲线即为函数 的图象，对于函数 ， 有如下结论：① 在 上单调递减；②函数 存在零点； ③函数 的值域是 R；④若函数 和 的图象关于原点对称，则函数 的图象就是 确定的曲线 其中所有正确的命题序号是________. 【答案】①③ 【解析】根据绝对值的定义去绝对值，将方程 化简，得到相应函数 在各区间上的表达式，由此作出图象，即可即可判断各命题的真假． 【详解】 当 且 时，方程为 ，此时方程不成立； 当 且 时，方程为 ，即 ， 当 且 时，方程为 ，即 ， 31 2 1 1 4 2 2 3 3 1 2 5 n n n n n a aa a a aP b b a ab b a + + = ==   1 25 n n P a + = 1 2 1 2 2 3 3 4 1 3 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n a a a a a a a aS b b b b +       = − + − + − + + −              = + + +…+  1 1 1 1 1 5 1 2n na a a+ + = − = − 1 2 25n n S a + = − 5 2 5n nP S+ = | | | | 116 9 x x y y+ = − ( )y f x= ( )y f x= ( )f x ( ),−∞ +∞ ( ) 4 ( ) 3F x f x x= + ( )f x ( )g x ( )f x ( )y g x= | | | | 116 9 x x y y+ = | | | | 116 9 x x y y+ = − 0x ≥ 0y≥ 2 2 116 9 x y+ = − 0x ≥ 0y < 2 2 116 9 x y− = − 2 3 1 16 xy = − + 0x < 0y≥ 2 2 116 9 x y− + = − 2 3 116 xy = − 当 且 时，方程为 ，即 ， 作出函数的图象，如图所示： 对于①，由图可知，函数在 上单调递减，所以①正确； 对于②，由 得， ，因为双曲线 和 的渐近线为 ，所以函数 的图象与直线 无 公共点，因此，函数 不存在零点，所以②错误； 对于③，由图可知，函数 的值域是 R，所以③正确； 对于④，若函数 和 的图象关于原点对称，则用 分别替换 可得， 即 ，则函数 的图象是 确定的 曲线，而不是 确定的曲线，所以④错误． 综上，正确的为①③． 故答案为：①③． 【点睛】 本题主要考查函数图象和性质的应用，函数零点的存在性问题的解法应用，涉及圆锥曲 线的有关几何性质，意在考查学生分析问题和解决问题的能力，以及数形结合和数学运 算能力，属于较难题． 三、解答题 17．已知 ，命题 p：对任意 ，不等式 恒成立，命题 q： 方程 表示焦点在 x 轴上的椭圆. 0x < 0y < 2 2 116 9 x y+ = 2 3 1 16 xy = − − R ( ) 4 ( ) 3 0F x f x x= + = 3( ) 4f x x= − 2 2 116 9 x y− = − 2 2 116 9 x y− + = − 3 4y x=± ( )y f x= 3 4y x= − ( ) 4 ( ) 3F x f x x= + ( )f x ( )g x ( )f x ,x y− − ,x y ( )y f x− = − ( ) ( )g x f x= − − ( )y g x= | | | | 116 9 x x y y+ = | | | | 116 9 x x y y+ = − m R∈ [0,1]x∈ 22 2 3x m m− ≥ − 2 2 15 1 x y m m + =− − （1）若命题 p 为真，求 m 的取值范围； （2）若命题 为真，求 m 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）依题意可知， 在 成立，即 ， 解出不等式即可求出； （2）先求出命题 为真时对应的 m 的取值范围，再根据真值表可知， 和 为真， 列出不等式组即可求出． 【详解】 （1）命题 p：对任意 ，不等式 恒成立. 若 p 真，可得 在 成立，由 ，则 ， 可得 ； （2）∵椭圆焦点在 x 轴上，所以 ，∴ ∵ 为真， 和 为真． 由（1）知， 为真，则 ， ∴ ，解得， . 则实数 m 的取值范围是 . 【点睛】 本题主要考查不等式恒成立问题和一元二次不等式的解法应用，二次方程表示椭圆的条 件应用，以及真值表的应用，意在考查学生的运算能力，属于基础题． 18．已知函数 ． （1）求函数 的单调区间； （2）函数 ，若方程 在 上有解，求实数 a 的 取值范围． 【答案】（1） 的增区间为 ，减区间为 ；（2） ． 【解析】（1）利用函数导数，求得函数的单调区间. p q¬ ∧ 1 2m≤ ≤ 2 3m< < 2 3 2 2m m x− + ≤ [0,1]x∈ 2 3 2 0m m− + ≤ q p¬ q [0,1]x∈ 22 2 3x m m− ≥ − 2 3 2 2m m x− + ≤ [0,1]x∈ 2 [0,2]x∈ 2 3 2 0m m− + ≤ 1 2m≤ ≤ 5 0 1 0 5 1 m m m m − >  − >  − > − 1 3m< < p q¬ ∧ ∴ p¬ q p¬ ( ) ( ),1 2,m∈ −∞ +∞ ( ) ( ),1 2, 1 3 m m  ∈ −∞ ∪ +∞  < < 2 3m< < ( )2,3 ( ) 2 lnf x x x= ( )f x ( ) ( ) 31 1 3 9h x xf x x= − ( ) 2 0h x a− = [ ]1,e ( )f x 1 2e , − +∞    1 20,e −      31 ,18 9 e −   （2）利用导数，求得 的单调区间和值域，根据 在 有解列不等 式，解不等式求得 的取值范围. 【详解】 （1）函数 的定义域为 ， ， 令 解得： ， 时， ，此时函数是减少的． 时， ，此时函数是增加的． 函数 的增区间为 ，减区间为 ． （2） ，则 ， 由（1）知， 在 为增函数， ， 在 为增函数， 即 ． 在 有解，只需满足 即 实数 a 的取值范围为 ． 【点睛】 本小题主要考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数求函数的值域，属于中档题. 19．已知函数 （Ⅰ）若函数 的值域为 ，关于 x 的不等式 的解集为 ，（ ），求实数 c 的值. （Ⅱ）m 为常数，且 ， ，当 时，求 最大值. 【答案】（Ⅰ）9；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）根据函数 的值域为 ，求出 的值，然后根据不等式的解集 建立方程关系，求 的值； ( )h x ( ) 2 0h x a− = [ ]1,e a ( )f x ( )0, ∞+ ( ) 2 lnf x x x x= + ( ) 0f x = 1 2x e −= 1 20,x e − ∴ ∈    ( ) 0f x′ < 1 2 ,x e − ∈ +∞    ( ) 0f x′ > ∴ ( )f x 1 2e , − +∞    1 20,e −      ( ) 3 31 1ln3 9h x x x x= − ( ) 2 lnh x x x′ = ( ) 2 lnh x x x′ = [ ]1,e ( ) ( )1 0h x h′ ′≥ = ( ) 3 31 1ln3 9h x x x x= − [ ]1,e ( ) ( ) ( )1h h x h e≤ ≤ ( ) 31 2 9 9 eh x− ≤ ≤ ( ) 2 0h x a− = [ ]1,e 31 229 9 ea− ≤ ≤ 31 18 9 ea− ≤ ≤ ∴ 31 ,18 9 e −   2( ) 2 ( )f x x x b b R= + + ∈ ( )f x [ )0,+∞ ( ) ( 0)f x c c< > ( ), 6k k + k ∈R 0 1m< < 1 1m t m− ≤ ≤ + 0b = 2( ) ( ) 2 1 f t t t f t t − − − + 1 2 ( )f x [ )0,+∞ b c （Ⅱ）将条件进行化简，利用基本不等式求最值即可． 【详解】 解：（Ⅰ）由值域为 ，当 时有 ，即 .则 ， 由已知 解得 ， ， 不等式 的解集为 ，∴ ，解得 . （Ⅱ）当 时， ，∴ . ∵ ， ， ， ∵ ，当且仅当 ，即 时，等号成立，且 ， ∴ ，即 的最大值为 . 【点睛】 本题主要考查不等式的应用，以及基本不等式的应用，综合性较强，考查学生的计算能 力． 20．已知数列 的前 n 项和为 ，且满足 ，数列 中， ， 对任意正整数 ， . （1）求数列 的通项公式； （2）是否存在实数 ，使得数列 是等比数列？若存在，请求出实数 及公 比 q 的值，若不存在，请说明理由； （3）求数列 前 n 项和 . 【答案】（1） （2）存在， ， （3） （ ） [ )0,+∞ 2 2 0x x b+ + = 4 4 0b∆ = − = 1b = 2 2( ) 2 1 ( 1)f x x x x= + + = + 2( ) ( 1)f x x c= + < 1c x c− < + < 1 1c x c− − < < − ( )f x c< ( ), 6k k + ( 1) ( 1) 2 6c c c− − − − = = 9c = 0b = 2( ) 2f x x x= + 2 2 ( ) 1 1( ) 2 1 1 f t t t t f t t t t t − − = =− + + + 0 1m< < 1 1m− < 1 1m + > 1 2t t + ≥ 1t t = 1t = 1 [1 ,1 ]m m∈ − + 1 1 1 2t t ≤ + 2( ) ( ) 2 1 f t t t f t t − − − + 1 2 { }na nS 2 2 1nS n n= − + { }nb 2 1 33 ab a = + 2n ≥ 1 1 3 n n nb b−  + =    { }na µ { }3n nb µ+ µ { }nb nT * 0, 1 2 3, 2,n na n n n N ==  − ≥ ∈ 1 4 µ = − 3q = − 5 1 , 2 124 8 3 1 1 , 28 8 3 n n n n k T n k  − = − ⋅=   − = ⋅ *k N∈ 【解析】（1）根据 与 的关系 即可求出； （2）假设存在实数 ，利用等比数列的定义列式，与题目条件 ，比 较对应项系数即可求出 ，即说明存在这样的实数； （3）由（2）可以求出 ，所以根据分组求和法和分类讨论法 即可求出． 【详解】 （1）因为 ， 当 时， ； 当 时， ． 故 ； （2）假设存在实数 ，使得数列 是等比数列，数列 中， ， 对任意正整数 ， .可得 ，且 ， 由假设可得 ，即 ， 则 ，可得 ， 可得存在实数 ，使得数列 是公比 的等比数列； （3）由（2）可得 ，则 ， 则前 n 项和 当 n 为偶数时， nS na 1 1 1 2n n n S na S S n− ==  − ≥ µ 13 3 1n n n nb b−⋅ + ⋅ = µ 11 1 1 ( 1)4 3 12 n n nb − = ⋅ + ⋅ −   2 2 1nS n n= − + 1n = 1 1 0a S= = 2n ≥ 2 2 1 2 1 ( 1) 2( 1) 1 2 3n n na S S n n n n n−= − = − + − − − − − = − * 0, 1 2 3, 2,n na n n n N ==  − ∈  µ { }3x nb µ⋅ + { }nb 2 1 33 ab a = + 2n 1 1 3 n n nb b−  + =    1 1 6b = 13 3 1n n n nb b−⋅ + ⋅ = ( )1 13 3 3n n n nb bµ µ− −⋅ + = − ⋅ + 13 3 4n n n nb b µ−⋅ + ⋅ = − 4 1µ− = 1 4 µ = − 1 4 µ = − { }3n nb µ⋅ + 3q = − 1 1 1 1 1 13 3 ( 3) ( 3)4 4 4 n n n nb b − − ⋅ − = − ⋅ − = ⋅ −   11 1 1 ( 1)4 3 12 n n nb − = ⋅ + ⋅ −   11 1 1 1 1 1 1 ( 1)12 36 4 3 12 12 12 n n nT −     = + +…+ ⋅ + − +…+ ⋅ −          1 11 1 112 3 0 11 8 31 3 n n nT  −    = + = −  − 当 n 为奇数时， 则 （ ）． 【点睛】 本题主要考查 与 的关系的应用，等比数列定义的应用，以及分组求和法和分类讨 论法的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题． 21．已知函数 . （Ⅰ）若 在 处的切线方程为 ，求 a 的值； （Ⅱ）若 ， ，都有 恒成立，求实 数 a 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 【解析】（Ⅰ）求出函数的导函数，依题意可知 ，即可求出参数的值. （Ⅱ）若 ， ， ， 在区间 上是增函数， 函数 是减函数，不妨设 ，由已知得， ，所以 ， 构造函数 ，参变分离即可求出参数的取值范 围. 【详解】 解：（Ⅰ）因为 ，因为 在 处的切线方程为 的 斜率为-2，所以 ，即 ，解得 . （Ⅱ）若 ， ， ， 在区间 上是增函数， 1 11 1 1 1 1 5 112 3 11 12 8 3 12 24 8 31 3 n n n nT  −    = + = − + = −  ⋅ − 5 1 , 2 124 8 3 1 1 , 28 8 3 n n n n k T n k  − = − ⋅=   − = ⋅ *k N∈ nS na 2( ) lnf x a x x= + ( )f x 1x = 2 3 0x y+ − = 0a > 1 2, [1,e]x x∀ ∈ ( ) ( )1 2 1 2 2020 2020f x f x x x − ≤ − 4a = − 220200 2a ee < ≤ − ( )1 2f ′ = − 0a > [ ]1,x e∈ ( ) 22 0x af x x +′ = > ( )f x [ ]1,e 2020y x = 1 21 x x e≤ ≤ ≤ ( ) ( )2 1 1 2 2020 2020f x f x x x − ≤ − ( ) ( )2 1 2 1 2020 2020f x f xx x + ≤ + 22020 2020( ) ( ) lng x f x a x xx x = + = + + ( ) 2af x xx ′ = + ( )f x 1x = 2 3 0x y+ − = ( )1 2f ′ = − 2 2a + = − 4a = − 0a > [ ]1,x e∈ ( ) 22 0x af x x +′ = > ( )f x [ ]1,e 函数 是减函数， 不妨设 ，由已知， ，所以 ， 设 ， ， 则 在区间 是减函数， 在 上恒成立， 所以 ， 在 上恒成立， 单调递减， ， 所以 ，故 . 【点睛】 本题考查利用导数研究在曲线上某点处的切线方程，考查利用导数求最值，考查化归与 转化思想方法，属于难题. 22．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ， ，上下顶点分别 为 ， ，左、右焦点分别为 ， ，离心率为 e. （1）若 ，设四边形 的面积为 ，四边形 的面积为 ， 且 ，求椭圆 C 的方程； （2）若 ，设直线 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点， 分别为线段 ， 的中点，坐标原点 O 在以 MN 为直径的圆上，且 ，求实数 k 的取值 范围. 【答案】（1） （2） 【解析】（1）依题意可得， ， ，再结合 ，即可解出 2020y x = 1 21 x x e≤ ≤ ≤ ( ) ( )2 1 1 2 2020 2020f x f x x x − ≤ − ( ) ( )2 1 2 1 2020 2020f x f xx x + ≤ + 22020 2020( ) ( ) lng x f x a x xx x = + = + + [1,e]x∈ ( )g x [ ]1,e 2 2020( ) 2 0ag x xx x ′ = + −  [ ]1,e 22020 2 ( )a x h xx ≤ − = 2 2020( ) 4 0h x xx ′ = − − < [ ]1,e ( )h x∴ 2 min 2020( ) 2h x ee = − 22020 2a ee ≤ − 220200 2a ee < ≤ − 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b + = > > 1A 2A 1B 2B 1F 2F 1 1 15A B = 1 1 2 2B F B F 1S 1 1 2 2A B A B 2S 1 2 3 2 S S = 2 (3,0)F y kx= ,M N 2PF 2QF 2 3 2 2e< ≤ 2 2 112 3 x y+ = 2 2, ,4 4    −∞ − +∞       2 2a b 15+ = 2 3c a= 2 2 2a b c= + ，得出椭圆 C 的方程； （2）联立直线和椭圆 C 的方程，可解得 ， ，再利用坐标 原点 O 在以 MN 为直径的圆上，得到 ，且 为矩形，因此 ，即可用 表示出 ，然后根据离心率的范围求出 的范围，即可根 据二次函数的知识求出． 【详解】 （1） ，∴ ，由 ，可得 ，化为 ， 联立 ，解得 ， ， ，∴椭圆 C 的方程为 . （2）设 ， ，联立 ，可得 ， ∴ ， . 由题意可知： ，且 为矩形， ∴ ，而 ， ∴ ， 即 ，∴ ， ∵ ，∴ ， 可得 ，∴ . 【点睛】 本题主要考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的应用，圆的几何知识的应用， 以及二次函数有关性质的应用，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题． , ,a b c 1 2 0x x+ = 2 2 1 2 2 2 2 a bx x b a k −= + OM ON⊥ 2OMF N 2 2 0F P F Q⋅ =  2a 2k 2a 1 1 15A B = 2 2a b 15+ = 1 2 3 2S S= 32 22bc ab= × 2 3c a= 2 2 2 2 2 15 2 3 a b c a a b c  + =  =  = + 2 12a = 2 3b = 3c = 2 2 112 3 x y+ = ( )1 1,P x y ( )2 2,Q x y 2 2 2 2 1x y a b y kx  + =  = ( )2 2 2 2 2 2b a k x a b+ = 1 2 0x x+ = 2 2 1 2 2 2 2 a bx x b a k −= + OM ON⊥ 2OMF N 2 2PF QF⊥ ( )2 1 13,F P x y= − ( )2 2 23,F Q x y= − ( ) ( ) ( )2 2 2 1 2 1 2 1 23 3 1 9 0F P F Q x x y y k x x⋅ = − ⋅ − + = + + =  ( )( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 9 1 9 0 9 a a k a k a − − + + = + − ( ) 2 24 2 2 81 811 118 9 81 k a a a = − − = − −− − − 2 3 2 2e<  212 18a < 2 1 8k  2 2, ,4 4k    ∈ −∞ − ∪ +∞      