2017-2018学年山西省临汾第一中学等五校高二上学期期末联考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年山西省临汾第一中学等五校高二上学期期末联考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年山西省临汾第一中学等五校高二上学期期末联考数学（理）试题（解析版）‎ ‎1. 已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】已知 ， ， .‎ 故答案为：D.‎ ‎2. 双曲线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线中，且焦点在y轴上，‎ 所以，解得.‎ 所以双曲线的焦点坐标为.‎ 故选C.‎ ‎3. 已知数列满足，且，则（ ）‎ A. B. 11 C. 12 D. 23‎ ‎【答案】B ‎【解析】数列满足，且,根据递推公式得到 ‎ 故答案为：B.‎ ‎4. 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据循环图得到， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 判断此时t>3，不满足条件，故输出n值为3.‎ 故答案为：B.‎ ‎5. 下列命题中的假命题是（ ）‎ A. “”是“”的充分不必要条件 B. 函数为奇函数 C. ‎ D. ，直线与圆都相交 ‎【答案】C ‎【解析】A. “”的充要条件为，是“”的充分不必要条件，故选项正确；‎ B. 函数为奇函数，因为故函数为奇函数；‎ C. ，故不正确；‎ D. ，直线与圆都相交是正确的，因为直线化为，过定点，这个点在圆内部，故直线和圆总会有交点.选项正确.‎ 故答案为：C.‎ ‎6. 设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】将的图象向右平移个单位后对应的函数为函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，所以有，即，又，故，故选A.‎ ‎7. 在中，角的对边分别为，若，，且，则（ ）‎ A. B. C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由正弦定理结合题意有：，不妨设，‎ 结合余弦定理有：，‎ 求解关于实数的方程可得：，则：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎8. 如图，在四棱锥中，，平面，为线段的中点，底面为菱形，若，，则异面直线与所成角的正弦值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图，平面 从而 ，又 所以 ‎ 故 ‎ 故选B ‎9. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】该几何体的直观图如图所示，据此可得该几何体的体积为：‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎10. 已知是椭圆：的左焦点，为上一点，，则的最大值为（ ）‎ A. B. 9 C. D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】连接P点和另一个焦点即为E， ‎ ‎= .‎ 故答案为：A.‎ 点睛：这个题目考查了椭圆的几何意义和椭圆定义的应用；椭圆上的点到两焦点的距离之和是定值，一般题目中出现点到其中一个焦点的距离，都会将点和另一个焦点连接起来，利用定义将两者转化.‎ ‎11. 过双曲线 的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由通径公式有：，不妨设，分类讨论：‎ 当，即时，为钝角，此时；‎ 当，即时，应满足为钝角，‎ 此时：，‎ 令，据此可得：，‎ 则：.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎.....................‎ ‎12. 已知函数，若成立，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，则，‎ 所以，则，‎ 易知，，则在单调递减，单调递增，‎ 所以，故选B。‎ 点睛：本题考查导数的综合应用。利用导数求函数的极值和最值是导数综合应用题型中的常见考法。通过求导，首先观察得到导函数的极值点，利用图象判断出单调增减区间，得到最值。‎ ‎13. 幂函数的图象经过点，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】幂函数的图象经过点,设幂函数为将点代入得到 ‎ ‎ ‎ 故答案为：.‎ ‎14. 目前北方空气污染越来越严重，某大学组织学生参加环保知识竞赛，从参加学生中抽取40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，若从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，则他们在同一分数段的概率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设第二组及第五组数据对应矩形的高为a，‎ 则10×（a+0.015+0.025+0.035+a+0.005）=1，‎ 解得a=0.010，‎ 故各组的频率依次为：0.10，0.15，0.25，0.35，0.10，0.05，‎ ‎∵前三组的累积频率为：0.10+0.15+0.25=0.50，‎ 故这次环保知识竞赛成绩的中位数为70；‎ 成绩在[80，90）段的人数有10×0.010×40=4人，‎ 成绩在[90，100]段的人数有10×0.005×40=2人，‎ 从成绩是80分以上（包括80分）的学生中任选两人共有15种不同的基本事件，‎ 其中他们在同一分数段的基本事件有：7，‎ 故他们在同一分数段的概率为 故答案为:.‎ ‎15. 直线：与抛物线切于点，与轴的交点为，且为原点，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对直线求导，设切点为，将切点代入直线得到m=-1,‎ L:y=2x-1,B(0,-1),A(1,1), ‎ 故答案为：-3.‎ 点睛：这个题目考查了，直线和抛物线的位置关系，向量坐标化的方法.一般开口向上的抛物线和直线相切，直接用求导的方法表示直线和曲线切，再就是解决向量的点积问题时，可以应用向量投影的方法，也可以向量坐标化.‎ ‎16. 已知点是抛物线：（）上一点，为坐标原点，若是以点为圆心，的长为半径的圆与抛物线的两个公共点，且为等边三角形，则的值是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，可知，所以，所以。‎ ‎17. 已知：在区间上是减函数；‎ ‎：不等式无解，如果“”为假，“”为真，求的取值范围.‎ ‎【答案】或.‎ 解析：‎ 若为真，即在区间上是减函数，只需要 对称轴，即 若为真，即不等式无解，只需要即，‎ 解得 因为“”为假，“”为真，，所以一真一假 若真假，则，得或；‎ 若真假，则，得.‎ 综上，的取值范围是或.‎ ‎18. 如图，在直三棱柱，已知，,，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先证明平面，可证得.‎ ‎（2）分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系,用向量法求解即可.‎ 试题解析：（1）因为四边形是矩形，，‎ 所以 又因为，，所以平面 因为，所以平面，，‎ 又，所以平面，从而.‎ ‎（2）分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系 因为，所以，又，‎ 故，‎ 设为平面的法向量，则即，‎ 取，解得，‎ ‎∴为平面的一个法向量 显然，为平面的一个法向量 则.‎ 据图可知，二面角为锐角，故二面角的余弦值为.‎ 点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.‎ ‎19. 已知抛物线：的焦点为，原点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于两点.‎ ‎（1）过点作抛物线准线的垂线，垂足为，若直线的斜率为，且，求抛物线的方程；（2）当直线的倾斜角为多大时，的长度最小.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用几何性质可得为等边三角形，得，所以抛物线方程为.‎ ‎（2）联立得，，可得，‎ 所以焦点弦，当且仅当等号成立，‎ ‎∴.‎ 试题解析：（1）准线与轴的交点为，则由几何性质得，‎ ‎∵且，‎ ‎∴为等边三角形，得，‎ ‎∴抛物线方程为.‎ ‎（2）∵，∴直线的方程可设为，‎ 由得，‎ 设，则，得，‎ 所以，当且仅当等号成立，‎ ‎∴.‎ 点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．‎ ‎20. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，且底面与侧面垂直，，，分别为线段的中点，，，，且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求与平面所成角的正弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据三角形中位线定理以及线面平行的判定定理可得与平面平面平行，从而可得平面平面，进而根据面面平行的性质可得平面；（2）因为底面与侧面垂直，且，所以底面，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，先求出的方向向量，再根据向量垂直数量积为零列方程组求出平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果.‎ 试题解析：（1）证明：因为分别为线段的中点，，所以，，‎ 又，所以平面平面，‎ 因为平面，所以平面.‎ ‎（2）解：因为底面与侧面垂直，且，所以底面.‎ 以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ 所以，，‎ 设是平面的法向量，则，即，‎ 故可取.‎ 设与平面所成角为，则，‎ 故与平面所成角的正弦值为.‎ ‎21. 已知椭圆：经过，且椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）设斜率存在的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，，且与圆心为的定圆相切.直线：（）与圆交于两点，.求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）.（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义和离心率的定义即可求出椭圆C的方程，（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），l的方程为y=kx+m，根据韦达定理，可得5m2=k2+1，再根据点到直线的距离公式分别求出|MN|=2，G到直线l′的距离为，结合三角形的面积公式和基本不等式即可求出答案.‎ 解析：‎ ‎（1）因为经过点，所以，‎ 又椭圆的离心率为，所以 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设设，的方程为 由，得，‎ 所以 因为，‎ 所以 整理得，‎ 所以到的距离为，‎ 所以直线恒与定圆相切，即圆的方程为 又到的距离为，所以，且，所以，‎ 因为到的距离为，‎ 所以 ‎，当且仅当即时取“=”‎ 所以面积的最大值为.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎22. 设函数，.‎ ‎（1）若函数在上单调递增，求的取值范围； ‎ ‎（2）设，点是曲线与的一个交点，且这两曲线在点处的切线互相垂直，证明：存在唯一的实数满足题意，且.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析 ‎【解析】【试题分析】（1）求导后令导数大于或等于零，然后分离参数，利用恒成立可求得的取值范围.（2）将两条切线相互垂直转化为在点的导数乘积为，结合切点坐标可求得切点横坐标所满足的一个等式，通过分类讨论可得存在唯一实数满足题意.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）解：由题意知，所以，‎ 由题意，，即对恒成立，‎ 又当时，，所以.‎ ‎（2）证明：因为，,‎ 所以，即.①‎ 又点是曲线与的一个交点，所以.②‎ 由①②消去，得.‎ ‎（ⅰ）当时，因为.所以，且，此与②式矛盾.‎ 所以在上没有适合题意.‎ ‎（ⅱ）当时，设，.‎ 则，即函数在上单调递增，‎ 所以函数在上至多有一个零点.‎ 因为，，‎ 且的图象在上不间断，所以函数在有唯一零点.‎ 即只有唯一的，使得成立，且.‎ 综上所述，存在唯一的,且.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎