数学理·河南省信阳市息县一中2017届高三上学期第三次段考数学试卷（理科）+Word版含解析

数学理·河南省信阳市息县一中2017届高三上学期第三次段考数学试卷（理科）+Word版含解析

‎2016-2017学年河南省信阳市息县一中高三（上）第三次段考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={1，2，3，4}，B={n|n=log2（3k﹣1），k∈A}，则A∩B=（　　）‎ A．{3} B．{1} C．{1，3} D．{1，2，3}‎ ‎2．已知复数z=﹣2i+，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3．以（a，1）为圆心，且与两条直线2x﹣y+4=0与2x﹣y﹣6=0同时相切的圆的标准方程为（　　）‎ A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5 B．（x+1）2+（y+1）2=5 C．（x﹣1）2+y2=5 D．x2+（y﹣1）2=5‎ ‎4．已知||=， •=﹣，且（﹣）•（+）=﹣15，则向量与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A．6+ B．8+ C．4+ D．4+‎ ‎6．已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）的对应表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ f（x）‎ ‎136.13‎ ‎15.552‎ ‎﹣3.92‎ ‎10.88‎ ‎﹣52.488‎ ‎﹣232.064‎ 则函数f（x）存在零点的区间有（　　）‎ A．区间[1，2]和[2，3] B．区间[2，3]和[3，4]‎ C．区间[3，4]、[4，5]和[5，6] D．区间[2，3]、[3，4]和[4，5]‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，如果输入的P=2，Q=1，则输出的M等于（　　）‎ A．37 B．30 C．24 D．19‎ ‎8．已知α为锐角，若sin2α+cos2α=﹣，则tanα=（　　）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎9．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，x∈[0，2）时，f（x）=3x﹣1，则f A．8 B．0 C．2 D．﹣2‎ ‎10．把函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度，所得的曲线的一部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是（　　）‎ A．1， B．1，﹣ C．2， D．2，﹣‎ ‎11．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　）‎ A．f（x）=﹣x3 B．f（x）=+x3 C．f（x）=﹣x3 D．f（x）=+x3‎ ‎12．对函数f（x），在使f（x）≥M成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫做函数f（x）的下确界．现已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=﹣3x2+2，则f（x）的下确界为（　　）‎ A．2 B．1 C．0 D．﹣1‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为　　．‎ ‎14．在△ABC中，边AB的垂直平分线交边AC于D，若C=，BC=8，BD=7，则△ABC的面积为　　．‎ ‎15．6月23日15时前后，江苏盐城市阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级．灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A，B，C，D四个不同的方向前往灾区．‎ 已知下面四种说法都是正确的．‎ ‎（1）甲轻型救援队所在方向不是C方向，也不是D方向； ‎ ‎（2）乙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向； ‎ ‎（3）丙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向； ‎ ‎（4）丁轻型救援队所在方向不是A方向，也不是D方向．‎ 此外还可确定：如果丙所在方向不是D方向，那么甲所在方向就不是A方向．有下列判断：‎ ‎①甲所在方向是B方向；②乙所在方向是D方向；③丙所在方向是D方向；④丁所在方向是C方向．‎ 其中判断正确的序号是　　．‎ ‎16．函数f（x）=lnx在点P（x0，f（x0））处的切线l与函数g（x）=ex的图象也相切，则满足条件的切点P的个数有　　个．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知各项都为正数的等比数列{an}满足a3是3a1与2a2的等差中项，且a1a2=a3．‎ ‎（ I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（ II）设bn=log3an，且Sn为数列{bn}的前n项和，求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎18．某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（ I）写出a的值；‎ ‎（ II）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取3人，并用X表示其中男生的人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎19．如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，N为BC边上一点，且CN=BC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF⊥平面EF﹣CB，M为EF中点．‎ ‎（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；‎ ‎（2）求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值．‎ ‎20．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有＞0．‎ ‎（1）证明：f（x）在[﹣1，1]上是增函数；‎ ‎（2）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0．‎ ‎21．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，‎ ‎（1）当x∈[1，2]时，求f（x）的解析式；‎ ‎（2）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f求证：PF•QN=PQ•NF；‎ ‎（Ⅱ）若QP=QF=，求PF的长．‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知圆C在极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C相交于不同的两点P，Q．‎ ‎（Ⅰ）写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；‎ ‎（Ⅱ）若弦长|PQ|=4，求直线l的斜率．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．设f（x）=|x|+|x+10|．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）≤x+15的解集M；‎ ‎（Ⅱ）当a，b∈M时，求证：5|a+b|≤|ab+25|‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年河南省信阳市息县一中高三（上）第三次段考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．已知集合A={1，2，3，4}，B={n|n=log2（3k﹣1），k∈A}，则A∩B=（　　）‎ A．{3} B．{1} C．{1，3} D．{1，2，3}‎ ‎【考点】交集及其运算．‎ ‎【分析】分别求出满足条件的集合B中的部分元素，求出A∩B即可．‎ ‎【解答】解：k=1时，n=1，‎ k=3时，n=3，‎ ‎∴B={1，3，…}，‎ 而A={1，2，3，4}，‎ 故A∩B={1，3}，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．已知复数z=﹣2i+，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点在（　　）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【考点】复数的代数表示法及其几何意义．‎ ‎【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、几何意义即可得出．‎ ‎【解答】解：复数z=﹣2i+=﹣2i+=﹣2i﹣3i﹣1=﹣1﹣5i，‎ 则复数z的共轭复数=﹣1+5i在复平面内对应的点（﹣1，5）在第二象限．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．以（a，1）为圆心，且与两条直线2x﹣y+4=0与2x﹣y﹣6=0同时相切的圆的标准方程为（　　）‎ A．（x﹣1）2+（y﹣1）2=5 B．（x+1）2+（y+1）2=5 C．（x﹣1）2+y2=5 D．x2+（y﹣1）2=5‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】由题意，圆心在直线2x﹣y﹣1=0上，求出圆心与半径，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由题意，圆心在直线2x﹣y﹣1=0上，‎ ‎（a，1）代入可得a=1，即圆心为（1，1），半径为r==，‎ ‎∴圆的标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=5，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．已知||=， •=﹣，且（﹣）•（+）=﹣15，则向量与的夹角为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】由条件利用两个向量的数量积的定义，求得向量与的夹角的余弦值，可得向量与的夹角．‎ ‎【解答】解：设向量与的夹角为θ，∵||=， •=•||•cosθ=﹣①，‎ ‎∵（﹣）•（+）=﹣=10﹣=﹣15，∴||=5．‎ 再把||=5代入①求得cosθ=﹣，∴θ=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．如图是一个由两个半圆锥与一个长方体组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（　　）‎ A．6+ B．8+ C．4+ D．4+‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】几何体为两个半圆锥与一个四棱柱的组合体，求出各部分的体积再相加即可．‎ ‎【解答】解：由三视图可知几何体为两个半圆锥与一个长方体的组合体．‎ 半圆锥的底面半径r=1，高为2，长方体的棱长为1，2，2，‎ ‎∴几何体的体积V=×2+1×2×2=+4．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．已知函数f（x）的图象是连续不断的，有如下的x，f（x）的对应表：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ f（x）‎ ‎136.13‎ ‎15.552‎ ‎﹣3.92‎ ‎10.88‎ ‎﹣52.488‎ ‎﹣232.064‎ 则函数f（x）存在零点的区间有（　　）‎ A．区间[1，2]和[2，3] B．区间[2，3]和[3，4]‎ C．区间[3，4]、[4，5]和[5，6] D．区间[2，3]、[3，4]和[4，5]‎ ‎【考点】二分法的定义．‎ ‎【分析】利用根的存在性定理：f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且f（a）•f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有根．结合题中的表求出函数f（x）存在零点的区间．‎ ‎【解答】解：据根的存在性定理知：‎ f（x）的图象在区间[a，b]上连续，且f（a）•f（b）＜0，则f（x）在（a，b）上有根．‎ ‎∵f（x）的图象是连续不断的，‎ ‎∴由表知，f（2）•f（3）＜0，f（4）•f（3）＜0，f（4）•f（5）＜0，‎ ‎∴函数f（x）存在零点的区间为[2，3]、[3，4]和[4，5]，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎7．执行如图所示的程序框图，如果输入的P=2，Q=1，则输出的M等于（　　）‎ A．37 B．30 C．24 D．19‎ ‎【考点】程序框图．‎ ‎【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量M的值，模拟程序的运行，对程序运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果．‎ ‎【解答】解：模拟程序的运行，可得：‎ P=2，Q=1‎ M=10，N=1‎ M=12，N=1‎ 不满足条件M≤N，执行循环体，P=3，Q=2，M=15，N=2‎ 不满足条件M≤N，执行循环体，P=4，Q=3，M=19，N=6‎ 不满足条件M≤N，执行循环体，P=5，Q=4，M=24，N=24‎ 满足条件M≤N，推出循环，输出M的值为24．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎8．已知α为锐角，若sin2α+cos2α=﹣，则tanα=（　　）‎ A．3 B．2 C． D．‎ ‎【考点】三角函数的化简求值．‎ ‎【分析】利用同角三角函数基本关系式化简已知条件为正切函数的形式，然后求解即可．‎ ‎【解答】解：α为锐角，tanα＞0，‎ 若sin2α+cos2α=﹣，‎ 可得，‎ 即： =，‎ 可得2tan2α﹣5tanα﹣3=0，‎ 解得tanα=3，tan（舍去）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎9．定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，x∈[0，2）时，f（x）=3x﹣1，则f A．8 B．0 C．2 D．﹣2‎ ‎【考点】函数的周期性．‎ ‎【分析】函数f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，可得：f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），f=﹣f（1），即可得出．‎ ‎【解答】解：∵函数f（x）满足f（x+2）+f（x）=0，‎ ‎∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），‎ ‎∴f=f（3）=﹣f（1），‎ ‎∵x∈[0，2）时，f（x）=3x﹣1，‎ ‎∴f（1）=3﹣1=2．‎ 则f把函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象向左平移个单位长度，所得的曲线的一部分图象如图所示，则ω、φ的值分别是（　　）‎ A．1， B．1，﹣ C．2， D．2，﹣‎ ‎【考点】由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式．‎ ‎【分析】先把函数的图象依题意向左平移，获得新的函数的解析式，然后利用图象可知函数的周期，进而利用周期公式求得ω；把x=π代入函数解析式，化简整理求得φ的值．‎ ‎【解答】解：y=sin（ωx+φ），‎ y1=sin[ω（x+）+φ]，‎ ‎∴T==×4，ω=2，‎ 当x=π时，2（π+）+φ=2kπ+π，k∈Z，φ=2kπ﹣，k∈Z，|φ|＜，‎ ‎∴φ=﹣．‎ 故选D ‎　‎ ‎11．已知函数f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能是（　　）‎ A．f（x）=﹣x3 B．f（x）=+x3 C．f（x）=﹣x3 D．f（x）=+x3‎ ‎【考点】函数的图象．‎ ‎【分析】本题是选择题，可采用排除法，根据函数的定义域可排除选项C再根据特殊值排除B，D，即可得到所求 ‎【解答】解：由图象可知，函数的定义域为x≠a，a＞0，故排除C，‎ 当x→+∞时，y→0，故排除B，当x→﹣∞时，y→+∞，故排除B，‎ 当x=1时，对于选项A．f（1）=0，对于选项D，f（1）=﹣2，故排除D．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎12．对函数f（x），在使f（x）≥M成立的所有常数M中，我们把M的最大值叫做函数f（x）的下确界．现已知定义在R上的偶函数f（x）满足f（1﹣x）=f（1+x），当x∈[0，1]时，f（x）=﹣3x2+2，则f（x）的下确界为（　　）‎ A．2 B．1 C．0 D．﹣1‎ ‎【考点】抽象函数及其应用；函数的最值及其几何意义．‎ ‎【分析】由题意可得f（x）关于x=0，x=1对称；从而作出函数f（x）的图象，从而由定义确定下确界即可．‎ ‎【解答】解：由题意知，f（x）关于x=0，x=1对称；‎ 故函数f（x）的周期为2，‎ 又∵当x∈[0，1]时，f（x）=﹣3x2+2，‎ ‎∴当x∈[﹣1，1]时，f（x）=﹣3x2+2；‎ 故作出函数f（x）在R上的部分图象如下，‎ 故易得下确界为f（1）=﹣1，‎ 故选D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．半径为的球的体积与一个长、宽分别为6、4的长方体的体积相等，则长方体的表面积为　88　．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】由题意，长、宽分别为6、4的长方体的体积与球的体积相等，求出长方体的高，再求长方体的表面积．‎ ‎【解答】解：由题意，长、宽分别为6、4的长方体的体积与球的体积相等，球的半径为．‎ 则有：‎ ‎⇔‎ 解得h=2‎ 长方体的表面积S=2×4×6+2×2×4+2×2×6=88‎ 故答案为88．‎ ‎　‎ ‎14．在△ABC中，边AB的垂直平分线交边AC于D，若C=，BC=8，BD=7，则△ABC的面积为　20，或24　．‎ ‎【考点】三角形中的几何计算．‎ ‎【分析】如图所示，△BCD中，设CD=x，由余弦定理可得：，解出x，再利用三角形面积计算公式即可得出．‎ ‎【解答】解：如图所示，‎ ‎△BCD中，设CD=x，‎ 由余弦定理可得：，‎ 化为：x2﹣8x+15=0，‎ 解得x=3，或5．‎ ‎∴AC=10，或12．‎ ‎∴S△ABC=sinC=20，或24．‎ 故答案为：20，或24．‎ ‎　‎ ‎15．6月23日15时前后，江苏盐城市阜宁、射阳等地突遭强冰雹、龙卷风双重灾害袭击，风力达12级．灾害发生后，有甲、乙、丙、丁4个轻型救援队从A，B，C，D四个不同的方向前往灾区．‎ 已知下面四种说法都是正确的．‎ ‎（1）甲轻型救援队所在方向不是C方向，也不是D方向； ‎ ‎（2）乙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向； ‎ ‎（3）丙轻型救援队所在方向不是A方向，也不是B方向； ‎ ‎（4）丁轻型救援队所在方向不是A方向，也不是D方向．‎ 此外还可确定：如果丙所在方向不是D方向，那么甲所在方向就不是A方向．有下列判断：‎ ‎①甲所在方向是B方向；②乙所在方向是D方向；③丙所在方向是D方向；④丁所在方向是C方向．‎ 其中判断正确的序号是　③　．‎ ‎【考点】进行简单的合情推理．‎ ‎【分析】由（1）可知，甲选A或B，由（2）可知，乙选C或D，由（3）可知：丙选C或D，由（4）可知，丁选C或B，由如果丙所在方向不是D方向，那么甲所在方向就不是A方向可知丙所在的方向是D方向．‎ ‎【解答】解：由（1）可知，甲选A或B，由（2）可知，乙选C或D，由（3）可知：丙选C或D，由（4）可知，丁选C或B，‎ 由丙所在方向不是D方向，那么甲所在方向就不是A方向，故丙所在的方向是D方向，‎ 故③正确，‎ 故答案为：③．‎ ‎　‎ ‎16．函数f（x）=lnx在点P（x0，f（x0））处的切线l与函数g（x）=ex的图象也相切，则满足条件的切点P的个数有　2　个．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】先求直线l为函数的图象上一点A（x0，f （x0））处的切线方程，再设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x1，），进而可得lnx0=，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵f（x）=lnx，‎ ‎∴f′（x）=，∴x=x0，f′（x0）=，‎ ‎∴切线l的方程为y﹣lnx0=（x﹣x0），‎ 即y=x+lnx0﹣1，①‎ 设直线l与曲线y=g（x）相切于点（x1，），‎ ‎∵g'（x）=ex，∴=，∴x1=﹣lnx0．‎ ‎∴直线l也为y﹣=（x+lnx0）‎ 即y=x++，②‎ 由①②得lnx0=，‎ 如图所示，方程有两解，‎ 故答案为2．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎17．已知各项都为正数的等比数列{an}满足a3是3a1与2a2的等差中项，且a1a2=a3．‎ ‎（ I）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（ II）设bn=log3an，且Sn为数列{bn}的前n项和，求数列{}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列的求和；数列递推式．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义和等差中项即可求出{an}的通项公式，‎ ‎（Ⅱ）根据对数的性质得到bn=log3an=n，再根据等差数列的前n项公式得到Sn，代入到，裂项求和即可．‎ ‎【解答】解：（I）设等比数列的公比为q，由题意知q＞0，且3a1+2a2=a3，a1a2=a3．‎ ‎∴‎ 解得a1=q=3，故an=3n，‎ ‎（Ⅱ）bn=log3an=n，‎ ‎∴Sn=，‎ ‎∴=+2=2（﹣）+2，‎ 故数列{}的前n项和为Tn=2[（1﹣）+（﹣）+…+（﹣）]+2n=2（1﹣）+2n=‎ ‎　‎ ‎18．某中学为了了解全校学生的上网情况，在全校采用随机抽样的方法抽取了40名学生（其中男女生人数恰好各占一半）进行问卷调查，并进行了统计，按男女分为两组，再将每组学生的月上网次数分为5组：[0，5），[5，10），[10，15），[15，20），[20，25]，得到如图所示的频率分布直方图：‎ ‎（ I）写出a的值；‎ ‎（ II）在抽取的40名学生中，从月上网次数不少于20次的学生中随机抽取3人，并用X表示其中男生的人数，求X的分布列和数学期望．‎ ‎【考点】离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．‎ ‎【分析】（I）由频率分布的性质能求出a．‎ ‎（ II）在抽取的女生中，月上网次数不少于20次的学生人数为人，在抽取的男生中，月上网次数不少于20次的学生人数为3人，从而得到X的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E（X）．‎ ‎【解答】解：（I）由频率分布的性质得：‎ a==0.05．…‎ ‎（ II）在抽取的女生中，‎ 月上网次数不少于20次的学生频率为0.02×5=0.1，学生人数为0.1×20=2人，‎ 同理，在抽取的男生中，月上网次数不少于20次的学生人数为（0.03×5）×20=3人．‎ 故X的可能取值为1，2，3．…‎ 则P（X=1）==，‎ P（X=2）==，‎ P（X=3）==，‎ 所以X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 1‎ ‎ 2‎ ‎ 3‎ ‎ P ‎…‎ 所以E（X）=．…‎ ‎　‎ ‎19．如图，已知等边△ABC中，E，F分别为AB，AC边的中点，N为BC边上一点，且CN=BC，将△AEF沿EF折到△A′EF的位置，使平面A′EF⊥平面EF﹣CB，M为EF中点．‎ ‎（1）求证：平面A′MN⊥平面A′BF；‎ ‎（2）求二面角E﹣A′F﹣B的余弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）如图所示，取BC的中点G，连接MG，则MG⊥EF，利用面面与线面垂直的性质与判定定理可得：MG⊥A′M，又A′M⊥EF，因此可以建立空间直角坐标系．不妨设BC=4．只要证明平面法向量的夹角为直角即可证明平面A′MN⊥平面A′BF．‎ ‎（2）利用两个平面的法向量的夹角即可得出．‎ ‎【解答】（1）证明：如图所示，取BC的中点G，连接MG，则MG⊥EF，‎ ‎∵平面A′EF⊥平面EFCB，平面A′EF∩平面EFCB=EF，‎ ‎∴MG⊥平面A′EF，∴MG⊥A′M，又A′M⊥EF，‎ 因此可以建立空间直角坐标系．不妨设BC=4．‎ M（0，0，0），A′（0，0，），N（﹣1，，0），‎ B（2，，0），F（﹣1，0，0）．‎ ‎=（0，0，），=（﹣1，，0），‎ ‎=（1，0，），=（3，，0）．‎ 设平面A′MN的法向量为=（x，y，z），‎ 则，即，‎ 取=．‎ 同理可得平面A′BF的法向量=．‎ ‎∵=3﹣3+0=0，∴，‎ ‎∴平面A′MN⊥平面A′BF．‎ ‎（2）解：由（1）可得平面A′BF的法向量=．‎ 取平面EA′F的法向量=（0，1，0）．‎ 则cos===，‎ 由图可知：二面角E﹣A′F﹣B的平面角为锐角，‎ ‎∴二面角E﹣A′F﹣B的平面角的余弦值为．‎ ‎　‎ ‎20．已知f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m，n∈[﹣1，1]，m+n≠0时，有＞0．‎ ‎（1）证明：f（x）在[﹣1，1]上是增函数；‎ ‎（2）解不等式f（x2﹣1）+f（3﹣3x）＜0．‎ ‎【考点】函数奇偶性的性质；函数单调性的性质．‎ ‎【分析】（1）任取x1、x2两数使x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，进而根据函数为奇函数推知f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2），让f（x1）+f（﹣x2）除以x1﹣x2再乘以x1﹣x2配出的形式，进而判断出f（x1）﹣f（x2）与0的关系，进而证明出函数的单调性．‎ ‎（2）将不等式进行等价转化，利用函数的单调性进行求解．‎ ‎【解答】（1）证明：任取x1、x2∈[﹣1，1]，且x1＜x2，则﹣x2∈[﹣1，1]．‎ 又f（x）是奇函数，于是f（x1）﹣f（x2）=f（x1）+f（﹣x2）‎ ‎=•（x1﹣x2）．‎ 据已知＞0，x1﹣x2＜0，‎ ‎∴f（x1）﹣f（x2）＜0，即f（x1）＜f（x2）．‎ ‎∴f（x）在[﹣1，1]上是增函数． 5分 ‎（2）解：∵f（x）是定义在[﹣1，1]上的奇函数，且在[﹣1，1]上是增函数 不等式化为f（x2﹣1）＜f（3x﹣3），‎ ‎∴，解得x∈（1，]．‎ ‎　‎ ‎21．已知函数f（x）是（﹣∞，+∞）上的奇函数，且f（x）的图象关于x=1对称，当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1，‎ ‎（1）当x∈[1，2]时，求f（x）的解析式；‎ ‎（2）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f根据函数的对称性，即可求出当x∈[1，2]时的f（x）的解析式；‎ ‎（2）（根据函数的对称性和函数的奇偶性即可得到f（x）是周期函数，根据函数的周期性先计算f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，然后可得f（0）+f（1）+f（2）+…+f∵f（x）的图象关于x=1对称，‎ ‎∴f（1+x）=f（1﹣x），即f（x）=f（2﹣x）‎ 当x∈[1，2]时，2﹣x∈[0，1]，‎ ‎∵当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1‎ ‎∴f（x）=f（2﹣x）=22﹣x﹣1，x∈[1，2]．‎ ‎（2）∵f（x）的图象关于x=1对称，‎ ‎∴f（1+x）=f（1﹣x），‎ ‎∵f（x）是R上的奇函数，‎ ‎∴f（1+x）=f（1﹣x）=﹣f（x﹣1），‎ 即f（2+x）=﹣f（x），‎ ‎∴f（x+4）=﹣f（x+2）=f（x），‎ 即f（x）是周期为4的周期函数；‎ ‎∵当x∈[0，1]时，f（x）=2x﹣1‎ ‎∴f（0）=0，f（1）=2﹣1=1，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（﹣1）=﹣f（1）=﹣1，f（4）=f（0）=0，‎ ‎∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）=0，‎ 即f（0）+f（1）+f（2）+…+f如图所示，PQ为⊙O的切线，切点为Q，割线PEF过圆心O，且QM=QN．‎ ‎（Ⅰ）求证：PF•QN=PQ•NF；‎ ‎（Ⅱ）若QP=QF=，求PF的长．‎ ‎【考点】与圆有关的比例线段．‎ ‎【分析】（I）已知条件PQ为圆O的切线，联系切线的性质、弦切角定理，利用三角形相似，可得结论；‎ ‎（II）求出∠PQF=120°，利用余弦定理求PF的长．‎ ‎【解答】（I）证明：因为PQ为圆O的切线，所以∠PFQ=∠PQE．…‎ 又因为QM=QN，所以∠QNM=∠QMN，…‎ 所以∠PNF=∠PMQ，…‎ 所以△PNF∽△PMQ，…‎ 所以，即PF•QN=PQ•NF；…‎ ‎（II）解：因为QP=QF=，所以∠PFQ=∠QPF．…‎ 又∠PFQ+∠QPF+∠PQE+∠EQF=180°，∠EQF=90°，…‎ 所以∠PFQ=∠QPF=30°，∠PQF=120°，…‎ 由余弦定理，得PF==3．…‎ ‎　‎ ‎[选修4-4：坐标系与参数方程]‎ ‎23．已知圆C在极坐标方程为ρ=4cosθ﹣2sinθ，直线l的参数方程为（t为参数）．若直线l与圆C相交于不同的两点P，Q．‎ ‎（Ⅰ）写出圆C的直角坐标方程，并求圆心的坐标与半径；‎ ‎（Ⅱ）若弦长|PQ|=4，求直线l的斜率．‎ ‎【考点】参数方程化成普通方程；坐标系的作用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，求出C的直角坐标方程，通过配方求出圆心和半径即可；‎ ‎（Ⅱ）求出直线过定点M（5，0），设出直线方程，根据|PQ|=4，求出直线方程即可．‎ ‎【解答】解：（ I）由ρ=4cosθ﹣2sinθ，‎ 得ρ2=4ρcosθ﹣2ρsinθ，‎ 将ρ2=x2+y2，ρcosθ=x，ρsinθ=y，‎ 代入可得x2+y2﹣4x+2y=0，‎ 配方，得（x﹣2）2+（y+1）2=5，‎ 所以圆心为（2，﹣1），半径为．‎ ‎（ II）由直线L的参数方程知直线过定点M（5，0），‎ 则由题意，知直线l的斜率一定存在，‎ 因此不妨设直线l的方程为l的方程为y=k（x﹣5），‎ 因为|PQ|=4，所以5﹣=4，‎ 解得k=0或k=．‎ ‎　‎ ‎[选修4-5：不等式选讲]‎ ‎24．设f（x）=|x|+|x+10|．‎ ‎（Ⅰ）求f（x）≤x+15的解集M；‎ ‎（Ⅱ）当a，b∈M时，求证：5|a+b|≤|ab+25|‎ ‎【考点】绝对值不等式的解法．‎ ‎【分析】（ I）把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．‎ ‎（Ⅱ）当a，b∈M时，等价转化不等式5|a+b|≤|ab+25|为（a2﹣25）•（25﹣b2）≤0，结合题意可得（a2﹣25）•（25﹣b2）≤0成立，从而得出结论．‎ ‎【解答】解：（ I）由f（x）=|x|+|x+10|≤x+15得：‎ ‎ ①，或②，或③．‎ 解①求得x∈∅，解②求得﹣5≤x≤0，解③求得5≥x＞0，‎ 故原不等式的解集为M={x|﹣5≤x≤5 }．‎ ‎（ II）当a，b∈M时，﹣5≤a≤5，﹣5≤b≤5，不等式 5|a+b||≤|ab+25|，‎ 等价于25（a+b）2≤（ab+25）2，即25（a2+b2+2ab）≤a2•b2+50ab+625，‎ 即25a2+25b2﹣a2•b2﹣625≤0，等价于（a2﹣25）•（25﹣b2）≤0．‎ 而由﹣5≤a≤5，﹣5≤b≤5，可得a2≤25，b2≤25，∴a2﹣25≤0，25﹣b2≥0，∴（a2﹣25）•（25﹣b2）≤成立，‎ 故要证的不等式 5|a+b|≤|ab+25|成立．‎ ‎　‎ ‎2016年12月9日