人教A版理科数学课时试题及解析（51）直线与圆锥曲线的位置关系
课时作业(五十一) [第51讲 直线与圆锥曲线的位置关系]
[时间：45分钟 分值：100分]
1． 已知椭圆C：＋＝1，直线l：y＝mx＋1，若对任意的m∈R，直线l与椭圆C恒有公共点，则实数b的取值范围是( )
A．[1,4) B．[1，＋∞)
C．[1,4)∪(4，＋∞) D．(4，＋∞)
2．直线l过点(，0)且与双曲线x2－y2＝2仅有一个公共点，这样的直线有( )
A．1条 B．2条
C．3条 D．4条
3．直线x－y＋3＝0与曲线－＝1的交点个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
4． 若直线y＝kx＋2与双曲线x2－y2＝6的右支交于不同的两点，则k的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5．设O是坐标原点，F是抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，A是抛物线上的一点，与x轴正向的夹角为60°，则||为( )
A. B.
C.p D.p
6．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线( )
A．有且仅有一条 B．有且仅有两条
C．有无穷多条 D．不存在
7． 椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，A，B是椭圆上关于x、y轴均不对称的两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(1,0)．设AB的中点为C(x0，y0)，则x0的值为( )
A. B. C. D.
8．已知直线y＝k(x＋2)(k>0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k＝( )
A. B.
C. D.
9． 已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线y＝2x－4与C交于A，B两点．则cos∠AFB＝( )
A. B.
C．－ D．－
10．若直线l：tx－y＋＝0与曲线C：x2－y2＝2有两个不同交点，则实数t的取值范围是________．
11．过点(0,2)的双曲线x2－y2＝2的切线方程是________．
12．设已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F(1,0)，直线l与抛物线C相交于A，B两点．若AB的中点为(2,2)，则直线l的方程为________．
13．已知双曲线－＝1，过其右焦点F的直线交双曲线于P，Q两点，PQ的垂直平分线交x轴于点M，则＝________.
14．(10分)已知抛物线y2＝2px(p>0)的对称轴上的定点M(m,0)(m>0)，过点M作直线AB与抛物线相交于A，B两点．
(1)试证明A，B两点的纵坐标之积为定值；
(2)若点N是定直线l：x＝－m上的任一点，证明：直线AN，MN，BN的斜率成等差数列．
15．(13分) P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为.
(1)求双曲线的离心率；
(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．
16．(12分) 已知曲线C上任意一点M到点F(0,1)的距离比它到直线l：y＝－2的距离小1.
(1)求曲线C的方程；
(2)过点P(2,2)的直线m与曲线C交于A、B两点，设＝λ，当△AOB的面积为4时(O为坐标原点)，求λ的值．
课时作业(五十一)
【基础热身】
1．C [解析] 直线恒过定点(0,1)，只要该点在椭圆内部或椭圆上即可，故只要b≥1且b≠4.
2．C [解析] 点(，0)恰是双曲线的一个顶点，过该点仅有一条直线与双曲线相切，而过该点与双曲线的渐近线平行的两条直线也与双曲线仅有一个公共点，故这样的直线有3条．
3．B [解析] 当x≥0时，方程是－＝1，当x<0时，方程是＋＝1，作图即知．
4．A [解析] 联立方程消去y后得 (1－k2)x2－4kx－10＝0，设交点坐标为(x1，y1)，(x2，y2)，则1－k2≠0，Δ＝(－4k)2＋40(1－k2)>0，x1＋x2＝>0，x1x2＝>0，解不等式组得－
b>0)上，所以＋＝1，＋＝1，两式相减得＋＝0.设直线AB的斜率为k，则得k＝－，从而线段AB的垂直平分线的斜率为，线段AB的垂直平分线的方程为y－y0＝(x－x0)．由于线段AB的垂直平分线与x轴交于点P(1,0)，所以0－y0＝(1－x0)，解得x0＝.
＝＝2.所以x0＝.
8．D [解析] 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，直线y＝k(x＋2)与抛物线y2＝8x联立，消掉y得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.
根据韦达定理x1x2＝4，(1)．
根据焦点半径公式，有|FA|＝x1＋2，|FB|＝x2＋2，由|FA|＝2|FB|，得x1＝2x2＋2，(2)，由(1)(2)解得x2＝1(负值舍去)，故点B的坐标为(1,2)，将其代入y＝k(x＋2)(k>0)得k＝.
9．D [解析] 法一：联立直线与抛物线的方程，消去y得x2－5x＋4＝0，∴x＝1或4，得A(1，－2)，B(4,4)，则|AF|＝2，|BF|＝5，|AB|＝3，由余弦定理得cos∠AFB＝－，故选D.
法二：联立方程解得x＝1或x＝4，所以交点坐标分别为A(1，－2)，B(4,4)，又F(1,0
)，∴＝(3,4)，＝(0，－2)，所以cos∠AFB＝＝＝－.
10．(－2，－1)∪(－1,1)∪(1,2) [解析] 直线与曲线方程联立，消掉y得(1－t2)x2－2tx－8＝0，直线与双曲线交于不同两点的充要条件是1－t2≠0且Δ＝(2t)2－4(1－t2)×(－8)>0，解得t2<4且t2≠1.
11．y＝±x＋2 [解析] 设切线方程为y＝kx＋2，代入双曲线方程得(1－k2)x2－4kx－6＝0，由Δ＝16k2＋24(1－k2)＝0，解得k＝±，故所求的切线方程为y＝±x＋2.
12．y＝x [解析] 由已知抛物线方程为y2＝4x.直线l的斜率不存在时，根据抛物线的对称性，点(2,2)不可能是AB的中点，故直线l的斜率存在，设直线方程斜率为k，则直线l的方程是y－2＝k(x－2)且k≠0，与抛物线方程y2＝4x联立消去x，则y2－4＝0，即y2－y＋－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝，又＝2，即＝2，解得k＝1，故所求的直线方程是y－2＝x－2，即y＝x.
13. [解析] 右焦点F的坐标是(5,0)，设直线PQ的方程是x＝my＋5，代入双曲线方程得(16m2－9)y2＋160my＋162＝0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
则y1＋y2＝－，y1y2＝，
则|PQ|＝＝.
设PQ的中点N(x0，y0)，
则y0＝－，x0＝－＋5＝－.
设M(t,0)，则＝－m，即t＝＋x0＝－，
故|MF|＝|t－5|＝＝.
所以＝＝.
14．[解答] (1)证明：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y1y2＝－2pm，下证之：
设直线AB的方程为：x＝ty＋m，与y2＝2px联立得消去x，得y2－2pty－2pm＝0，
由韦达定理得y1y2＝－2pm.
(2)证明：设点N(－m，n)，则直线AN的斜率为kAN＝，直线BN的斜率为kBN＝，
∴kAN＋kBN＝＋＝＋
＝2p
＝2p·
＝2p·＝2p·＝2p·＝－
又∵直线MN的斜率为kMN＝＝－，
∴kAN＋kBN＝2kMN，
即直线AN，MN，BN的斜率成等差数列．
15．[解答] (1)点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1，
由题意又有·＝，可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，则e＝＝.
(2)联立得4x2－10cx＋35b2＝0，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则①
设＝(x3，y3)，＝λ＋，即
又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，
有(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2，
化简得：λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2.
又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，
所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2.②
由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋5c(x1＋x2)－5c2＝10b2，
得：λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4.
【难点突破】
16．[解答] (1)∵点M到点F(0,1)的距离比它到直线l：y＝－2的距离小1，
∴点M在直线l的上方，点M到F(0,1)的距离与它到直线l′∶y＝－1的距离相等，
∴点M的轨迹C是以F为焦点，l′为准线的抛物线，
∴曲线C的方程为x2＝4y.
(2)当直线m的斜率不存在时，它与曲线C只有一个交点，不合题意，
设直线m的方程为y－2＝k(x－2)，即y＝kx＋(2－2k)，
代入x2＝4y得x2－4kx＋8(k－1)＝0(*)，
Δ＝16(k2－2k＋2)>0对k∈R恒成立，所以直线m与曲线C恒有两个不同的交点．
设交点A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则x1＋x2＝4k，x1x2＝8(k－1)．
∴|AB|＝
＝
＝4，
点O到直线m的距离d＝，
∴S△ABO＝|AB|d＝4|k－1|＝4，
∵S△ABO＝4，∴4＝4，
∴(k－1)4＋(k－1)2－2＝0，
∴(k－1)2＝1或(k－1)2＝－2(舍去)，
∴k＝0或k＝2.
当k＝0时，方程(*)的解为x＝±2.
若x1＝2，x2＝－2，
则λ＝＝3－2；
若x1＝－2，x2＝2，
则λ＝＝3＋2.
当k＝2时，方程(*)的解为4±2.
若x1＝4＋2，x2＝4－2，
则λ＝＝3＋2；
若x1＝4－2，x2＝4＋2，
则λ＝＝3－2.
所以λ＝3＋2或3－2.
