2014广东（理科数学）高考试题

2014广东（理科数学）高考试题

‎2014·广东卷(理科数学)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ ‎1．[2014·广东卷] 已知集合M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2，}，则M∪N＝(　　)‎ ‎　 　　　　　 　　　　　 　　　　‎ A．{0，1} B．{－1，0，2} ‎ C．{－1，0，1，2} D．{－1，0，1}‎ ‎1．C　[解析] 本题考查集合的运算．因为M＝{－1，0，1}，N＝{0，1，2}，所以M∪N＝{－1，0，1，2}．‎ ‎2．[2014·广东卷] 已知复数z满足(3＋4i)z＝25，则z＝(　　)‎ A．－3＋4i B．－3－4i ‎ C．3＋4i D．3－4i ‎2．D　[解析] 本题考查复数的除法运算，利用分母的共轭复数进行求解．‎ 因为(3＋4i)z＝25，‎ 所以z＝＝＝3－4i.‎ ‎3．[2014·广东卷] 若变量x，y满足约束条件且z＝2x＋y的最大值和最小值分别为m和n，则m－n＝(　　)‎ A．5 B．6 ‎ C．7 D．8‎ ‎3．B　[解析] 本题考查运用线性规划知识求目标函数的最值，注意利用数形结合思想求解．画出不等式组表示的平面区域，如图所示．‎ 当目标函数线经过点A(－1，－1)时，z取得最小值；当目标函数线经过点B(2，－1)时，z取得最大值．故m＝3，n＝－3，所以m－n＝6.‎ ‎4．[2014·广东卷] 若实数k满足00，25－k>0.‎ 对于双曲线－＝1，‎ 其焦距为2＝2；‎ 对于双曲线－＝1，‎ 其焦距为2＝2.所以焦距相等．‎ ‎5．[2014·广东卷] 已知向量a＝(1，0，－1)，则下列向量中与a成60°夹角的是(　　)‎ A．(－1，1，0) B．(1，－1，0) ‎ C．(0，－1，1) D．(－1，0，1)‎ ‎5．B　[解析] 本题考查空间直角坐标系中数量积的坐标表示．设所求向量是b，若b与a成60°夹角，则根据数量积公式，只要满足＝即可，所以B选项满足题意．‎ ‎6．[2014·广东卷] 已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图11和图12所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为(　　)‎ ‎ ‎ ‎ 　图11　　　　　　　　　　图12‎ A．200，20 B．100，20 ‎ C．200，10 D．100，10‎ ‎6．A　[解析] 本题考查统计图表的实际应用．根据图题中的图知该地区中小学生一共有10 000人，由于抽取2%的学生，所以样本容量是10 000×2%＝200.由于高中生占了50%，所以高中生近视的人数为2000×2%×50%＝20.‎ ‎7．、[2014·广东卷] 若空间中四条两两不同的直线l1，l2，l3，l4满足l1⊥l2，l2⊥l3，l3⊥l4，则下列结论一定正确的是(　　)‎ A．l1⊥l4 ‎ B．l1∥l4‎ C．l1与l4既不垂直也不平行 ‎ D．l1与l4的位置关系不确定 ‎7．D　[解析] 本题考查空间中直线的位置关系，构造正方体进行判断即可．‎ 如图所示，在正方体ABCD A1B1C1D1中，设BB1是直线l1，BC是直线l2，AB是直线l3，则DD1是直线l4，l1∥l4；设BB1是直线l1，BC是直线l2，CC1是直线l3，CD是直线l4，则l1⊥l4.故l1与l4的位置关系不确定．‎ ‎8．、[2014·广东卷] 设集合A＝{(x1，x2，x3，x4，x5)|xi∈{－1，0，1}，i＝1，2，3，4，5}，那么集合A中满足条件“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”的元素个数为(　　)‎ A．60 B．90 C．120 D．130‎ ‎8．D　[解析] 本题考查排列组合等知识，考查的是用排列组合思想去解决问题，主要根据范围利用分类讨论思想求解．由“1≤|x1|＋|x2|＋|x3|＋|x4|＋|x5|≤3”考虑x1，x2，x3，x4，‎ x5的可能取值，设集合M＝{0}，N＝{－1，1}．‎ 当x1，x2，x3，x4，x5中有2个取值为0时，另外3个从N中取，共有C×23种方法；当x1，x2，x3，x4，x5中有3个取值为0时，另外2个从N中取，共有C×22种方法；‎ 当x1，x2，x3，x4，x5中有4个取值为0时，另外1个从N中取，共有C×2种方法．‎ 故总共有C×23＋C×22＋C×2＝130种方法，‎ 即满足题意的元素个数为130.‎ ‎9．[2014·广东卷] 不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________．‎ ‎9．(－∞，－3]∪[2，＋∞)　[解析] 本题考查绝对值不等式的解法．|x－1|＋|x＋2|≥5的几何意义是数轴上的点到1与－2的距离之和大于等于5的实数，所以不等式的解为x≤－3或x≥2，即不等式的解集为(－∞，－3]∪[2，＋∞)．‎ ‎10．、[2014·广东卷] 曲线y＝e－5x＋2在点(0，3)处的切线方程为________．‎ ‎10．y＝－5x＋3　[解析] 本题考查导数的几何意义以及切线方程的求解方法．因为y′＝－5e－5x，所以切线的斜率k＝－5e0＝－5，所以切线方程是：y－3＝－5(x－0)，即y＝－5x＋3.‎ ‎11．、[2014·广东卷] 从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，则这七个数的中位数是6的概率为________．‎ ‎11.　[解析] 本题主要考查古典概型概率的计算，注意中位数的求法．从0，1，2，3，4，5，6，7，8，9中任取七个不同的数，有C种方法，若七个数的中位数是6，则只需从0，1，2，3，4，5中选三个，从7，8，9中选三个不同的数即可，有CC种方法．故这七个数的中位数是6的概率P＝＝.‎ ‎12．[2014·广东卷] 在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.已知bcos C＋ccos B＝2b，则＝________．‎ ‎12．2　[解析] 本题考查了正弦定理以及两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．利用正弦定理，将bcos C＋ccos B＝2b化简得sin Bcos C＋sin Ccos B＝2sin B，即sin(B＋C)＝2sin B．∵sin(B＋C)＝sin A，∴sin A＝2sin B，利用正弦定理化简得a＝2b，故＝2.‎ ‎13．、[2014·广东卷] 若等比数列{an}的各项均为正数，且a10a11＋a9a12＝2e5，则ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝________．‎ ‎13．50　[解析] 本题考查了等比数列以及对数的运算性质．∵{an}为等比数列，且a10a11＋a9a12＝2e5，‎ ‎∴a10a11＋a9a12＝2a10a11＝2e5，∴a10a11＝e5，‎ ‎∴ln a1＋ln a2＋…＋ln a20＝ln(a1a2…a20)＝‎ ln(a10a11)10＝ln(e5)10＝ln e50＝50.‎ ‎14．[2014·广东卷] (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1和C2交点的直角坐标为________．‎ ‎14．(1，1)　[解析] 本题主要考查将极坐标方程化为直角坐标方程的方法．将曲线C1的方程ρsin 2θ＝cos θ 化为直角坐标方程为y2＝x，将曲线C2的方程ρsin θ＝1化为直角坐标方程为y＝1.由解得 故曲线C1和C2交点的直角坐标为(1，1)．‎ ‎15．[2014·广东卷] (几何证明选讲选做题)如图13所示，在平行四边形ABCD中，点E在AB上且EB＝2AE，AC与DE交于点F，则＝________．‎ 图13‎ ‎15．9　[解析] 本题考查相似三角形的性质定理，面积比等于相似比的平方．‎ ‎∵EB＝2AE，∴AE＝AB＝CD.‎ 又∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴△AEF∽△CDF，∴＝＝9.‎ ‎16．、[2014·广东卷] 已知函数f(x)＝Asin，x∈R，且f＝.‎ ‎(1)求A的值；‎ ‎(2)若f(θ)＋f(－θ)＝，θ∈，求f.‎ ‎ 16.【解】（1）∵，，.‎ ‎ ∴,即，∴；‎ ‎ （2）由（1）知，又∵，，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴，所以，又∵，‎ ‎∴==，‎ ‎∴===.‎ ‎17．、[2014·广东卷] 随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数(单位：件)，获得数据如下：30，42，41，36，44，40，37，37，25，45，29，43，31，36，49，34，33，43，38，42，32，34，46，39，36.‎ 根据上述数据得到样本的频率分布表如下：‎ 分组 频数 频率 ‎[25，30]‎ ‎3‎ ‎0.12‎ ‎(30，35]‎ ‎5‎ ‎0.20‎ ‎(35，40]‎ ‎8‎ ‎0.32‎ ‎(40，45]‎ n1‎ f1‎ ‎(45，50]‎ n2‎ f2‎ ‎(1)确定样本频率分布表中n1，n2，f1和f2的值；‎ ‎(2)根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；‎ ‎(3)根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间(30，35]的概率．‎ ‎18．、[2014·广东卷] 如图14，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，∠DPC＝30°，AF⊥PC于点F，FE∥CD，交PD于点E.‎ ‎(1)证明：CF⊥平面ADF；‎ ‎(2)求二面角D AF E的余弦值．‎ 图14‎ ‎19．、[2014·广东卷] 设数列{an}的前n项和为Sn，满足Sn＝2nan＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3＝15.‎ ‎(1)求a1，a2，a3的值；‎ ‎(2)求数列{an}的通项公式．‎ ‎20．、[2014·广东卷] 已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的一个焦点为(，0)，离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(2)若动点P(x0，y0)为椭圆C外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．‎ ‎ ‎ ‎21．、[2014·广东卷] 设函数f(x)＝，其中k<－2.‎ ‎(1)求函数f(x)的定义域D(用区间表示)；‎ ‎(2)讨论函数f(x)在D上的单调性；‎ ‎(3)若k<－6，求D上满足条件f(x)>f(1)的x的集合(用区间表示)．‎