2018-2019学年江苏省海安高级中学高二10月月考数学试题 解析版

2018-2019学年江苏省海安高级中学高二10月月考数学试题 解析版

绝密★启用前 江苏省海安高级中学2018-2019学年高二10月月考数学试题 评卷人 得分 一、填空题 ‎1．函数的值域是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数y=lnx的单调性，判定y=1-lnx在x≥e时的单调递减，从而求出函数y的值域．‎ ‎【详解】‎ ‎∵对数函数y=lnx在定义域上是增函数，‎ ‎∴y=1-lnx在[e，+∞）上是减函数，且x≥e时，lnx≥1，‎ ‎∴1-lnx0 ∴函数y的值域是（- ，0]．‎ 故答案为：（- ，0]．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了求函数的值域问题，解题时应根据基本初等函数的单调性，判定所求函数的单调性，从而求出值域．‎ ‎2．若直线的倾斜角为钝角，则实数的取值范围是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：因为直线的倾斜角为钝角，所以 考点：直线斜率 ‎3．若变量满足条件，则的最大值为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先画出约束条件的可行域，利用目标函数z=x+y几何意义，通过平移即可求z=x+y的最大值．‎ ‎【详解】‎ 作出不等式对应的平面区域如图，由z=x+y，得y=-x+z，平移直线y=-x+z，由图象可知当 直线y=-x+z，经过点A时，直线y=-x+z的截距最大，此时z最大．‎ 由得A（1，3） Z=x+y最大值是1+3=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点睛】‎ 平面区域的最值问题是线性规划问题中一类重要题型，在解题时，关键是正确地画出平面区域，分析表达式的几何意义，然后结合数形结合的思想，分析图形，找出满足条件的点的坐标，即可求出．‎ ‎4．在直角坐标系中，已知点为椭圆上的一点，且点与椭圆的两个焦点、的距离之和为6，则椭圆的标准方程为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ P到椭圆C的两个焦点的距离之和为6，根据椭圆定义得出2a，2c，由此能求出椭圆C的方程．‎ ‎【详解】‎ P到椭圆C的两个焦点的距离之和为6，根据椭圆定义得出2a=6， a=3‎ c=1， b= 椭圆方程： ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查根据椭圆的定义求椭圆方程的方法，属于基础题.‎ ‎5．设数列{}是公差不为0的等差数列，S为数列前n项和，若，，则的值为______．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出等差数列的公差，由题意列关于首项和公差的二元一次方程组，求出首项和公差，则a7的值可求．‎ ‎【详解】‎ 设等差数列{an}的公差为d（d≠0），‎ 得 ‎ 整理可得 ，得 ‎ 所以a7=a1+6d=-3+6×2=9． 故答案为：9．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了等差数列的通项公式和前n项和公式，考查了学生的计算能力，是基础题．‎ ‎6．已知正数满足，则的最小值为 ．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】试题分析：， ‎ 的最小值是9．‎ 考点：基本不等式求最值．‎ ‎【易错点晴】本题主要考查基本不等式的应用，属中档题．利用基本不等式求最值时一定要牢牢把握住“一正、二定、三相等”这一基本原则，才能减少出错．本题最易用以下错误方法解答： （出错原因是同时成立时原式没有意义）．‎ ‎7．在△OAC中，B为AC的中点，若，则x- y =______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三角形的中线对应的向量等于两邻边对应向量和的一半，将等式变形表示出，与已知等式结合，利用平面向量的基本定理，列出方程，求出x，y，求出x﹣y．‎ ‎【详解】‎ ‎∵B为AC的中点，OB为三角形的中线 ‎ ‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴x=﹣1，y=2 故x﹣y=﹣3‎ 故答案为：﹣3．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形中中线对应的向量等于两邻边对应向量和的一半和平面向量基本定理的应用．‎ ‎8．已知光线通过点，被直线： 反射，反射光线通过点， 则反射光线所在直线的方程是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：先求出点关于直线的对称点坐标,然后再利用两点式直线方程求出反射光线所在直线的方程.‎ 试题解析：‎ ‎∵光线通过点M（﹣3，4），直线l：x﹣y+3=0的对称点（x，y），‎ ‎∴即，K（1，0），‎ ‎∵N（2，6），‎ ‎∴MK的斜率为6，‎ ‎∴反射光线所在直线的方程是 y=6x﹣6.‎ 点睛：光的反射问题与角平分线问题都可以转化为轴对称问题.‎ ‎9．函数的定义域为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，即定义域为 考点：函数定义域，解简单分式不等式 ‎10．过点C(3,4)且与轴，轴都相切的两个圆的半径分别为，则=______．‎ ‎【答案】25‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 满足与x轴，y轴都相切的圆的圆心在第一象限，设出圆心（a，a），根据切线的性质得到半径r=a，表示出圆的标准方程，由C在此圆上，将C的坐标代入圆的方程中，得到关于a的一元二次方程，根据r1，r2为此一元二次方程的两个解，利用根与系数的关系即可得出r1r2的值．‎ ‎【详解】‎ 由题意得：满足与x轴，y轴都相切的圆的圆心在第一象限，设圆心坐标为（a，a），则半径r=a，∴圆的方程为（x﹣a）2+（y﹣a）2=a2，又C（3，4）在此圆上，‎ ‎∴将C的坐标代入得：（3﹣a）2+（4﹣a）2=a2，整理得：a2﹣14a+25=0，‎ ‎∵r1，r2分别为a2﹣14a+25=0的两个解，∴r1r2=25．‎ 故答案为：25‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了圆的标准方程，涉及的知识有：切线的性质，以及韦达定理，根据题意满足与x轴，y轴都相切的圆的圆心在第一象限，进而设出相应圆的标准方程是解本题的关键．‎ ‎11．在平面直角坐标系中，点，若在圆上存在点P使得，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求出p的轨迹方程，令P的轨迹圆与圆C有公共点列不等式组解出a．‎ ‎【详解】‎ 设P（x，y），则|PA|=，|PB|=，‎ ‎∵，∴(x-1)2+y2=[（x-4）2+y]‎ 整理得：x2+y2=4，‎ P的轨迹是以O（0，0）为圆心，以2为半径的圆O，‎ 又∵P在圆C上，∴圆C与圆O有公共点，‎ ‎∴1≤|CO|≤5，即1≤ ≤5，‎ 解得a ．‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】‎ 本题利用线段之间等式关系化简为圆的轨迹方程，再利用圆与圆的位置关系求参数的范围，属于中档题．‎ ‎12．已知变量，则的最小值为 ▲ .‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】表示点两点间距离的平方；点P轨迹是直线。点Q轨迹是圆；圆心到直线的距离是；所以直线和圆的最近距离是5-2=3。‎ 故的最小值 是 ‎13．已知圆：，为坐标原点，若正方形的一边为圆的一条弦，则线段长度的最大值是 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设则，当且仅当取等号，因此长度的最大值是 考点：直线与圆位置关系 ‎14．若的三边长满足，则的取值范围为______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出x=，y=，根据b+2c≤3a，c+2a≤3b 变形得到两个不等式，分别记作①和②，然后根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边分别列出不等式，变形得到三个不等式，分别记作③④⑤，画出图形，如图所示，得到由四点组成的四边形区域，根据简单的线性规划，得到x的范围，即得到的取值范围．‎ ‎【详解】‎ 令x=，y=，由b+2c≤3a，c+2a≤3b得：‎ x+2y≤3①，3x﹣y≥2②，‎ 又﹣c＜a﹣b＜c及a+b＞c得：‎ x﹣y＜1③，x﹣y＞﹣1④，x+y＞1⑤，‎ 由①②③④⑤可作出图形，‎ 得到以点D（ ，），C（1，0），B（，），A（1，1）为顶点的四边形区域，‎ 由线性规划可得：＜x＜，0＜y＜1，‎ 则=x的取值范围为（，）．‎ ‎∴= ==-1+=-1+ 在（，）上递减.‎ ‎ x= 时，原式= ，x=时，原式= ‎ ‎ 原式 ‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 此题考查三角形三边之间的关系，利用简单的线性规划画出图形，求出的范围，同时也考查了转化思想，原式化简为函数再利用单调性求值域问题.‎ 评卷人 得分 二、解答题 ‎15．如图，在正三棱柱中，侧棱与底面垂直，，点分别为和的中点.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求证：平面．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）分别在，，中求出的长度，可得为等边三角形，，易证明，由线面垂直的判定定理可得平面，再根据面面垂直的判定定理得证；（2）容易证明是三角形的中位线,所以，根据线面平行的判定定理即可证得平面.‎ 试题解析：（1）中，，在中，‎ 在中，，，即为等边三角形 又点为的中点，，又四边形为正方形，为的中点，‎ ‎，平面，平面，平面.‎ 平面平面平面.‎ ‎（2）连接，由题意知，点分别为和的中点，‎ 又平面平面 平面.‎ 考点：空间中直线与平面平行与垂直关系的证明.‎ ‎16．已知数列的首项.‎ ‎（Ⅰ）求证：数列为等比数列；‎ ‎（Ⅱ）记，若，求的最大值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据题目所给条件，结合所证数列通项表达式，将条件进行变化整理成等比数列定义表达式，再验证首项，问题即可得证；（Ⅱ）由（Ⅰ）可根据等比数列前项和公式求出，再由数列极限求出的最大值.‎ 试题解析：（Ⅰ），‎ ‎，‎ 又，‎ 数列是首项为公比为的等比数列. ‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可求得.‎ 若，则.‎ ‎17．一般地，对于直线及直线外一点，我们有点到直线的距离公式为：”‎ ‎（1）证明上述点到直线的距离公式 ‎ ‎（2）设直线，试用上述公式求坐标原点到直线距离的最大值及取最大值时的值.‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R（x1，y0）；作y轴的平行线，交l于点S（x0，y2），分别求出. 、由三角形面积公式可知：d•=•即可得出．‎ ‎（2）利用（1）中点到直线的距离公式，将题意转化为函数的单调性求最值.‎ ‎【详解】‎ 解：(1)证明：设A≠0，B≠0，这时l与x轴、y轴都相交，过点P作x轴的平行线，交l于点R（x1，y0）；作y轴的平行线，交l于点S（x0，y2）， ‎ 由得．‎ ‎∴=|x0﹣x1|=，‎ ‎=|y0﹣y2|=， ‎ ‎=|Ax0+By0+C|‎ 由三角形面积公式可知：d•=•‎ ‎∴‎ 可证明，当A=0时仍适用．‎ ‎(2)由直线，由（1）中点到直线距离公式可得原点到直线距离为：‎ ‎，令，则，‎ ‎ 所以，‎ 当时，‎ 当时，‎ 若，则 若，‎ ‎ 综上可知：，且当，即时，可取最大值。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了利用三角形面积公式得出点到直线的距离公式的证明方法，和利用点到直线的距离公式转化为函数的单调性求最值的问题.‎ ‎18．如图所示，某街道居委会拟在EF地段的居民楼正南方向的空白地段AE上建一个活动中心，其中AE长为30米．活动中心东西走向，与居民楼平行．从东向西看活动中心的截面图的下部分是长方形ABCD，上部分是以DC为直径的半圆．为了保证居民楼住户的采光要求，活动中心在与半圆相切的太阳光线照射下落在居民楼上的影长GE不超过2.5米，其中该太阳光线与水平线的夹角θ满足tan θ＝.‎ ‎（1）若设计AB＝18米，AD＝6米，问能否保证上述采光要求？‎ ‎（2）在保证上述采光要求的前提下，如何设计AB与AD的长度，可使得活动中心的截面面积最大？ (注：计算中π取3)‎ ‎【答案】（1）能 （2）当AB＝20米且AD＝5米时，可使得活动中心的截面面积最大．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．设太阳光线所在直线方程为y=x+b，利用直线与圆相切，求出直线方程，令x=30，得EG=1.5米＜2.5米，即 可得出结论；（2）欲使活动中心内部空间尽可能大，则影长EG恰为2.5米，即可求出截面面积最大.‎ ‎【详解】‎ 解：如图，以A为坐标原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系．‎ ‎ ‎ ‎（1）因为AB＝18米，AD＝6米，‎ 所以半圆的圆心为H(9,6)，半径r＝9.‎ 设太阳光线所在直线方程为y＝－x＋b，‎ 即3x＋4y－4b＝0，则由＝9，‎ 解得b＝24或b＝ (舍)．‎ 故太阳光线所在直线方程为y＝－x＋24, ‎ 令x＝30，得EG＝1.5＜2.5.‎ 所以此时能保证上述采光要求．‎ ‎（2）设AD＝h米，AB＝2r米，‎ 则半圆的圆心为H(r，h)，半径为r.‎ 方法一　设太阳光线所在直线方程为y＝－x＋b， ‎ 即3x＋4y－4b＝0，‎ 由＝r，解得b＝h＋2r或b＝h－ (舍)．‎ 故太阳光线所在直线方程为y＝－x＋h＋2r，‎ 令x＝30，得EG＝2r＋h－，‎ 由EG≤，得h≤25－2r.‎ 所以S＝2rh＋πr2＝2rh＋×r2≤2r(25－2r)＋×r2‎ ‎＝－r2＋50r＝－(r－10)2＋250≤250.‎ 当且仅当r＝10时取等号．‎ 所以当AB＝20米且AD＝5米时，‎ 可使得活动中心的截面面积最大．‎ 方法二　欲使活动中心内部空间尽可能大，‎ 则影长EG恰为2.5米，则此时点G为(30,2.5)，‎ 设过点G的上述太阳光线为l1，‎ 则l1所在直线方程为y－＝－(x－30)， ‎ 即3x＋4y－100＝0.‎ 由直线l1与半圆H相切，得r＝.‎ 而点H(r，h)在直线l1的下方，则3r＋4h－100＜0，‎ 即r＝－，从而h＝25－2r.‎ 又S＝2rh＋πr2＝2r(25－2r)＋×r2＝－r2＋50r＝－(r－10)2＋250≤250.当且仅当r＝10时取等号．‎ 所以当AB＝20米且AD＝5米时，‎ 可使得活动中心的截面面积最大．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用数学知识直线与圆的相切位置关系解决实际问题，考查二次函数配方法的运用和分析解决实际问题的能力，属于中档题．‎ ‎19．在平面直角坐标系xOy中，直线x－y＋1＝0截以原点O为圆心的圆O所得的弦长为.‎ ‎（1）求圆O的方程，‎ ‎（2）若直线l与圆O相切于第一象限，且与坐标轴交于点D，E，当DE长最小时，求直线l的方程，‎ ‎（3）设M，P是圆O上任意两点，点M关于x轴的对称点为N，若直线MP，NP分别交x轴于点(m,0)和(n,0)，问mn是否为定值？若是，求出该定值.若不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）x2＋y2＝2.（2）x＋y－2＝0.（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出O点到直线x﹣y+1=0的距离，进而可求圆O的半径，即可得到圆O的方程；（2）设直线l的方程，利用直线l与圆O相切，及基本不等式，可求DE长最小时，直线l的方程；（3）设M（x1，y1），P（x2，y2），则N（x1，﹣y1）， ，，求出直线MP、NP分别与x轴的交点，进而可求mn的值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为O到直线x－y＋1＝0的距离为 ， ‎ 所以圆O的半径r＝＝，故圆O的方程为x2＋y2＝2.‎ ‎（2）设直线l的方程为＋＝1(a＞0，b＞0)，即bx＋ay－ab＝0， ‎ 由直线l与圆O相切，得＝，即＝，‎ 所以DE2＝a2＋b2＝2(a2＋b2)（） ‎ ‎＝2≥2‎ ‎＝8(当且仅当a＝b＝2时等号成立)，‎ 此时直线l的方程为x＋y－2＝0.‎ ‎（3）设M(x1，y1)，P(x2，y2)，‎ 则N(x1，－y1)，x＋y＝2，x＋y＝2，‎ 直线MP与x轴的交点为，即m＝ .‎ 直线NP与x轴的交点为，即n＝.‎ 所以mn＝ ＝‎ ‎＝＝＝2，‎ 故mn＝2为定值．‎ ‎【点睛】‎ 此题考查了求圆的标准方程，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：韦达定理，垂径定理，勾股定理，直线的截距式方程，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及法则是解本题的关键．‎ ‎20．已知函数，，其中.‎ ‎（1）当时，求函数的值域 ‎ ‎（2）当时，设，若给定，对于两个大于1的正数，存在满足：，使恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎（3）当时，设，若的最小值为，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）;(2) ;(3) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当a=0时，g（x）=（2x﹣2）2﹣4，即可求函数g（x）的值域；（2）按m分类讨论，利用不等式得出的范围，再利用f（x）的单调性得出大小关系. （3‎ ‎）分类讨论，利用二次函数的配方法，结合h（x）的最小值为﹣ ，求实数a的值．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）当时， ，因为，所以， ‎ 所以的值域为 ‎（2）由可得在区间上单调递增 　　‎ ‎①当时，有，‎ ‎，得，同理，　　‎ ‎∴ 由f（x）的单调性知： 、‎ 从而有，符合题设. ‎ ‎②当时，，‎ ‎，‎ 由f（x）的单调性知 ，‎ ‎∴，与题设不符 ‎ ‎③当时，同理可得，‎ 得，与题设不符. ‎ ‎∴综合①、②、③得 ‎（3）因为当时， ，‎ 令， ，则 ，‎ 当时，即， ‎ 当时， ，即，‎ 因为，所以， .‎ 若， ，此时，‎ 若，即，此时，‎ 所以实数.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查转化为二次函数的值域，考查按m的取值范围进行分类讨论和不等式比较大小的数学思想，再利用函数的单调性求含参数的最值问题，属于中档题．‎