【推荐】专题07 数列中不等式证明-2018版高人一筹之高三数学一轮复习特色专题训练（浙江版）

【推荐】专题07 数列中不等式证明-2018版高人一筹之高三数学一轮复习特色专题训练（浙江版）

七、数列中不等式证明 一、解答题 ‎1．【2018届安徽省蚌埠市第二中学高三7月月考】已知数列an满足a‎1‎‎=1‎，an+1‎‎=2an+1‎n∈‎N‎*‎.‎ ‎(1)求数列an的通项公式；‎ ‎(2)证明：a‎1‎a‎2‎‎+a‎2‎a‎3‎+…+anan+1‎<‎n‎2‎.‎ ‎【答案】（1）an‎=‎2‎n-1‎；(2)证明过程见解析 ‎（2）本问主要通过不等式的放缩来对数列求和，根据an‎=‎2‎n-1‎得akak+1‎‎=‎2‎k‎-1‎‎2‎k+1‎‎-1‎<‎2‎k‎-1‎‎2‎k+1‎‎-2‎=‎‎1‎‎2‎，所以a‎1‎a‎2‎‎+a‎2‎a‎3‎+…+anan+1‎<‎n‎2‎.‎ 试题解析：（1）∵an-1‎‎=2an+1‎n∈‎N‎*‎.‎ ‎∴an+1‎‎+1=2‎an‎+1‎，∴an‎+1‎是以a‎1‎‎+1=2‎为首项，2为公比的等比数列.‎ ‎∴an‎+1=‎‎2‎n，即an‎=‎2‎n-1‎.‎ ‎(2)证明：∵akak+1‎‎=‎2‎k‎-1‎‎2‎k+1‎‎-1‎<‎2‎k‎-1‎‎2-‎2‎k-1-1‎=‎2‎k‎-1‎‎2‎‎2‎k‎-1‎=‎‎1‎‎2‎，k=1,2,…,n，‎ ‎∴a‎1‎a‎2‎‎+a‎2‎a‎3‎+…+anan+1‎<‎n‎2‎.‎ ‎2．【2017届北京西城35中高三上期中】等差数列满足， ．‎ ‎（）求的通项公式．‎ ‎（）设等比数列满足， ，问： 与数列的第几项相等？‎ ‎（）试比较与的大小，并说明理由．‎ ‎【答案】（） （）（）‎ 试题解析：‎ ‎（）∵是等差数列，‎ ‎，‎ ‎∴解出， ，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎（）∵，‎ ‎，‎ 是等比数列，‎ ‎，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎．‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴与数列的第项相等．‎ ‎（）猜想，即，即，‎ 用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当时， ，显然成立，‎ ‎②假设当时， 成立，即成立；‎ 则当时， ‎ ‎，‎ 成立，‎ 由①②得，猜想成立．‎ ‎∴．‎ ‎3．【2018届河南省洛阳市高三期中】已知数列满足，设.‎ ‎（I）求证：数列为等比数列，并求的通项公式；‎ ‎（II）设，数列的前项和，求证： .‎ ‎【答案】（I）；（II）证明见解析.‎ 试题解析：（I）由已知易得，由 得即； ‎ ‎,‎ 又,‎ 是以为首项，以为公比的等比数列. ‎ 从而 即，整理得 即数列的通项公式为. ‎ ‎4．【2018届江西省宜春中学高三上第一次诊断】已知等差数列的公差为2，且， ， 成等比数列．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列的前项和为，求证： ．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用等差数列及等比中项的概念建立关系式，进一步求出数列的通项公式；（2）利用（1）的结论，使用乘公比错位相减法求出数列的和，进一步利用放缩法求得结.‎ 试题解析：（1）数列为等差数列，所以： ， ， ，因为， 成等比数列，所以： ，解得： ，所以： .‎ ‎（2）已知， ①②，①-②得： ，所以：‎ ‎，由于，所以： ， . ‎ ‎5．【2018届湖北省华师一附中高三9月调研】已知数列中， ，其前项的和为，且满足.‎ ‎(Ⅰ) 求证：数列是等差数列；‎ ‎(Ⅱ) 证明： ‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析.‎ 试题解析：（Ⅰ）当时， , ， ，‎ 从而构成以4为首项，2为公差的等差数列. ‎ ‎（Ⅱ）由（1）可知， .‎ ‎.‎ ‎6．【2018届贵州省贵阳市第一中学高三上月考一】已知数列‎{an}‎满足：a‎1‎‎=1‎，an‎=‎an-1‎‎2an-1‎+1‎（n≥2‎）.‎ ‎（1）求数列an的通项公式；‎ ‎（2）设数列anan+1‎的前n项和为Tn，求证：Tn‎<‎‎1‎‎2‎.‎ ‎【答案】（1）an‎=‎‎1‎‎2n-1‎（2）见解析 试题解析：（Ⅰ）解：an‎=an-1‎‎2an-1‎+1‎(n≥2)⇒‎1‎an=‎2an-1‎+1‎an-1‎=‎1‎an-1‎+2(n≥2)‎，‎ 所以‎1‎an是以2为公差的等差数列，a‎1‎‎=1⇒‎1‎a‎1‎=1‎，‎ 所以‎1‎an‎=2n-1‎，‎ 所以数列‎{an}‎的通项公式为an‎=‎‎1‎‎2n-1‎. ‎ ‎（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）得anan+1‎‎=‎1‎‎2n-1‎⋅‎1‎‎2n+1‎=‎‎1‎‎2‎‎1‎‎2n-1‎‎-‎‎1‎‎2n+1‎，‎ Tn‎=‎1‎‎2‎‎1-‎‎1‎‎2n+1‎<‎‎1‎‎2‎‎.‎ ‎7．【2018届四川省双流中学高三9月月考】已知等差数列满足， 的前项和为.‎ ‎（Ⅰ）求；‎ ‎（Ⅱ）设， 为数列的前项和，求证： .‎ ‎【答案】（1） （2）略 解：（Ⅰ）设等差数列的首项为，公差为，因为，‎ 所以有，解得，‎ 所以；‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，‎ 所以 ‎ ‎ .‎ ‎8．【2017届贵州省贵阳市第一中学、凯里市第一中学高三下月考七】已知数列的前项和满足： .‎ ‎（1）数列的通项公式；‎ ‎（2）设，且数列的前项和为，求证： .‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）根据当时， ，得到数列的递推关系式，再根据等比数列定义及通项公式求数列的通项公式；（2）将数列的通项公式代入化简得,再根据大小关系放缩为，最后利用裂项相消法求和得 ‎．‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）证明： ． ‎ 由， ‎ 所以， ‎ 所以． ‎ 因为，所以，即．‎ ‎9．【2018届吉林省长春市普通高中高三一模】已知数列‎{an}‎的前n项和Sn‎=‎2‎n+1‎+n-2‎．‎ ‎（Ⅰ）求数列‎{an}‎的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设bn‎=log‎2‎（an-1)‎，求证：‎1‎b‎1‎b‎2‎‎+‎1‎b‎2‎b‎3‎+‎1‎b‎3‎b‎4‎+⋯+‎1‎bnbn+1‎<1‎．‎ ‎【答案】(Ⅰ)an‎=‎2‎n+1‎；（Ⅱ）证明见解析.‎ ‎【解析】试题分析：(Ⅰ)利用已知条件，推出新数列是等比数列，然后求数列an的通项公式 ；（Ⅱ）化简bn‎=‎log‎2‎an‎-1‎ ‎=log‎2‎‎2‎n=n，则‎1‎bnbn+1‎‎=‎1‎n-‎‎1‎n+1‎，利用裂项相消法和，再根据放缩法即可证明结果.‎ 试题解析：(Ⅰ)由Sn‎=‎2‎n+1‎+n-2‎Sn-1‎‎=‎2‎n+(n-1)-2(n≥2)‎，则an‎=‎2‎n+1‎ ‎(n≥2)‎.‎ 当n=1‎时，a‎1‎‎=S‎1‎=3‎，综上an‎=‎2‎n+1‎. ‎ ‎（Ⅱ）由bn‎=log‎2‎(an-1)=log‎2‎‎2‎n=n.‎ ‎1‎b‎1‎b‎2‎‎+‎1‎b‎2‎b‎3‎+‎1‎b‎3‎b‎4‎+...+‎‎1‎bnbn+1‎‎ ‎=‎1‎‎1×2‎+‎1‎‎2×3‎+‎1‎‎3×4‎+...+‎‎1‎n(n+1)‎ ‎‎=(1-‎1‎‎2‎)+(‎1‎‎2‎-‎1‎‎3‎)+(‎1‎‎3‎-‎1‎‎4‎)+...+(‎1‎n-‎1‎n+1‎)‎ ‎=1-‎1‎n+1‎<1‎‎. 得证. ‎ ‎10．【2018届湖北省黄石市第三中学（稳派教育）高三检测】已知， 分别为等差数列和等比数列， ， 的前项和为.函数的导函数是，有，且是函数的零点.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若数列公差为，且点，当时所有点都在指数函数的图象上.‎ 请你求出解析式，并证明： .‎ ‎【答案】（1）,（2）见解析 试题解析：（1）由得，又，所以 ‎∴.‎ ‎∵的零点为，而是的零点，又是等比数列的首项，所以， ，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，‎ 令的公比为，则.‎ 又都在指数函数的图象上，即，即当时恒成立，‎ 解得.所以.‎ ‎∵，‎ 因为，所以当时， 有最小值为，所以.‎ ‎11．【2017届河南省郑州一中下期百校联盟高考复习】已知数列‎{an}‎满足f(x)‎，则an+2‎‎=an+2‎，且a‎2‎，a‎1‎，a‎3‎，a‎7‎成等比数列.‎ ‎（Ⅰ）设bn‎=an+‎an+1‎，求数列‎{bn}‎的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）设cn‎=‎bn+2‎‎2‎nbnbn+1‎，求证：c‎1‎‎+c‎2‎+‎…‎+cn<‎‎1‎‎3‎.‎ ‎【答案】（Ⅰ）bn ‎=2n+1‎.（Ⅱ）见解析.‎ 试卷解析：‎ ‎（Ⅰ）由an+2‎‎=an+2‎及a‎2‎，a‎1‎，a‎3‎，a‎7‎成等比数列得‎{‎a‎2‎‎⋅a‎3‎=‎a‎1‎‎2‎a‎1‎‎⋅a‎7‎=‎a‎3‎‎2‎，‎ 即‎{‎a‎2‎‎(a‎1‎+2)=‎a‎1‎‎2‎a‎1‎‎(a‎1‎+6)=‎‎(a‎1‎+2)‎‎2‎，解得a‎1‎‎=2‎，a‎2‎‎=1‎，‎ 又bn‎=an+‎an+1‎，所以b‎1‎‎=a‎1‎+a‎2‎=3‎，‎ bn+1‎‎-bn=‎‎ ‎(an+2‎+an+1‎)-(an+1‎+an)‎ ‎=an+2‎-an=2‎，‎ 所以数列‎{bn}‎是首项为3，公差为2的等差数列，‎ 所以bn‎=3+2(n-1)‎ ‎=2n+1‎.‎ ‎（Ⅱ）因为cn‎=bn+2‎‎2‎nbnbn+1‎=‎ ‎2n+5‎‎(2n+1)(2n+3)‎‎2‎n ‎‎=‎‎2(2n+3)-(2n+1)‎‎(2n+1)(2n+3)‎‎2‎n ‎=‎1‎‎(2n+1)‎‎2‎n-1‎-‎‎1‎‎(2n+3)‎‎2‎n‎.‎ 所以c‎1‎‎+c‎2‎+⋯+cn=‎ ‎1‎‎3×1‎‎-‎1‎‎5×2‎+‎1‎‎5×2‎-‎1‎‎7×‎‎2‎‎2‎+⋯‎ ‎‎+‎1‎‎(2n+1)‎‎2‎n-1‎-‎‎1‎‎(2n+3)‎‎2‎n ‎=‎1‎‎3‎-‎1‎‎(2n+3)‎‎2‎n<‎‎1‎‎3‎‎.‎ ‎12．【2017届浙江省绍兴市柯桥区高三第二次联考】已知正项数列满足： ， .为数列的前项和.‎ ‎（Ⅰ）求证：对任意正整数，有；‎ ‎（Ⅱ）设数列的前项和为，求证：对任意，总存在正整数，使得时， .‎ ‎【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ)证明见解析.‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）证法一：因为，‎ ‎∴时， ，‎ ‎∴ ，即，‎ 当时， ，综上， .‎ 证法二：考虑到数列的前项和为，猜想，‎ 当时，结论显然成立.假设时， 成立，‎ 则当时，由，得 ‎ ‎ ‎，结论成立.‎ 综上：对任意，有，‎ 以下同解法一.‎ 从而 ，‎ 当时， ， ，‎ 所以 ，‎ 令 设为不小于的最小整数，取 (即)，‎ 当时， .‎ ‎13．【2016高考浙江理数】设数列满足，．‎ ‎（I）证明：，；‎ ‎（II）若，，证明：，．‎ ‎【答案】（I）证明见解析；（II）证明见解析．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：（I）由得，故 ‎，，‎ 所以 ‎，‎ 因此 ‎．‎ ‎（II）任取，由（I）知，对于任意，‎ ‎，‎ 故 ‎．‎ 从而对于任意，均有 ‎．‎ 由的任意性得． ①‎ 否则，存在，有，取正整数且，则 ‎，‎ 与①式矛盾．‎ 综上，对于任意，均有．‎ ‎14．【2017届北京市东城区东直门中学高三上期中】在数列an中，a‎1‎‎=0‎，an+1‎‎=an‎2‎+m，其中m∈R，n∈‎N‎*‎．‎ ‎（‎1‎）当m=1‎时，求a‎2‎，a‎3‎，a‎4‎的值．‎ ‎（‎2‎）是否存在实物m，使a‎2‎，a‎3‎，a‎4‎构成公差不为‎0‎的等差数列？证明你的结论．‎ ‎（‎3‎）当m>‎‎1‎‎4‎时，证明：存在k∈‎N‎*‎，使得ak‎>2016‎．‎ ‎【答案】（‎1‎）a‎2‎‎=1‎，a‎3‎‎=2‎，a‎4‎‎=5‎．（‎2‎）存在m=-1±‎‎2‎，使a‎2‎，a‎3‎，a‎4‎构成公差不为‎0‎的等差数列．（‎3‎）证明见解析.‎ ‎（‎2‎）∵a‎2‎，a‎3‎，a‎4‎成等差数列，∴a‎3‎‎-a‎2‎=a‎4‎-‎a‎3‎，‎ 即a‎2‎‎2‎‎+m-a‎2‎=a‎3‎‎2‎+m-‎a‎3‎，∴‎(a‎3‎‎2‎-a‎2‎‎2‎)-(a‎3‎-a‎2‎)=0‎，‎ ‎∴a‎3‎‎-a‎2‎≠0‎，∴a‎3‎‎+a‎2‎-1=0‎．‎ 将a‎2‎‎=m，a‎3‎‎=m‎2‎+m，代入上式，解得m=-1±‎‎2‎．‎ 经检验，此时a‎2‎，a‎3‎，a‎4‎的公差不为‎0‎．‎ ‎∴存在m=-1±‎‎2‎，使a‎2‎，a‎3‎，a‎4‎构成公差不为‎0‎的等差数列．‎ ‎（‎3‎）∵an+1‎‎-an=a‎2‎n+m-an=an‎-‎‎1‎‎2‎‎2‎+m-‎‎1‎‎4‎≥m-‎‎1‎‎4‎，‎ 又m>‎‎1‎‎4‎，∴令d=m-‎1‎‎4‎>0‎．‎ ‎∵an‎-an-1‎≥d，an-1‎‎-an-2‎≥d，‎⋯‎，a‎2‎‎-a‎1‎≥d，‎ ‎∴an‎-a‎1‎≥(n-1)d，即an‎≥(n-1)d．‎ 取正整数k>‎2016‎d+1‎，则：‎ ak‎≥(k-1)d>d⋅‎2016‎d=2016‎‎．‎ 故当m>‎‎1‎‎4‎时，存在k∈N*‎,使得ak‎>2016‎．‎ ‎15．【2018届江苏省启东中学高三上10月月考】设数列的前项和为，且满足， 为常数．‎ ‎（1）是否存在数列，使得？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由．‎ ‎（2）当时，求证： ．‎ ‎（3）当时，求证：当时， ．‎ ‎【答案】（1）不存在，理由见解析 （2）证明见解析 （3）证明见解析 ‎【解析】试题分析：‎ 试题解析：‎ ‎（1）若，则，即，即，‎ 则，所以不存在数列使得． ‎ ‎（2）由得，‎ 当时， ，两式相减得，‎ 即， ， ， ，‎ 当时， ，即，综上， ．‎ ‎（3）证1：由得，‎ 当时， ，两式相减得，‎ 另一方面， ，故．‎ 证2：由得， ，‎ 所以当时， ，‎ 下同证1.‎ ‎16．【2018届浙江省嘉兴市第一中学高三9月测试】已知数列xn满足x‎1‎‎=1‎，xn+1‎‎=2xn+3‎，求证：‎ ‎（I）‎0‎xn‎3‎.‎ 从而xn+1‎‎=2xn+3>‎3‎‎2‎xn+3‎. 即‎9-xn+1‎<‎‎2‎‎3‎‎9-‎xn，所以‎9-xn≤‎‎2‎‎3‎n-1‎‎9-‎x‎1‎ 又x‎1‎‎=1‎，故xn‎≥9-8⋅‎‎2‎‎3‎n-1‎.‎ 试题解析：‎ ‎（I）（数学归纳法）‎ ‎ 当n=1‎时，因为x‎1‎‎=1‎，所以‎00‎，‎ 且xk+1‎‎-9=2xk-6=2xk‎-3‎<0‎得xk+1‎‎<9‎ 所以‎0‎xn‎3‎.‎ 从而xn+1‎‎=2xn+3>‎3‎‎2‎xn+3‎.‎ 所以xn+1‎‎-9>‎‎2‎‎3‎xn‎-9‎，即‎9-xn+1‎<‎‎2‎‎3‎‎9-‎xn.‎ 所以‎9-xn≤‎‎2‎‎3‎n-1‎‎9-‎x‎1‎.‎ 又x‎1‎‎=1‎，故xn‎≥9-8⋅‎‎2‎‎3‎n-1‎.‎ ‎17．【2018届浙江省温州市高三9月测试】已知数列an中，a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎，an+1‎‎=‎‎1+‎anan+1‎‎2‎（n∈N*‎）．　‎ ‎（1）求证：‎1‎‎2‎‎≤an<1‎；‎ ‎（2）求证：‎1‎an‎-1‎是等差数列；‎ ‎（3）设bn‎=‎n‎(1+a‎1‎)(1+a‎2‎)…(1+an)‎，记数列bn的前n项和为Sn，求证：Sn‎<‎‎94‎‎15‎ ．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.‎ 试题解析：（1）证明：当n=1‎时，a‎1‎‎=‎‎1‎‎2‎，满足‎1‎‎2‎‎≤an<1‎，‎ 假设当n=k（k≥1‎）时，‎1‎‎2‎‎≤an<1‎，则当n=k+1‎时，ak+1‎‎=‎‎1‎‎2-‎ak ‎∈[‎2‎‎3‎,1)‎，‎ 即n=k+1‎时，满足‎1‎‎2‎‎≤an<1‎；‎ 所以，当n∈N*‎时，都有‎1‎‎2‎‎≤an<1‎．‎ ‎（2）由an+1‎‎=‎‎1+‎anan+1‎‎2‎，得an+1‎‎=‎‎1‎‎2-‎an，‎ 所以an+1‎‎-1=‎1‎‎2-‎an-1=‎‎-1+‎an‎2-‎an，‎ 即‎1‎an+1‎‎-1‎‎=‎1‎an‎-1‎-1‎，‎ 即‎1‎an+1‎‎-1‎‎-‎1‎an‎-1‎=-1‎，‎ 所以，数列‎1‎an‎-1‎是等差数列．‎ ‎（3）由（2）知，‎1‎an‎-1‎‎=-2+(n-1)(-1)=-n-1‎，‎ ‎∴an‎=‎nn+1‎，‎ 因此bn+1‎bn‎=n+1‎‎(1+an+1‎)n=‎n‎2‎‎+3n+2‎‎2n‎2‎+3n，‎ 当n≥2‎时，‎12n‎2‎+18n-(7n‎2‎+21n+14)=(5n+7)(n-2)≥0‎，‎ 即n≥2‎时，bn+1‎bn‎=n‎2‎‎+3n+2‎‎2n‎2‎+3n≤‎‎6‎‎7‎，‎ 所以n≥2‎时，bn‎≤‎6‎‎7‎bn-1‎≤‎(‎6‎‎7‎)‎‎2‎bn-2‎≤…≤‎‎(‎6‎‎7‎)‎n-2‎b‎2‎，‎ 显然bn‎>0‎，只需证明n≥3‎，Sn‎<‎‎94‎‎15‎即可．‎ 当n≥3‎时，Sn‎=b‎1‎+b‎2‎+b‎3‎++bn≤‎2‎‎3‎+b‎2‎+‎6‎‎7‎b‎2‎+‎(‎6‎‎7‎)‎‎2‎b‎2‎+…+‎‎(‎6‎‎7‎)‎n-2‎b‎2‎ ‎=‎2‎‎3‎+‎‎4‎‎5‎‎(1-‎(‎6‎‎7‎)‎n-1‎)‎‎1-‎‎6‎‎7‎ ‎=‎2‎‎3‎+‎28‎‎5‎(1-‎(‎6‎‎7‎)‎n-1‎)‎ ‎<‎2‎‎3‎+‎28‎‎5‎=‎‎94‎‎15‎．‎ ‎18．【2017浙江省镇海市镇海中学高中数学竞赛模拟二】已知函数的图象恒过定点，且点又在函数的图象上．‎ ‎（Ⅰ）求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）当方程有两个不等实根时，求的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）设， ， ，求证， ， ．‎ ‎【答案】(1) ；(2) 的取值范围为；（3）见解析．‎ 又因为点在上，则 即 ，∴ ‎ ‎（Ⅱ） 即，∴‎ 由图像可知： ，故的取值范围为．‎ ‎（Ⅲ）， ‎ ‎∴ ， ．‎ ‎19．【2017届浙江省ZDB联盟高三一模】已知数列满足， ，数列的前项和为，证明：当时，‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析 法求和得结论 试题解析：证明：（1）由于，则.‎ 若，则，与矛盾，从而，‎ ‎，‎ 又， 与同号，‎ 又，则，即.‎ 从而 当时， ，从而.‎ ‎（3），‎ 叠加： .‎ ‎20．【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】在数列中， ， .‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，数列的前项的和为，试求数列的最小值；‎ ‎（3）求证：当时， .‎ ‎【答案】（1）（2）（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）构造新数列，‎ 则由已知化简可得新数列为首项为2，公比为2的等比数列，即得（2）， ，利用相邻两项的差得数列为单调递增数列，所以最小值为第一项（3）利用（2）中数列分解．‎ 试题解析：解：（1）由条件得，又，所以，因此数列构成首项为2，公比为2的等比数列，从而，因此， ．‎ ‎（3）当时， ‎ ‎，由（2）知，又， ，‎ 所以．‎ ‎21．【2017年浙江卷】已知数列满足： ‎ 证明：当时 ‎（I）;‎ ‎（II）；‎ ‎(III) ‎ ‎【答案】（I）见解析；（II）见解析；（Ⅲ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）用数学归纳法可证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得， 构造函数，利用函数的单调性可证； （Ⅲ）由及，递推可得 试题解析：（Ⅰ）用数学归纳法证明： ．‎ 当n=1时，x1=1>0．‎ 假设n=k时，xk>0，‎ 那么n=k+1时，若，则，矛盾，故． ‎ 因此．‎ 所以，‎ 因此．‎ ‎（Ⅲ）因为，‎ 所以，‎ 由，得，‎ 所以，‎ 故．‎ 综上， ．‎ ‎22．【2017年北京卷】设和是两个等差数列，记 ，‎ 其中表示这个数中最大的数．‎ ‎（Ⅰ）若， ，求的值，并证明是等差数列；‎ ‎（Ⅱ）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时， ；或者存在正整 数，使得是等差数列．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 试题解析：（Ⅰ） ‎ ‎，‎ ‎.‎ 当时， ，‎ 所以关于单调递减.‎ 所以.‎ 所以对任意，于是，‎ 所以是等差数列.‎ ‎（Ⅱ）设数列和的公差分别为，则 ‎.‎ 所以 ‎ ‎①当时，取正整数，则当时， ，因此.‎ 此时， 是等差数列.‎ ‎③当时，‎ 当时，有.‎ 所以 ‎ ‎ 对任意正数，取正整数，‎ 故当时， .‎