新疆塔城地区沙湾一中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

新疆塔城地区沙湾一中2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题

沙湾一中2019-2020学年高一年级期末考试卷 数 学 一、单选题 ‎1.已知集合， ，则等于（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出集合补集，然后再与集合求交集.‎ ‎【详解】由，则 又因为，‎ 所以 故选：A ‎【点睛】本题集合的补集和交集，属于基础题.‎ ‎2.如果sinα＜0，tanα＞0，那么角的终边在（　　）‎ A. 第一或第三象限 B. 第二或第四象限 C. 第一或第二象限 D. 第三或第四象限 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由sinα＜0，tanα＞0那得出角的终边所在象限，然后再得出的终边所在象限.‎ ‎【详解】由sinα＜0，则角的终边在第三、四象限或轴的非正半轴上，‎ 由tanα＞0，则角的终边在第一、三象限，‎ 所以角的终边在第三象限,‎ ‎ 即,‎ 所以 当为偶数时，的终边落在第二象限，‎ 当为奇数时，的终边落在第四象限，‎ 所以的终边落在第二或第四象限.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了三角函数值的符号,考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎3.使得函数有零点的一个区间是（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由题意可得函数的定义域，令，因为，由函数零点的判定定理可知，函数在上有零点．‎ 考点：函数零点的判定定理 ‎4.在△ABC中，，若，则 则 值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 直接利用向量的加减法把向量用,表示出来，对照条件即可得到答案.‎ ‎【详解】如图，由 ‎ 根据，所以 故选：B ‎【点睛】本题考查向量的加减法运算，属于基础题.‎ ‎5.已知向量，，，则（ ）‎ A. A、B、C三点共线 B. A、B、D三点共线 C. A、C、D三点共线 D. B、C、D三点共线 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求出，得；根据平面向量的共线定理即可判断.‎ ‎【详解】，‎ 即，‎ ‎∴A、B、D三点共线．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的共线定理，判断点共线需先判断向量共线，属于基础题.‎ ‎6.已知奇函数在上是增函数.若，，，则的大小关系为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数在上是增函数，由，先比较，，的大小，即可得出的大小.‎ ‎【详解】由是上的奇函数，则 又，‎ 而，‎ 所以 又在上是增函数，所以 所以即 故选：A ‎【点睛】本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题，是基础题．‎ ‎7.已知向量与的夹角为，则 在 方向上的投影为（ ）‎ A. B. C. 7 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意，可先由投影的定义得向量在 方向上的投影为 , 然后将题设条件与的夹角为代入计算出答案，即可选出正确选项 ‎【详解】由投影的定义得向量在 方向上的投影为,‎ 因为与的夹角为.‎ 由= ‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查向量投影的定义，熟练记准投影的定义是解决问题的关键，属基础题．‎ ‎8.已知奇函数满足，当时， ，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∵，且为奇函数 ‎∴‎ 故选B ‎9.化简 值为（ ）‎ A. －3 B. －‎4 ‎C. 2 D. －2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将原函数式中的“切”化“弦”后，通分整理，用辅助角公式整理即可；‎ ‎【详解】 ‎ ‎ ‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考察了同角三角函数基本关系的运用，两角和与差的三角函数公式，属于中档题．‎ ‎10.函数 在区间上是增函数，则实数取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为原函数为复合函数，令，且，因为函数是二次函数，所以用二次函数的图象与性质来判断其单调性，再由复合函数“同增异减”求得结果.‎ ‎【详解】令,‎ 又因为在上为增函数,‎ 由函数 在区间上是增函数 则在区间上是增函数 且在上恒成立.‎ 即 ，解得 ‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查复合函数的单调性，结论是同增异减，解题时一定要注意定义域．属于中档题.‎ ‎11.要得到函数的图象，只需将的图象（ ）‎ A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 使用诱导公式将函数化为 的形式，根据函数图象平移规律得出答案．‎ ‎【详解】由 将的图象向右平移个单位长度，得 ‎,‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了三角函数的恒等变换，函数图象变换，属于中档题.‎ ‎12.将函数的图象向左平移1个单位，再向下平移1个单位得到函数，则函数的图象与函数图象所有交点的横坐标之和等于（ ）‎ A. 12 B. ‎4 ‎C. 6 D. 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意和图象平移法则得到函数解析式，求出函数的周期、对称中心，在同一个坐标系中画出两个函数的图象，由图象判断出交点的个数，根据对称性求出答案．‎ ‎【详解】函数的图象向左平移1个单位得 再向下平移1个单位得，即 ‎∴函数的图象关于点对称， 且函数的周期是2，且点也是其对称点，‎ 由，，， 在同一个坐标系中，画出两个函数的图象，如图：‎ 由图象可知，两个函数在[-4，6]上共有12个交点， 两函数图像都关于点对称，则其交点也相应关于点对称， 设其中对称的两个点的横坐标分别为， 则， 所以12个交点的横坐标之和为6×2=12． 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数交点个数以及数值的计算，函数图象的性质，利用数形结合是解决此类问题的关键，属于难题.‎ 二、填空题 ‎13.设，函数,则值等于__________.‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出，然后再求函数值即可.‎ ‎【详解】因为 所以 ‎,‎ 又因为，则，‎ 所以 故答案为：9‎ ‎【点睛】本题考查三角函数中的诱公式，和求函数值以及对数的运算，属于基础题.‎ ‎14.已知点O为△ABC内一点，+2+3=，则 =_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，作出图形，利用向量的关系，可求出△与△的面积关系，即可得到答案.‎ ‎【详解】由+2+3=，有+ -2‎ 如图设分别为的中点，‎ 则在中，+, ‎ 在中，,‎ 由+ -2有,‎ 所以三点共线且,‎ 又分别为的中点，则为三角形的中位线.‎ 所以点到直线的距离是点到直线的距离, ‎ 又点到直线的距离是点到直线的距离,‎ 所以所以点到直线的距离是点到直线的距离, ‎ 即在边上的高是在边上的高的.‎ 则 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了平面向量的应用问题，根据向量的知识得出小三角形与原三角形面积之间的关系，是中档题．‎ ‎15.如右图，在矩形中， ， ，点为的中点，点在直线上，若，则= ______ .‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以分别为轴建立平面直角坐标系，用向量的坐标来求解.‎ ‎【详解】在矩形中，以分别为轴建立平面直角坐标系.如图 由 ，，则 点为的中点，则,‎ 点在直线上，设，‎ 则,，‎ 由，即，即，‎ ‎，‎ 故答案为：6‎ ‎【点睛】本题考查向量的数量积，根据题意建立适当的坐标系解决问题,属于中档题.‎ ‎16.下面六个命题中，其中正确的命题序号为______________.‎ ‎①函数的最小正周期为； ‎ ‎②函数的图象关于点对称； ‎ ‎③函数的图象关于直线对称；‎ ‎④函数，的单调递减区间为；‎ ‎⑤将函数向右平移（）个单位所得图象关于轴对称，则的最小正值为；‎ ‎⑥关于的方程的两个实根中，一个根比1大，一个根比-1小，则的取值范围为.‎ ‎【答案】②④⑤⑥‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三角函数的图像性质和二次方程根的分布情况对选项进行逐一的分析，可得出其中正确的选项.‎ ‎【详解】①.函数的最小正周期为，所以①不正确.‎ ‎②.函数的图象对称中心满足,即，当时，，所以②正确.‎ ‎③.函数的图象对称轴方程满足，即其对称轴方程为，则不是函数的对称轴，故③不正确.‎ ‎④.函数的单调递减区间满足，即减区间为,则在的单调递减区间为；故④正确.‎ ‎⑤.将函数向右平移（）个单位得，由为偶函数，则,则，所以的最小正值为，所以⑤正确.‎ ‎⑥.方程的两个实根中，一个根比1大，一个根比-1小,则 ，即，所以⑥正确.‎ 故答案为：②④⑤⑥‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的单调性、周期性、对称性等图像性质和二次方程根的分布，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.已知，，其中、分别轴、轴正方向同向单位向量. ‎ ‎（1）若⊥，求的值； ‎ ‎（2）若，求的值；‎ ‎（3）若与的夹角为锐角，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）=1；（2）=1；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意利用两个向量垂直有，求出的值． （2）先求出的坐标，再根据模长，求出的值. （3）由题意可得，且与不同向，由此求得的范围.‎ ‎【详解】由条件，，其中、分别是轴、轴正方向同向单位向量.‎ 即 ‎ ‎(1) 若⊥,即，则 则.‎ ‎(2) ,‎ 由，‎ 解得：.‎ ‎(3) 与的夹角为锐角,则，且与不同向，‎ ‎，解得： ,‎ 由，则当时，与同向.‎ 综上，当时，与的夹角为锐角.‎ ‎【点睛】本题主要考查两个向量坐标形式的运算，两个向量垂直的条件，根据向量的模求参数，两个向量的夹角为锐角的条件，属于中档题．‎ ‎18.已知，，∥ 求下列各式的值.‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)根据平面向量的共线定理，列出方程求出的值；将所求关系式的前两项分母化为1，利用平方关系，再“弦”化“切”即可． (2)进一步利用三角函数关系式的恒等变换和诱导公式的应用求出结果．‎ ‎【详解】由题易得： ‎ ‎（1）原式 ‎（2）原式 ‎ ‎【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换，平面向量共线的充要条件的应用，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．‎ ‎19.已知函数 ‎（1）用“五点法”作出在长度为一个周期的闭区间上的简图；‎ ‎（2）写出的对称中心与单调递增区间，并求振幅、周期、频率、相位及初相；‎ ‎（3）求的最大值以及取得最大值时x的集合.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3），‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据正弦函数五点法作图的方法，即可得到图象． （2）根据正弦函数的对称性以及单调性，由的中的基本概念即可得到结论． （3）根据三角函数函数的性质，即可得到答案．‎ ‎【详解】(1) 根据五点法作图法列表得:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎ ‎ ‎1‎ 描点，连线如图：‎ ‎(2) 函数 则函数的对称中心满足：，‎ 即,‎ 所以函数的对称中心为 ‎ 函数的单调递增区间满足：‎ 即 所以函数的单调递增区间为：‎ ‎，‎ 则函数振幅为2、周期、频率 、相位为，初相为；‎ ‎(3)当，‎ 即时函数有最大值3,‎ 所以的最大值为3，此时 的取值集合为：‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图象的作法，考查了正弦函数的对称性，单调性，利用五点法是解决三角函数图象的基本方法．属于基础题.‎ ‎20.已知函数部分图象如图所示.‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）将函数的图象做怎样的变换可以得到函数的图象；‎ ‎（3）若方程在上有两个不相等的实数根，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析；（3）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据图象得到振幅和周期可得到的值，然后将点代入得到的值. （2）由函数的图象变换规律，可得结论． （3）作出函数在的图象，数形结合可得，考查函数的图像与直线在内有2个交点，即可求出m的取值范围得到表达式．‎ ‎【详解】(1)由图像有,，‎ ‎(解得,‎ 又，即 所以,即 ‎ 又，则.‎ 所以 ‎ ‎（2）将函数的图象向左平移个单位得到函数的图像.‎ 再将函数的图像上的每一个点保持众坐标不变，横坐标变为原来的得到函数的图像.‎ 然后将函数的图像上的每一个点保持横坐标不变，众坐标变为原来的倍得到函数的图像.最后再将的图像向上平移1个单位得到函数的图像.‎ ‎(3)函数单调递增区间满足： ‎ 即，‎ 同理可得的减区间为 所以在上单调递减，在上单调递增.‎ 且，，,‎ 函数在的图像如图,‎ 方程在上有两个不相等的实数根,‎ 即函数的图像与直线在内有2个交点.‎ 根据图像得.‎ ‎【点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质及其运用，本题考查函数与方程的综合运用，由的部分图象确定其解析式，考查了数形结合思想和计算能力，属于中档题．‎ ‎21.已知函数 ‎ 若的最小值为 - 3，求m的值；‎ 当时，若对任意 都有恒成立，求实数a的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将函数化为，设，将函数转化为二次函数，利用二次函数在给定的闭区间上的最值问题的解法求解. (2) 对任意 都有恒成立, 等价于,然后求出函数的最值即可解决.‎ ‎【详解】（1），‎ 令 ， 设，‎ ‎①，则，‎ ‎②，则， ‎ ‎③，则，.（舍）‎ 综上所述：.‎ ‎（2）对任意都有恒成立，‎ 等价于，‎ ‎ ，，‎ ‎，‎ ‎ ， ，‎ 综上所述：.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数中的二次“型”的最值问题，和双参恒成立问题，属于中档题.‎ ‎22.已知对数函数 . ‎ ‎（1）若函数，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）对于（1）中的函数，若，不等式的解集非空，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）讨论见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出的值，根据根据复合函数的单调性即可求出的单调区间. （2）时，不等式的解集非空，转化为即可.‎ ‎【详解】（1）由题中可知：，‎ 解得：a=2或a=0，( 舍)，‎ 所以函数的解析式：，‎ ‎∵ ，‎ ‎∴，∴，∴，‎ 即的定义域为，‎ 由于，‎ 令 ，则由对称轴可知，‎ 在单调递增，在单调递减； ‎ 又因为在单调递增，‎ 故单调递增区间，单调递减区间为. ‎ ‎(2)不等式的解集非空，‎ 所以，‎ 由（1）知，当时，函数单调递增区间，单调递减区间为，，，所以，‎ 所以，，‎ 所以实数的取值范围.‎ ‎【点睛】本题考查了对数的函数的图象和性质和以及复合函数的单调性和函数恒成立的问题，属于中档题．‎