2017-2018学年辽宁省本溪满族自治县高级中学高二下学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

2017-2018学年辽宁省本溪满族自治县高级中学高二下学期第二次月考数学（理）试题（解析版）

‎2017-2018学年辽宁省本溪满族自治县高级中学高二下学期第二次月考数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知空间向量，，则等于（ ）‎ A． B． 2 C． D． 1‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ,选A ‎2．函数从1到的平均变化率为，则实数的值为（ ）‎ A． 10 B． 9 C． 8 D． 7‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：从1到的平均变化率为，解方程即可.‎ 详解：从1到的平均变化率为，解得实数的值为9.‎ 故答案为：B.‎ 点睛：这个题目考查了平均变化率的定义，根据定义写出表达式即可得到结果.‎ ‎3．已知点和向量，，且与方向相反，则点坐标为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：设出点坐标，由题可知，得到，列出方程组求解即可.‎ 详解：解：设，‎ ‎，‎ ‎，且与方向相反，‎ ‎ ，‎ ‎， 解得 ‎ ‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查空间向量的坐标运算和空间点坐标的求法，考查学生计算能力.‎ ‎4．已知函数，则等于（ ）‎ A． B． C． D． 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先对函数求导，再将代入即可.‎ 详解：函数 ‎，‎ 将代入，得 故选D.‎ 点睛：本题考查复合函数的导数，解题的关键是准确掌握导数计算的公式.‎ ‎5．曲线与直线所围成图形的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由得 因此曲线与直线所围成图形的面积为，‎ 选D.‎ 点睛：1.求曲边图形面积的方法与步骤 ‎(1)画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；‎ ‎(2)对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；‎ ‎(3)确定被积函数；‎ ‎(4)求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和．‎ ‎2．利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．‎ ‎6．设，分别是平面，的法向量，下列命题是真命题的是（ ）‎ A． 若，，则 B． 若，，则 C． 若，，则 D． 若，，则 ‎【答案】B ‎【解析】分析：将平面，的法向量，分别代入，若满足，则，若满足，则.‎ 选项A，，A错误.‎ 选项B，，B正确.‎ 选项C，，C错误.‎ 选项D，，D错误.‎ 故选B.‎ 点睛：本题考查了两平面的位置关系与法向量之间的关系，同时也考查两个平面位置关系判断的向量法，.‎ ‎7．在长方体中，，，，是中点，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：利用空间向量的三角形法则，得，再根据共线向量性质，即可得到所求.‎ 详解：长方体中，，，，是中点 ‎ ，，‎ 又 故选A.‎ 点睛：本题考查了空间向量线性运算的几何法，考查了推理能力与计算能力.‎ ‎8．已知空间三点，，，四边形是平行四边形，则（ ）‎ A． B． C． D． 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由点的坐标求得向量，，再利用平行四边形法则求得，即可求出. ‎ 详解：解：点，，， ‎ ‎ ，‎ 又四边形是平行四边形（平行四边形法则）‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故选C.‎ 点睛：空间向量坐标运算常见问题有：‎ ‎（1）点与向量的关系，‎ 设点，，则 ‎ ‎ ‎（2）向量的线性运算，‎ 设，，则，‎ ‎（3）两个向量的数量积 ‎ 设，，则.‎ ‎9．已知向量，，且与互相垂直，则的值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先由向量的坐标运算，求与，再由它们互相垂直列方程求解出的值.‎ 详解：向量，‎ ‎ ，‎ ‎ 与互相垂直 ‎ ，解得 故选D.‎ 点睛：空间两个向量垂直充要条件：‎ 设，，则 ‎10．若平面的一个法向量为，，，，，则点到平面的距离为（ ）‎ A． 1 B． 2 C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：求出，点A到平面的距离：，由此能求出结果.‎ 详解： ，，，，‎ ‎ AB为平面的一条斜线，且 点A到平面的距离：‎ 故选C.‎ 点睛：点到平面的距离，利用向量法求解比较简单，如图，设AB为平面α的一条斜线段，n为平面α的法向量，则A到平面α的距离.‎ ‎11．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，，平面平面，是的中点，是的中点，则直线与平面所成角的正弦值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：以O为原点，建立空间直角坐标系，利用向量法，‎ 求出直线与平面所成角的正弦值.‎ 详解：以O为原点，以、和为轴正方向，建立的空间直角坐标系，如图所示.‎ 由题可知，，，，则，，‎ 是的中点，，‎ 设平面的法向量，直线与平面所成角为，‎ 则 可取 故选D.‎ 点睛：直线和平面所成角的求法：如图所示，设直线l的方向向量为e，平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝.‎ ‎12．在直角中，，，，点、分别在、边上，且，沿着将折起至的位置，使得平面与平面所成二面角的平面角为（其中点为点翻折后对应的点），则四棱锥的体积的最大值为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为，，，所以,‎ 因为，，所以，‎ 因此为平面与平面所成二面角的平面角,即 设，则四棱锥的高为 因此四棱锥的体积为，‎ 由，当时，；当时，；所以时选B.‎ 点睛：立体几何中体积最值问题，先根据几何体体积公式建立函数关系式，再根据条件将函数转化为一元函数问题，最后根据函数形式，根据基本不等式或利用导数求最值.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数，则__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】分析：对函数求导，将x=1代入导函数即可求得结果.‎ 详解：函数，= ‎ 解得-2.‎ 故答案为：-2.‎ 点睛:这个题目考查了导数的几何意义，导数几何意义指的是在曲线上任意一点处的切线的斜率.‎ ‎14．已知，，则的最小值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由已知先求，再写出表达式，即可求得最小值.‎ 详解： ，，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，即的最小值为 故答案为.‎ 点睛：本题主要考查空间向量的坐标表示法和二次函数最值问题，考查学生运用基本知识解决问题的能力和知识转化能力.‎ ‎15．如图，在长方体中，，，点在棱上.若二面角的大小为，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：以D为原点，建立空间直角坐标系，设，再求出平面和平面的法向量，利用法向量所成的角表示出二面角的平面角，解方程即可得出答案.‎ 详解：以D为原点，以，，为轴的正方向，建立空间直角坐标系，设，平面的法向量为 由题可知，，，，，‎ 平面的一个法向量为轴，可取平面的法向量为 ‎ 为平面的法向量，‎ ‎ 令，则 二面角的大小为 ‎ ，即 ‎ ‎ 解得 ，（舍去）‎ ‎ ‎ 故答案为 点睛：空间向量法求二面角 ‎（1）如图1，AB、CD是二面角α－l－β的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小θ＝〈，〉．‎ ‎(2)如图2、3，分别是二面角α－l－β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小(或)．‎ ‎16．若函数在上有2个零点，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：构造新函数，求函数的导数，得到函数的图形变化规律，根据上有2个零点的条件，即函数与在上有两个交点，求出a的范围.‎ 详解：令 ‎ 令，得，‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 增 极大值 减 极小值 增 ‎ 如图所示，，，，，‎ 函数在上有2个零点，‎ 即函数图象与在上有两个交点.‎ 如图所示，当或时，即或，满足题意 ‎ 的取值范围为.‎ 故答案为.‎ 点睛：利用导数研究函数图象的交点或函数零点问题一般步骤如下：‎ ‎①构造函数；‎ ‎②求导；‎ ‎③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；‎ ‎④画出函数的草图，观察交点情况，列不等式；‎ ‎⑤解不等式得解.‎ 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求函数的导函数；‎ ‎（2）求过点且与曲线相切的直线方程.‎ ‎【答案】（1） .（2）和.‎ ‎【解析】分析：（1）根据多项式的求导法则求导即可；（2）设切点的坐标为，切线方程为：，将点的坐标代入上述方程可得求得或，进而得到切线方程.‎ 详解：‎ ‎（1）.‎ ‎（2）由，设切点的坐标为，‎ 由所求切线方程为：，‎ 将点的坐标代入上述方程可得：，‎ 整理为：，解得：或，‎ 将或代入切线方程，可求得切线方程为：和.‎ 点睛：这个题目考查了函数的导函数的求法，以及过某一点的切线方程的求法，其中应用到导数的几何意义，一般过某一点求切线方程的步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.‎ ‎18．（题文）如图，直三棱柱中，，，，点是中点，点在上，且.‎ ‎（1）求与平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）建立空间坐标系，求得面的法向量和直线的方向向量，利用向量夹角的求法可得到正弦值；（2）建立空间坐标系，求得两个面的法向量，利用向量夹角的求法可得到余弦值.‎ 解析：‎ 由直三棱柱中，知两两互相垂直，‎ 以为轴建立空间直角坐标系，‎ ‎∵，，∴，，，，，，‎ 中点.‎ ‎(1)，，，‎ 设平面的一个法向量，则，，，‎ 取，则，‎ ‎，‎ ‎∴直线与平面所成角的正弦值为.‎ ‎(2)，设平面的一个法向量为，‎ 则，‎ 取，则，，‎ 结合图形知，二面角的余弦值为.‎ 点睛：这个题目考查了空间中的直线和平面的位置关系，平面和平面的夹角。求线面角，一是可以利用等体积计算出直线的端点到面的距离，除以线段长度就是线面角的正弦值；还可以建系，用空间向量的方法求直线的方向向量和面的法向量，再求线面角即可。面面角一般是定义法，做出二面角，或者三垂线法做出二面角，利用几何关系求出二面角，二是建系求两个面的法向量。‎ ‎19．已知函数，且为函数的极值点.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若当时，存在实数使得不等式成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】分析：（1）求函数的导数，根据为函数的极值点，得，求得，检验左右导数符号即可.‎ ‎（2）由题转化得，当时，的最大值，解不等式即可求得答案.‎ 详解：解：（1），‎ 由得，解得：.‎ ‎（2）由（1）知，令可得，故当时函数单调递增；当时函数单调递减.‎ 由，，故有，则.‎ 由存在实数使得不等式成立，可得：，解得：.‎ 点睛：本题主要考查了函数的极值和存在性问题，其中涉及到利用导数研究函数的单调性、极值与最值等知识，着重考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及转化与化归思想。‎ ‎（1）函数存在极值点的充要条件：存在点，使且左右函数单调性相反.‎ ‎（2）‎ 函数存在性问题，构造新函数并利用新函数的性质是解答此类问题的关键，并注意把握下述结论：‎ ‎①存在解；‎ ‎②存在解；‎ ‎③存在解；‎ ‎④存在解.‎ ‎20．如图，在四棱锥中，已知底面，，，，，异面直线和所成角等于.‎ ‎（1）求直线和平面所成角的正弦值；‎ ‎（2）在棱上是否存在一点，使得平面与平面所成锐二面角的正切值为？若存在，指出点在棱上的位置；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）存在这样的点，为棱上靠近的三等分点.‎ ‎【解析】分析：（1）以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系.利用空间向量法能求出直线和平面所成角的正弦值.‎ ‎（2）先假设棱上存在一点，求出平面与平面的法向量，进而求得二面角的余弦值，结合其正切值为，求出E点的位置.‎ 详解：解：（1）如图，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系.‎ 易知是等腰直角三角形，∴.‎ 设，则，，，，.‎ 则，，‎ ‎∵异面直线和所成角等于，‎ ‎∴，即，解得，‎ ‎∵，.‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则由，得，所以可取，‎ ‎∴.‎ ‎∴直线和平面所成角的正弦值为.‎ ‎（2）假设存在，设，且，则，‎ ‎，设平面的一个法向量为，‎ 则由，得，‎ 取，又有平面的法向量，‎ 由平面与平面所成锐二面角的正切值为，可知余弦值为，‎ 由，得，‎ 解得或（不合题意）.‎ ‎∴存在这样的点，为棱上靠近的三等分点.‎ 点睛：本题考查线面角正弦值的求法，满足条件的点是否存在的判断与求法，空间中线线、线面、面面间位置关系等基础知识，考查学生推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力.‎ ‎21．（题文）如图所示，有、、三座城市，城在城的正西方向，且两座城市之间的距离为；城在城的正北方向，且两座城市之间的距离为.由城到城只有一条公路，甲有急事要从城赶到城，现甲先从城沿公路步行到点（不包括、两点）处，然后从点处开始沿山路赶往城.若甲在公路上步行速度为每小时，在山路上步行速度为每小时，设（单位：弧度），甲从城赶往城所花的时间为（单位：）.‎ ‎（1）求函数的表达式，并求函数的定义域；‎ ‎（2）当点在公路上何处时，甲从城到达城所花的时间最少，并求所花的最少的时间的值.‎ ‎【答案】（1） ，定义域为；（2）点所在的位置为处，甲所花最短时间为.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先在直角三角形中用表示，，再根据时间等于路程除以速度得，最后根据实际意义得定义域，（2）先求函数导数，再求导函数零点，列表分析导函数符号变化规律，确定单调性，进而确定最值取法.‎ 试题解析：解：（1）在中，，，‎ 故.‎ 由图知，，故函数的定义域为 ‎（2）令 则.‎ 令，可得，由可解得.‎ 故函数的增区间为，减区间为 故当时，函数.‎ 故点所在的位置为处，甲所花最短时间为.‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与圆相切，求的值；‎ ‎（2）若函数在上存在极值，求的取值范围；‎ ‎（3）若函数有两个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（1）；（2）．‎ ‎【解析】分析：（1）求出的导函数，将代入求出切线斜率，根据点斜式写出切线方程.再利用直线与圆相切的条件：圆心到切线的距离等于圆的半径，即可求得到的值.‎ ‎（2）将函数在上存在极值，转化为在上存在零点，且零点左右符号相反.由题可知在上的增函数，根据零点存在性定理得，求解不等式组得到的取值范围.‎ ‎（3）根据在上的增函数，存在极小值点，，且在 左右分别找到和，满足，时，求解出的取值范围.‎ 详解：解：（1）∵，由，，故曲线在点处的切线方程为：，整理为：，‎ 由切线与圆相切有，解得：.‎ ‎（2）∵为上的增函数，‎ ‎∴，即，解得：.‎ ‎（3）由，当时由函数为增函数，‎ 则函数若存在零点，有且仅有一个，令.‎ ‎①当时，，‎ 令，由有，‎ 故当时函数单调递增，当单调递减，‎ 又由，，，‎ 可知当时，此时函数单调递减；当时，此时函数单调递增，‎ 故，此时函数有且只有一个零点.‎ ‎②当时，由，，故方程在区间上有解.‎ ‎③当时，由， ，‎ 故方程在区间上有解，‎ 由上知当时函数有唯一的极小值点，记为，有，可得，‎ 要使得函数有两个零点，至少需要 ，可得，‎ 由函数单调递增，且，可得：，由，可得，‎ 由上知当时，，且，‎ 而 ，‎ 由常用不等式，可知，故 ，‎ 又，‎ 故 ，‎ 故此时函数有且仅有两个零点，‎ 由上知的取值范围为.‎ 点睛：与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．‎