数学文卷·2018届河南省南阳市第一中学高三第九次考试（2018

数学文卷·2018届河南省南阳市第一中学高三第九次考试（2018

南阳一中 2018 届高三第九次考试 文数试题 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 2.已知 ( 为虚数单位)，且 ，则 ( ) A. B. C. D.2 3.已知命题 ， ，则 是 成立的( )条件 A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 4.已知某厂的产品合格率为 ，现抽出 10 件产品检查，则下列说法正确的是( ) A.合格产品少于 8 件 B.合格产品多于 8 件 C.合格产品正好是 8 件 D.合格产品可能是 8 件 5. ( ) A. B. C. D. 6.等差数列 的前 项和 ， ， ，则 的值为( ) A.40 B.52 C.56 D.64 7.如图的程序框图的算法思路源于我国古代著名的“孙子剩余定理”，图中的 表示正整数 除以正整数 后的余数为 ，例如 .执行该程序框图，则输出的 等于( ) { }2 4A x x= − < < { }2B x x= ≥ ( )RA C B = ( )2,4 ( )2,4− ( )2,2− ( ]2,2− ,x y R∈ i 1xi y i− = − + ( )1 x yi ++ = 2i 2i− 2 2i+ : 1 2p x− < < 2:log 1q x < p q 0.8 23cos15 4sin 15 cos15− =° ° ° 1 2 2 2 1 2 { }na n nS 5 25S = 5 9a = 8S ( ),Mod N m n= N m n ( )10,3 1Mod = i A.23 B.38 C.44 D.58 8.已知几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何体的各条棱中，最长的棱的长度为( ) A.2 B. C. D. 9.在 中，点 在边 上，且 ，设 ， ，则 ( ) A. B. C. D. 10.函数 的图象如图所示，在区间 上可找到 个不同的数 ， 使得 ，则 的取值范围是( ) 5 2 2 11 ABC△ D AB 1 2BD DA=  CB a=  CA b=  CD = 1 2 3 3a b+  2 1 3 3a b+  3 4 5 5a b+  4 3 5 5a b+  ( )y f x= [ ],a b ( )2n n ≥ 1 2 3, , ,..., nx x x x ( ) ( ) ( )1 2 1 2 n n f xf x f x x x x = = =… n A. B. C. D. 11.设奇函数 在 内有 9 个零点，则 的取 值范围为( ) A. B. C. D. 12.已知抛物线 的准线与 轴交于 点，焦点是 ， 是抛物线上任意一点，当 取得最小值时，点 恰好在以 为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13.抛物线 的准线方程是______________. 14.从分别写有 1，2，3，4，5 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽 得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为______________. 15.平面 过正方体 的顶点 ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，则 所成角的大小为______________. 16.某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 ，乙材料 .用 5 个工时；生产一件产品 B 需要甲材料 ，乙材料 ，用 3 个工时。生产一件产品 A 的利润为 2100 元，生产一件产品 B 的利润为 900 元，该企业现有 甲材料 150 ，乙材料 ，则在不超过 600 个工时的条件下，生产产品 A，产品 B 的利 润之和的最大值为______________元. 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） { }2,3 { }2,3,4 { }3,4 { }3,4,5 ( ) ( ) ( )( )sin 3cos 0f x x xω φ ω φ ω= + − + > [ ]1,1x∈ − ω [ )4 ,5π π [ ]4 ,5π π 1 1,5 4π π      1 1,5 4π π      2 16y x= x A F P PF PA P ,A F 2 1 2 + 2 1+ 5 1 2 + 5 1+ 2 2x y= α 1 1 1 1ABCD A B C D− A α ∥ 1 1CB D α  ABCD m= α  1 1ABB A n= ,m n 1.5kg 1kg 0.5kg 0.3 kg kg 90kg 17.已知数列 是各项均为正数的等比数列，若 ， . (1)设 ，求数列 的通项公式； (2)求数列 的前 项和 . 18.随着“互联+交通”模式的迅猛发展，“共享自行车”在很多城市相继出现.某运营公司 为了了解某地区用户对其所提供的服务的满意度，随机调查了 40 个用户，得到用户的满意 度评分如下： 用户编号评分 用户编号评分 用户编号评分 用户编号评分 1 78 11 88 21 79 31 93 2 73 12 86 22 83 32 78 3 81 13 95 23 72 33 75 4 92 14 76 24 74 34 81 5 95 15 97 25 91 35 84 6 85 16 78 26 66 36 77 7 79 17 88 27 80 37 81 8 84 18 82 28 83 38 76 9 63 19 76 29 74 39 85 10 86 20 89 30 82 40 89 用系统抽样法从 40 名用户中抽取容量为 10 的样本，且在第一分段里随机抽到的评分数据为 92. (1) 请你列出抽到的 10 个样本的评分数据； (2) 计算所抽到的 10 个样本的均值 和方差 ； (3) 在(2)的条件下，若用户的深意度评分在 之间，则满意度等级为“ 级”， 试应用样本估计总体的思想，估计该地区满意度等级为“ 级”的用户所占的百分比是 多少？(精确到 ) 19.在四棱锥 中， ，平面 平面 ， . ， 是 上一点. { }na 1 1a = 2 4 16a a = 2logn nb a= { }nb { }n na b n nS x 2s ( ),x s x s− + A A 0.1% P ABCD− AD BC∥ PAC ⊥ ABCD 1AB AD DC= = = 60ABC DCB= =∠ ∠ ° E PC (1)证明：平面 平面 ； (2)若 是正三角形，且 是 中点，求三棱锥 的体积. 20.已知椭圆 的离心率为 ，左、右焦点分别为 、 ，过 的 直线交椭圆于 两点. (1)若以 为直径的圆内切于圆 ，求椭圆的长轴长； (2)当 时，问在 轴上是否存在定点 ，使得 为定值？并说明理由. 21.已知函数 . (1)若 ，求函数 的图像在点 处的切线方程； (2)若函数 有两个极值点 ， ，且 ，求证： . 22.在直角坐标系 中，曲线 ( 为参数， )，在以 为极点， 轴正半 轴为极轴的极坐标系中，直线 . (1)若 与曲线 没有公共点，求 的取值范围； (2)若曲线 上存在点到 距离的最大值为 ，求 的值. 23.设函数 ， . (1)求不等式 的解集； (2)已知关于 的不等式 的解集为 ，若 ，求实数 的取 值范围. EAB ⊥ PAC PAC△ E PC A EBC− ( )2 2 2 2: 1 0x yC a ba b + = > > 2 2 3 1F 2F 1F ,A B 1AF 2 2 9x y+ = 1b = x T TA TB⋅  ( ) ( )( )lnf x x x ax a R= − ∈ 1a = ( )f x ( )( )1, 1f ( )f x 1x 2x 1 2x x< ( )2 1 2f x > − xOy cos: sin x tC y α α =  = α 0t > O x : cos 24l πρ θ − =   l C t C l 1 6 22 + t ( ) 1f x x= − x R∈ ( ) ( )3 1f x f x≤ − − x ( ) ( )1f x f x x a≤ + − − M 31, 2 M  ⊆   a 南阳一中 2018 届高三第九次考试 文数答案 一、选择题 1-5:CABDD 6-10:DACBB 11、12：AB 二、填空题 13. 14. 15. 16.216000 元 三、解答题 17.解：(1)由数列 是各项均为正数的等比数列，且 ，∴ ，即： . 又∵ ，∴ . (2)由(1)可知， 则 ① ② ①－② ∴ . 18.解：(1)由题意得，通过系统抽样分别抽取编号为 4，8，12，16，20，24，28，32，36， 40 的评分数据样本，则样本的评分数据为 92，84，86，78，89，74，83，78，77，89. (2)由(1)中的样本评分数据可得 ， 则有： 1 2y = − 2 5 3 π { }na 1 2 4 1 16 a a a =  ⋅ = 2q = 12n na −= 2logn nb a= 1nb n= − ( ) 11 2n n na b n −⋅ = − ⋅ ( )0 1 2 10 2 1 2 2 2 1 2n nS n −= × + × + × + + − ⋅… ( )1 2 32 0 2 1 2 2 2 1 2n nS n= × + × + × + + − ⋅… ( )2 3 12 2 2 2 1 2n n nS n−− = + + + + − − ⋅… ( )2 2 1 21 2 n nn −= − − ⋅− ( )2 2 2n n= − − ( )2 2 2n nS n= − + ( )1 92 84 86 78 89 74 83 78 77 89 8310x = + + + + + + + + + = (3)由题意知评分在 之间，即 之间. 由(1)中容量为 10 的样本评分在 之间有 5 人，则该地区满意度等级为“ 级” 的用户所占的百分比约为 . 19.解：(1)证明：依题意得四边形 是底角为 的等腰梯形， ∴ ，∵ ，∴ ， ∴ ，∴ . ∵平面 平面 ，平面 平面 ，∴ 平面 . 又 平面 ，∴平面 平面 . (2)由(1)及已知得，在 中， ， ， ∴ ，且 ，又 平面 ，∴ 是三棱锥 的 高. ∵ 是 中点，∴ . ∴三棱锥 的体积为 . 20.解：(1)设 的中点为 ，在三角形 中，由中位线得： . 当两个圆相内切时，两个圆的圆心距等于两个圆的半径，即 ， 所以 ，椭圆长轴长为 6. (2)由已知 ， ， ，所以椭圆方程为 . 当直线 斜率存在时，设直线 方程为 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 22 2 2 2 2 2 1 [ 92 83 84 83 86 83 78 83 89 8310 74 83 83 83 78 83 77 83 89 83 ] 33 s = − + − + − + − + − + − + − + − + − + − = ( )83 33,83 33− + ( )77.26,88.74 ( )77.26,88.74 A 5 100% 50.0%10 × = ABCD 60° 120BAD ADC= =∠ ∠ ° AD DC= 30DAC DCA= =∠ ∠ ° 120 30 90BAC BAD DAC= − = − =∠ ∠ ∠ ° ° ° AB AC⊥ PAC ⊥ ABCD PAC  ABCD AC= AB ⊥ PAC AB ⊂ EAB EAB ⊥ PAC Rt ABC△ 60ABC =∠ ° 1AB = tan60 3AC AB= =° 2 2BC AB= = AB ⊥ PAC AB B EAC− E PC ( )21 1 1 3 3 3sin60 32 4 4 2 8EAC PACS S AC AP= = ⋅ = × × =△ △ ° A EBC− 1 1 3 3 313 3 8 8A EBC B EAC EACV V S AB− −= = ⋅ = × × =△ 1AF M 1 2AF F ( )2 1 1 1 1 122 2 2OM AF a AF a AF= = − = − 1 13 2OM AF= − 3a = 1b = 2 2c = 3a = 2 2 19 x y+ = AB AB ( )2 2y k x= + 设 ， ， 由 ，得 ， ∴ 恒成立. ∴ ， ， ， 设 ， ， 当 即 时 为定值 当直线 斜率不存在时，不妨设 ， ， 当 时 ，为定值. 综上：在 轴存在定点 ，使得 为定值 . 21.解：(1)由已知条件， ，当 时， . ，当 时， ，所以所求切线方程为 . (2)由已知条件得 有两个相异实根 ， ， 令 ，则 ， a. 若 ，则 ， 单调递增， 不可能有两根； b. 若 ，令 得 ，可知 在 上单调递增，在 上单调 递减， 令 解得 ，由 有 ， ( )1 1,A x y ( )2 2,B x y ( ) 2 29 9 2 2 x y y k x  + = = + ( )2 2 2 29 1 36 2 72 9 0k x k x k+ + + − = 0∆ > 2 1 2 2 36 2 9 1 kx x k + = − + 2 1 2 2 72 9 9 1 kx x k −= + ( )( ) 2 2 1 2 1 2 22 2 2 2 9 1 ky y k x x k −= + + = + ( )0 ,0T x ( ) 2 1 2 1 2 0 0 1 2TA TB x x x x x x y y⋅ = − + + +  ( )2 2 2 0 0 0 2 9 36 2 71 9 9 1 x x k x k + + + − = + ( )2 2 0 0 09 36 2 71 9 9x x x+ + = − 0 19 2 9x = − TA TB⋅  2 0 79 81x − = − AB 12 2, 3A −   12 2, 3B − −   19 2 ,09T  −    2 1 2 1 7, ,9 3 9 3 81TA TB    ⋅ = ⋅ − = −            x 19 2 ,09T  −    TA TB⋅  7 81 − ( ) ( )lnf x x x x= − 1x = ( ) 1f x = − ( )' ln 1 2f x x x= + − 1x = ( )' 1f x = − 0x y+ = ( )' ln 1 2f x x ax= + − 1x 2x ( ) ( )'f x h x= ( ) 1' 2h x ax = − 0a ≤ ( )' 0h x > ( )h x ( )'f x 0a > ( )' 0h x = 1 2x a = ( )h x 10, 2a      1 ,2a  +∞   1' 02f a   >   10 2a< < 1 1 2e a < 1 2' 0af e e   = − <   由 有 从而 时函数 有两个极值点， 当 变化时， ， 的变化情况如下表： - 0 + 0 - 单调递减 单调递增 单调递减 因为 ，所以 ， 在区间 上单调递增， ∴ . 22.解：(1)因为直线 的极坐标方程为 ，即 ， 所以直线 的直角坐标方程为 ， 因为 ( 为参数， )所以曲线 的普通方程为 . 由 消去 得， ， 所以 ， 解得 ，故 的取值范围为 . (2)由(1)知直线 的直角坐标方程为 ， 故@曲线 上的点 到 的距离 ， 故 的最大值为 由题设得 ，解得 ， 又因为 ，∴ . 23.解：(1)因为 ，所以 或 或 2 1 1 2a a > 2 1 2' 2ln 1 0f aa a   = − + − <   10 2a< < ( )f x x ( )'f x ( )f x x ( )10, x 1x ( )1 2,x x 2x ( )2 ,x +∞ ( )'f x ( )f x ( )1f x ( )2f x ( )' 1 1 2 0f a= − > 1 21x x< < ( )f x [ ]21, x ( ) ( )2 11 2f x f a> = − > − l cos 24 πρ θ − =   cosρ θ l 2x y+ = cos sin x t y α α =  = α 0t > C 2 2 2 1x yt + = 2 2 2 2 1 x y x yt + = + = x ( )2 2 21 4 4 0t y y t+ − + − = ( )( )2 216 4 1 4 0t t∆ = − + − < 0 3t< < t ( )0, 3 l 2 0x y+ − = C ( )cos ,sint α α l cos sin 2 2 td α α+ −= d 2 1 2 2 t + + 2 1 2 1 6 222 t + + = + 2t = ± 0t > 2t = ( ) ( )3 1f x f x≤ − − 1 3 2x x− ≤ − − 1 2 3x x⇔ − + − ≤ 1 3 2 3 x x <⇔  − ≤ 1 2 1 3 x≤ ≤  ≤ 2 2 3 3 x x >  − ≤ 解得 或 或 ，所以 . 故不等式 的解集为 . (2)因为 ，所以当 时， 恒成立， 而 ， 因为 ，所以 ，即 ， 由题意，知 对于 恒成立， 所以 ，故实数 的取值范围为 . 0 1x≤ < 1 2x≤ ≤ 2 3x< ≤ 0 3x≤ ≤ ( ) ( )3 1f x f x≤ − − [ ]0,3 31, 2 M  ⊆   31, 2x  ∈   ( ) ( )1f x f x x a≤ + − − ( ) ( )1 1 0 1f x f x x a x x x a x a x x≤ + − − ⇔ − − + − ≤ ⇔ − ≤ − − 31, 2x  ∈   1x a− ≤ 1 1x a x− ≤ ≤ + 1 1x a x− ≤ ≤ + 31, 2x  ∈   1 22 a≤ ≤ a 1 ,22     