数学理卷·2018届内蒙古包头市九中高三上学期期中考试（2017

数学理卷·2018届内蒙古包头市九中高三上学期期中考试（2017

包九中2017-2018学年度第一学期期中考试 高三数学（理）‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1．设集合，．若，则( )‎ A．{1，﹣3} B．{1，0} C．{1，3} D．{1，5}‎ ‎2．下列各式的运算结果为纯虚数的是( )‎ A．i（1+i）2 B．i2（1﹣i） C．（1+i）2 D．i（1+i）‎ ‎3．下列说法不正确的是( )‎ A．若“p且q”为假，则p，q至少有一个是假命题 B．命题“∃x∈R，x2﹣x﹣1＜‎0”‎的否定是““∀x∈R，x2﹣x﹣1≥‎‎0”‎ C．当a＜0时，幂函数y=xa在（0，+∞）上单调递减 D．“φ=”是“y=sin（2x+φ）为偶函数”的充要条件 ‎4．已知O为坐标原点，点M坐标为（﹣2，1），在平面区域上取一点N，则使|MN|为最小值时点N的坐标是( )‎ A．（0，0） B．（0，1） C．（0，2） D．（2，0）‎ ‎5．记等比数列{an}的前n项积为Tn(n∈N*)，已知，且，则m的值为( )‎ A．4 B．‎7 ‎ C．10 D．12‎ ‎6．矩形中，，，为线段上的点，则的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎7．函数，则零点个数为( )‎ A.1 B‎.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎8．已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎9．是定义在上的奇函数，满足，当时，，则的值等于( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10．用数学归纳法证明不等式“”，从“”到“”时，左侧应添加的式子为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11．平面内凸四边形有2条对角线，凸五边形有5条对角线，以此类推，凸13边形的对角线条数为( )‎ A．42 B．‎65 ‎ C．143 D．169‎ ‎12．函数f（x）=sinωx+cosωx+1的最小正周期为π，当x∈[m，n]时，f（x）至少有12个零点，则n﹣m的最小值为( )‎ A． B． C． D．‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．函数y=loga（x+2）﹣1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中m＞0，n＞0，则+的最小值为　 　.‎ ‎14．= .‎ ‎15．等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为Sn与Tn，若，则　 　．‎ ‎16．设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”．已知，若对任意的实数满足时，函数在区间上为“凸函数”，则的最大值为　 　.‎ 三、解答题(共70分，第17—21为必考题，每题12分，22、23为选考题，每题10分)‎ ‎17．在△ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c．‎ ‎（Ⅰ）若，，且△ABC的面积，求a，b的值；‎ ‎（Ⅱ）若，试判断△ABC的形状．[KS5UKS5UKS5U]‎ ‎18．已知函数，．‎ ‎（1）求的单调递增区间；[KS5UKS5U.KS5U ‎（2）设△ABC为锐角三角形，角A所对边a=，角B所对边b=5，若，求△ABC的面积．‎ ‎19．已知数列满足：，，数列满足.‎ ‎(1)求证：数列是等比数列.‎ ‎(2)若，求证：数列的前项和.‎ ‎20．数列为公差不等于零的等差数列，其前项和满足 ‎，且、、成等比数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）数列{bn}满足，求{bn}通项公式；‎ ‎（Ⅲ）令（n∈N*），求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎21．设函数f（x）=ax2﹣a﹣lnx，g（x）=﹣，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．‎ ‎（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（Ⅱ）证明：当x＞1时，g（x）＞0；‎ ‎（Ⅲ）若f（x）＞g（x）在（1，+∞）内恒成立，求a取值范围．‎ ‎22、23为选考题，考生任选一题作答。‎ ‎22.【选修4--4；极坐标参数方程选讲】‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为，是上的动点，点满足，点的轨迹为曲线。‎ ‎（Ⅰ）求的参数方程；‎ ‎（Ⅱ）在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线与的异于极点的交点为，与的异于极点的交点为，求．‎ ‎23．【选修4--5；不等式选讲】‎ 设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：‎ ‎（Ⅰ）；‎ ‎（Ⅱ）‎ 包九中2017-2018学年度第一学期期中考试 高三数学（理）‎ 一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分)‎ ‎1、C；2、C；3、D；4、B；5、A；6、B；7、B；8、B；9、A；10、D；11、B；12、D；‎ 二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分)‎ ‎13．3+2 14. 15． 16.2‎ ‎16．解：根据已知，|m|≤2时，f″（x）=x2﹣mx﹣3＜0在（a，b）上恒成立；‎ ‎∴mx＞x2﹣3恒成立；‎ ‎（1）当x=0时，f″（x）=﹣3＜0显然成立；‎ ‎（2）当x＞0时，；‎ ‎∵m的最小值为﹣2；‎ ‎；[KS5UKS5U]‎ 解得0＜x＜1；‎ ‎（3）当x＜0时，m；‎ ‎∵m的最大值为2；‎ ‎∴；‎ 解得﹣1＜x＜0；‎ 综上可得﹣1＜x＜1；[KS5UKS5U]‎ ‎∴b﹣a的最大值为1﹣（﹣1）=2．‎ 三、解答题(共70分，第17—‎ ‎21为必考题，每题12分，22、23为选考题，每题10分)‎ ‎17．解：（Ⅰ）由余弦定理 及已知条件得，a2+b2﹣ab=4，…．（2分）‎ 又因为△ABC的面积等于，所以，得ab=4．（4分）[KS5UKS5UKS5U]‎ 联立方程组解得a=2，b=2．（6分）‎ ‎（Ⅱ）由题意得：sinC+sin（B﹣A）=sin‎2A 得到sin（A+B）+sin（B﹣A）=sin‎2A=2sinAcoA 即：sinAcosB+cosAsinB+sinBcosA﹣cosBsinA=2sinAcoA 所以有：sinBcosA=sinAcosA，（8分）‎ 当cosA=0时，，△ABC为直角三角形（10分）‎ 当cosA≠0时，得sinB=sinA，由正弦定理得a=b，‎ 所以，△ABC为等腰三角形．（12分）‎ ‎18．解：（1）函数f（x）=cos2x﹣sin2x+‎ ‎=cos2x+，x∈（0，π），‎ 由2kπ﹣π≤2x≤2kπ，解得kπ﹣π≤x≤kπ，k∈Z，‎ k=1时，π≤x≤π，‎ 可得f（x）的增区间为[，π）；‎ ‎（2）设△ABC为锐角三角形，‎ 角A所对边a=，角B所对边b=5，‎ 若f（A）=0，即有cos‎2A+=0，‎ 解得‎2A=π，即A=π，‎ 由余弦定理可得a2=b2+c2﹣2bccosA，‎ 化为c2﹣‎5c+6=0，‎ 解得c=2或3，‎ 若c=2，则cosB=＜0，‎ 即有B为钝角，c=2不成立，‎ 则c=3，‎ ‎△ABC的面积为S=bcsinA=×5×3×=．‎ ‎19．(1)；(2)‎ ‎20．解：（Ⅰ）an=2n（n∈N*）．‎ ‎（Ⅱ）bn=2（3n+1）（n∈N*）．‎ ‎（Ⅲ）=n（3n+1）=n•3n+n，‎ 数列{cn}的前n项和 ‎21．（Ⅰ）解：由f（x）=ax2﹣a﹣lnx，得f′（x）=2ax﹣=（x＞0），‎ 当a≤0时，f′（x）＜0在（0，+∞）成立，则f（x）为（0，+∞）上的减函数；‎ 当a＞0时，由f′（x）=0，得x==，‎ ‎∴当x∈（0，）时，f′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，‎ 则f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；‎ 综上，当a≤0时，f（x）为（0，+∞）上的减函数，当a＞0时，f（x）在（0，）上为减函数，在（，+∞）上为增函数；‎ ‎（Ⅱ）证明：要证g（x）＞0（x＞1），即﹣＞0，‎ 即证，也就是证，‎ 令h（x）=，则h′（x）=，‎ ‎∴h（x）在（1，+∞）上单调递增，则h（x）min=h（1）=e，‎ 即当x＞1时，h（x）＞e，∴当x＞1时，g（x）＞0；‎ ‎ ‎ ‎22.【选修4﹣﹣4；极坐标参数方程选讲】‎ 解：（I）设P（x，y），则由条件知M（，）．由于M点在C1上，‎ 所以即 从而C2的参数方程为 ‎（α为参数）‎ ‎（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ，曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ．‎ 射线θ=与C1的交点A的极径为ρ1=4sin，‎ 射线θ=与C2的交点B的极径为ρ2=8sin．‎ 所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|=．‎ ‎23．【选修4﹣﹣5；不等式选讲】‎ 证明：（Ⅰ）由a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，c2+a2≥2ca得：‎ a2+b2+c2≥ab+bc+ca，‎ 由题设得（a+b+c）2=1，即a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=1，‎ 所以3（ab+bc+ca）≤1，即ab+bc+ca≤．‎ ‎（Ⅱ）因为+b≥‎2a，+c≥2b，+a≥‎2c，‎ 故+++（a+b+c）≥2（a+b+c），即++≥a+b+c．‎ 所以++≥1．‎