数学理卷·2017届广东省普宁市勤建学校高三上学期期末考试（2017

数学理卷·2017届广东省普宁市勤建学校高三上学期期末考试（2017

‎ 普宁勤建中学2017届高三第一学期 期末考试 ‎ 理科数学试题 注意事项：‎ ‎ 1.答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。 2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，在选涂其他答案标号。第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔书写作答.若在试题卷上作答，答案无效。‎ ‎ 3.考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分, 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎（1）已知集合，，则 ‎　 (A) (B) 　 (Ｃ) 　 (Ｄ) ‎ ‎（2）设，其中是实数，则 ‎ （A）1 （B） （C） （D）‎ ‎（3）等比数列的前项和为，若，则公比 ‎ ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎（4）已知双曲线（）的渐近线方程为, 则双曲线的离心率为 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ ‎（5）若将函数的图象向左平移个单位，所得图象关于轴对称，则的最小正值是 ‎ （A） （B） （C） （D） ‎ ‎（6）GZ新闻台做“一校一特色”访谈节目, 分A, B, C三期播出, A期播出两间学校, B期，‎ ‎ C期各播出1间学校, 现从8间候选学校中选出4间参与这三项任务, 不同的选法共有 ‎ ‎ （A）140种 （B）420种 （C）840种　　 （D）1680种 ‎（7）已知函数 ，则函数的图象是 ‎ ‎ ‎（8）设，， ，则的大小关系为 ‎ (A) (B) (C) (D) ‎ ‎（9）阅读如下程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为 ‎(A) 7 (B) 9 (C) 10 (D) 11‎ ‎（10）已知抛物线的焦点为，准线为，是上一点，直线与曲线相交于，两点，若，则 ‎ (Ａ) (Ｂ) (Ｃ) (Ｄ) ‎ ‎（11）如图, 网格纸上小正方形的边长为1, 粗线画出的是某三棱锥 的三视图，则该三棱锥的外接球的表面积是 ‎(A) (B) ‎ ‎ (C) (D) ‎ ‎ (12) 若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 ‎(A) (B) (C) (D) ‎ 第II卷 本卷包括必考题和选考题两部分. 第13题~第21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.‎ ‎（13）等比数列的前项和为，已知，则公比= ▲ .‎ ‎（14）某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒. 若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为 ▲ .‎ ‎（15）已知，分别是的两个实数根，则 ▲ .‎ ‎（16）若定义域为的偶函数满足，且当时，，则方程在内的根的个数是 ▲ .‎ 三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.‎ ‎ （17）（本小题满分12分）‎ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ‎ .‎ ‎（Ⅰ）求角C；‎ ‎（Ⅱ）若，的面积为，求的周长．‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 设数列{}的前项和为，且.‎ ‎（Ⅰ）求{}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若，且数列的前项和为，求.‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ 某市高中男生身高统计调查数据显示：全市100000名男生的身高服从正态分布. 现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于160cm和184cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组 ，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）试估计该校高三年级男生的平均身高；‎ ‎（Ⅱ）求这50名男生中身高在172cm以上（含172cm）的人数；‎ ‎（III）从（Ⅱ）中身高在172cm以上（含172cm）的男生里任意抽取2人，将这2人身高纳入全市排名（从高到低），能进入全市前130名的人数记为ξ，求ξ的数学期望.‎ 参考数据：若，则，，.‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，，.‎ ‎（Ⅰ）证明： ‎ ‎（Ⅱ）若是的中点，且与平面所成的角的正切值为，求二面角的余弦值.‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 已知函数有两个零点.‎ ‎（Ⅰ）求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）设是的两个零点，证明. ‎ 请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分. 作答时，请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.‎ ‎（22）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 ‎ 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程是.‎ ‎（Ⅰ）直接写出的普通方程和极坐标方程，直接写出的普通方程；‎ ‎（Ⅱ）点在上，点在上，求的最小值.‎ ‎（23）（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 ‎ 已知.‎ ‎（Ⅰ）当，求不等式的解集；‎ ‎（Ⅱ）若对任意的，恒成立，求的取值范围.‎ ‎ 普宁勤建中学2017届高三第一学期 期末考试 ‎ 理科数学参考答案 一、选择题 ‎ （1）A （2）D （3）A （4）B （5）A （6）C ‎ ‎（7）D （8）C （9）B （10）B （11）D （12）A 二、填空题 ‎13．或（答1个得3分，答2个得5分） 14． 15． 16． ‎ 三、解答题 ‎（17）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由已知以及正弦定理，得， （2分）‎ 即. （3分）‎ 所以， （5分）‎ 又，所以. （6分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以， （8分）‎ 又，所以， （9分）‎ 所以，即. （11分）‎ 所以周长为. （12分）‎ ‎（18）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ）由已知，有 ①，‎ 当时，，即. （1分）‎ 当时， ②，‎ ‎①-②得 ，即. （3分）‎ 所以是2为公比，1为首项的等比数列，即. （5分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ），得， （6分）‎ 所以. （8分）‎ 所以 （9分）‎ ‎= （10分）‎ ‎= （11分）‎ ‎= （12分）‎ ‎（19）（本小题满分12分）‎ ‎ 解：（Ⅰ）由频率分布直方图，可估计该校高三年级男生平均身高为：‎ ‎.‎ ‎ （2分）‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图，可得这50名男生身高在172cm以上（含172cm）的人数为：‎ ‎（0.02+0.02+0.01）´4´50=10. （4分）‎ ‎（Ⅲ）∵P（168-3×4＜ξ≤168+3×4）=0.9974，‎ ‎∴P(ξ≥180)= =0.0013， （5分）‎ ‎0.0013×100000=130，∴全市前130名的身高在180cm以上. （6分）‎ 这50人中180cm以上的人数为：0.01´4´50=2，‎ 因此随机变量ξ可取0，1，2. （7分）‎ P(ξ=0)= =，P(ξ=1)=，P(ξ=2)=， （10分）‎ ‎∴E(ξ)=0×+1×+2×=. （12分）‎ ‎（20）（本小题满分12分）‎ 证明：（Ⅰ）因为底面是菱形，所以. （1分）‎ 又，且是中点，所以. （2分）‎ ‎，所以. （3分）‎ 又，所以. （4分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，是在面上的射影，‎ 所以是与面所成的角. （5分）‎ 在Rt△BOE中，，，所以.‎ 在Rt△PEO中，，，所以.‎ 所以，又，‎ 所以，所以. （6分）‎ 又，所以. （7分）‎ 方法一：‎ 过做于，由（Ⅰ）知，所以，所以，‎ ‎，所以是二面角的平面角. （9分）‎ 在△PAC中，，所以，即.‎ 所以. （10分）‎ ‎，得， （11分）‎ ‎，，所以二面角的余弦值为. （12分）‎ 方法二：‎ 如图，以建立空间直角坐标系，‎ ‎，，，，‎ ‎，，‎ ‎. （9分）‎ 设面的法向量为，则 ，即，得方程的一组解为，即. （10分）‎ 又面的一个法向量为， （11分）‎ 所以，所以二面角的余弦值为. （12分）‎ ‎（21）（本小题满分12分）‎ 解：（Ⅰ） （1分）‎ ‎（i）当时，‎ 函数在单调递减，在单调递增． （2分）‎ ‎∵，‎ 取实数满足且，则，‎ ‎ （3分）‎ 所以有两个零点． （4分）‎ ‎（ii）若，则，故只有一个零点． （5分）‎ ‎（iii）若，由（I）知，‎ 当，则在单调递增，又当时，，故不存在两个零点；‎ 当，则函数在单调递增；在单调递减．又当时，，故不存在两个零点． （6分）‎ 综上所述，的取值范围是． （7分）‎ ‎（Ⅱ）不妨设.‎ 由（Ⅰ）知，，则等价于.‎ 因为函数在单调递减，‎ 所以等价于，即证明. （8分）‎ 由，得，‎ ‎， （9分）‎ 令，. （10分）‎ ‎，在单调递减，又，所以，‎ 所以，即原命题成立. （12分）‎ ‎（22）（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）的普通方程是 ， （2分）‎ 的极坐标方程 ， （4分）‎ 的普通方程. （6分）‎ ‎（Ⅱ）方法一：‎ 是以点为圆心，半径为2的圆；是直线. （7分）‎ 圆心到直线的距离为，直线和圆相离. （8分）‎ 所以的最小值为. （10分）‎ 方法二：‎ 设，因为是直线， （7分）‎ 所以的最小值即点到直线的距离的最小值，， （9分）‎ 所以最小值为. （10分）‎ ‎（23）（本小题满分10分）‎ 解：（Ⅰ）当时，不等式，即.‎ 可得，或或 （3分）‎ 解得，所以不等式的解集为. （6分）‎ ‎（Ⅱ），当且仅当时等号成立. （8分）‎ 由，得或，即a的取值范围为 （10分）‎