2018-2019学年河北省枣强中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2018-2019学年河北省枣强中学高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2018-2019学年河北省枣强中学高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．已知命题：“，”，命题：“ ，”.若命题“”是真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A．或 B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】当命题为p真时，此问题为恒成立问题，用最值法，转化为当x∈[1，2]时，（x2﹣a）min≥0，可求出 a≤1，当命题q为真时，为二次方程有解问题，用“△”判断，可得a≤﹣2或a≥1，又命题“￢p且q”是真命题，所以p假q真，对a求交集，可求出实数a的范围．‎ ‎【详解】‎ 解：当命题为p真时，即：“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“，即当x∈[1，2]时，（x2﹣a）min≥0，‎ 又当x＝1时，x2﹣a取最小值1﹣a，‎ 所以1﹣a≥0，‎ 即a≤1，‎ 当命题q为真时，即：∃x∈R，x2+2ax+2﹣a＝0，‎ 所以△＝4a2﹣4（2﹣a）≥0，‎ 所以a≤﹣2，或a≥1，‎ 又命题“￢p且q”是真命题，‎ 所以p假q真，‎ 即，‎ 即实数a的取值范围是：a＞1，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了不等式恒成立及方程有解问题，属常规题型．‎ ‎2．已知的线性回归直线方程为，且之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的为（ ）‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3.1‎ ‎4.3‎ A．变量之间呈现正相关关系 B．可以预测当时，‎ C．‎ D．由表格数据可知，该回归直线必过点 ‎【答案】C ‎【解析】因为=0.82x+1.27中x的系数0.82>0，所以变量x，y之间呈正相关关系.‎ 因为 =0.82×+1.27=,所以回归直线必过点(,).‎ 又，所以m=1.8.‎ 当x=5时,=5.37.故选C．‎ ‎3．设一直角三角形两直角边均是区间上的随机数，则斜边长小于1的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题可得，以直角边长组成的点在边长为1的正方形内部，满足斜边长小于1的点在的圆内部，利用几何概型概率公式即可求解。‎ ‎【详解】‎ 设直角边长分别为，，则，，建立直角坐标系，‎ 对应的点在边长为1的正方形内部，如图 由斜边长小于1得：，即，‎ 所以满足斜边长小于1的点在图中的圆内部，‎ 所以斜边长小于1的概率为：‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查了几何概型概率计算及转化思想，属于基础题 ‎4．某中学高二年级共有学生2400人，为了解他们的身体状况，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为80的样本，若样本中共有男生42人，则该校高二年级共有女生（ ）‎ A．1260 B．1230 C．1200 D．1140‎ ‎【答案】D ‎【解析】由分层抽样方法列方程求解即可。‎ ‎【详解】‎ 设女生总人数为：人，由分层抽样的方法可得：‎ 抽取女生人数为：人，‎ 所以，解得：‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分层抽样方法中的比例关系，属于基础题。‎ ‎5．气象意义上的春季进入夏季的标志为连续5天的日平均温度不低于.现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均气温的记录数据（记录数据都是正整数）：‎ ‎①甲地：5个数据是中位数为24，众数为22；‎ ‎②乙地：5个数据是中位数为27，总体均值为24；‎ ‎③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8‎ 则肯定进入夏季的地区有（ ）‎ A．①②③ B．①③ C．②③ D．①‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：由统计知识①甲地：个数据的中位数为，众数为可知①符合题意；而②乙地：个数据的中位数为，总体均值为中有可能某一天的气温低于 ，故不符合题意，③丙地：个数据中有一个数据是，总体均值为，总体方差为．若由有某一天的气温低于 则总体方差就大于，故满足题意，选C ‎【考点】统计初步 ‎6．过三点，，的圆截直线所得弦长的最小值等于（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据圆心在弦AC的中垂线上可设圆心P坐标为（1，b），再利用r2＝＝9+（b-2）2，确定圆心与半径，又直线过定点，则可以得到弦长最短时圆心与直线的定点Q与弦垂直，然后利用勾股定理可求得弦长.‎ ‎【详解】‎ 解：设圆心坐标P为（1，b），则r2＝＝9+（b-2）2，∴b＝-2，r＝5，‎ 又直线过定点Q（-2，0），所以圆心P与定点Q连线与弦垂直时，弦长最短，根据圆内特征三角形可知弦长∴直线被圆截得的弦长为．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求三角形的外接圆的方程，直线过定点问题，弦长问题，考查转化能力，数形结合的思想，属于中档题.‎ ‎7．某班有60名学生，一次考试后数学成绩，若，则估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为（ ）‎ A．9 B．8 C．7 D．6‎ ‎【答案】A ‎【解析】由计算出，由此求得该班学生数学成绩在120分以上的概率，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 因为数学成绩，‎ 所以由可得：，‎ 所以该班学生数学成绩在120分以上的概率为：，‎ 所以估计该班学生数学成绩在120分以上的人数为：（人）‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了正态分布的特征及其应用，属于基础题。‎ ‎8．执行如图所示的程序框图，若输出的值为4，则判断框中应填入的条件是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据程序框图，写出每一步的运行结果，由对数函数换底公式计算得到每一步的最后结果，最后由程序输出的结果是S＝4，可得判断框内应填入的条件．‎ ‎【详解】‎ 解：根据程序框图，运行结果如下：‎ 第一次循环 s=log23 k=3 ‎ 第二次循环 s=log23•log34= k=4 ‎ 第三次循环 s=log23•log34•log45= k=5‎ 第四次循环 s=log23•log34•log45•log56= k=6 ‎ 第五次循环 s=log23•log34•log45•log56•log67= k=7‎ 第六次循环 s=log23•log34•log45•log56•log67•log78= k=8‎ 第七次循环 s=log23•log34•log45•log56•log67•log78•log89= k=9‎ ‎…‎ 第十三次循s=log23•log34•log45•log56•…•log1415= k=15 ‎ 第十四次循环 s=log23•log34•log45•log56••…•log1415•log1516＝log216＝4 k=16‎ 故如果输出S＝4，那么只能进行十四次循环，故判断框内应填入的条件是k＜16．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查程序框图的运行，对数函数换底公式的应用，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎9．位于坐标原点的一个质点P按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是.质点P 移动5次后位于点的概率为 ‎（A） （B） （C） （D） ‎ ‎【答案】B ‎【解析】质点在移动过程中向右移动2次向上移动3次，因此质点P 移动5次后位于点的概率为。‎ ‎10．先后掷一颗质地均匀的骰子（骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6）两次，落在水平桌面上后，记正面朝上的点数分别为，记事件为“为偶数”，事件为“中有偶数且”，则概率（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】记正面朝上的点数分别为，列出基本事件总数共36‎ 种，找出满足正面朝上的点数之和为偶数的共18种，再找出“中有偶数且”基本事件个数为6个，问题得解。‎ ‎【详解】‎ 记正面朝上的点数分别为，列出基本事件总数如下：‎ ‎（1,1），（1,2），（1,3），（1,4），（1,5），（1,6），‎ ‎（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（2,5），（2,6），‎ ‎（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（3,5），（3,6），‎ ‎（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），（4,5），（4,6），‎ ‎（5,1），（5,2），（5,3），（5,4），（5,5），（5,6），‎ ‎（6,1），（6,2），（6,3），（6,4），（6,5），（6,6），‎ 共计：36种。‎ 满足“正面朝上的点数之和为偶数” 基本事件的共18种 满足“中有偶数且”基本事件个数为6个 所以 ‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型概率计算及条件概率知识，属于基础题。‎ ‎11．用0到9这10个数字，可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（ ）‎ A．324 B．328 C．360 D．648‎ ‎【答案】B ‎【解析】【考点】排列、组合及简单计数问题．‎ 分析：本题是一个分类计数问题，若个位数字为0，前两位的排法种数为9×8，若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法，确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，排法种数为4×8×8，根据分类加法原理得到结果．‎ 解答：解：由题意知本题是一个分类计数问题，‎ 若个位数字为0，前两位的排法种数为9×8=72，‎ 若个位数字不为0，则确定个位数字有4种方法，‎ 确定百位数字有8种方法，确定十位数字有8种方法，∴排法种数为4×8×8=256，‎ ‎∴256+72=328，‎ ‎∴可以组成328个没有重复数字的三位偶数 ‎ 故答案为B 点评：本题考查排列组合及简单计数问题，本题解题的关键是看清楚对于数字0的特殊情况，在最后一位可以得到偶数又不能排在第一位．‎ ‎12．设，是双曲线（）的左、右两个焦点，点为双曲线右支上的一点，满足（为坐标原点），且，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A． B．2 C．3 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用向量知识，确定△OPF2是等腰三角形，进而判断△PF1F2是直角三角形，PF1⊥PF2，利用，确定a，b，c之间的关系，即可求得双曲线的离心率．‎ ‎【详解】‎ 解：由已知，∵，‎ ‎∴|0P|＝|OF2|，‎ ‎∴△OPF2是等腰三角形 连接PF1，则OP＝|F1F2|，‎ ‎∴△PF1F2是直角三角形，PF1⊥PF2，‎ 设|PF2|＝x，∵，，，‎ ‎∴|PF1|＝2x，‎ ‎∴|F1F2|＝x＝2c，‎ 由双曲线定义，|PF1|﹣|PF2|＝x＝2a ‎∴双曲线的离心率为 .‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量知识的运用，考查双曲线的定义与几何性质，确定a,b,c 之间的关系是关键，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．王老师上数学课时，给同学们出了两道选择题，他估计做对第一道的概率为0.8，做对两道的概率为0.6，两道做对与否没有影响，则估计做对第二道的概率为____．‎ ‎【答案】0.75‎ ‎【解析】由相互独立事件同时发生概率计算公式直接求解。‎ ‎【详解】‎ 记：“做对第一道选择题”为事件A，“做对第二道选择题”为事件B，‎ 由题可得：，，又两道做对与否没有影响，‎ 所以，解得：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了相互独立事件同时发生概率公式，属于基础题。‎ ‎14．已知满足不等式组，若，则的取值范围为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作出不等式组表示的平面区域，利用表示点到点距离的平方即可求解。‎ ‎【详解】‎ 作出不等式组表示的平面区域，如下图：‎ 由得：，‎ 所以表示点到点距离的平方。‎ 由图可知，‎ ‎，‎ 的取值范围为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二元一次不等式组表示的平面区域及两点距离公式，考查转化思想及计算能力，属于基础题。‎ ‎15．有5盆互不相同的菊花，其中2盆为白色，2盆为黄色，1盆为红色，现要摆成一排，要求红色菊花在中间，白色菊花不相邻，黄色菊花也不相邻，则共有____种不同的摆放方法（用数字作答）.‎ ‎【答案】16‎ ‎【解析】由分步计数原理结合组合知识直接求解。‎ ‎【详解】‎ 如上图所示，‎ 把红色菊花放在中间，接着考虑白色菊花不相邻，最后考虑黄色菊花也不相邻。‎ 共有种不同的摆放方法 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了分步计数原理及组合知识，属于基础题。‎ ‎16．已知过抛物线焦点的直线交抛物线于两点，其中点坐标为，则线段的中点到准线的距离等于____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先根据抛物线方程求得焦点坐标，又直线过A点，由A，F两点可求出直线的方程，联立直线抛物线方程求线段AB的中点坐标，可求出中点到准线的距离.‎ ‎【详解】‎ 解：由y2＝4x知2p＝4，p＝2．‎ 所以焦点F（1，0），又A（4，4），则直线AB的斜率为k=，‎ 所以直线AB的方程为y=（x-1）‎ 联立直线和抛物线方程可得，‎ 则，‎ 所以线段AB中点到准线的距离是 ‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线与抛物线的关系，中点坐标公式，直线的两点式方程，属于基础题．‎ 三、解答题 ‎17．在二项式的展开式中，前三项系数的绝对值成等差数列.‎ ‎（1）求展开式中二项式系数最大的项；‎ ‎（2）求展开式中所有有理项的系数之和.‎ ‎【答案】（1）（2）-‎ ‎【解析】（1）由二项式定理展开式中的通项公式求出前三项，由前三项系数的绝对值成等差数列列方程即可求得，问题得解。‎ ‎（2）由，对赋值，使得的指数为正数即可求得所有理项，问题得解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由二项式定理得展开式中第项为 ‎，‎ 所以前三项的系数的绝对值分别为1，，，‎ 由题意可得，整理得，‎ 解得或（舍去），‎ 则展开式中二项式系数最大的项是第五项，‎ ‎（2）因为，‎ 若该项为有理项，则是整数，‎ 又因为，‎ 所以或或，‎ 所以所有有理项的系数之和为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式，考查分析能力，转化能力及计算能力，属于基础题。‎ ‎18．质量监督局检测某种产品的三个质量指标，用综合指标核定该产品的等级.若，则核定该产品为一等品.现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：‎ ‎（1）利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；‎ ‎（2）在该样品的一等品中，随机抽取2件产品，设事件为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标均满足”，求事件的概率.‎ ‎【答案】（1）一等品率为0.6.（2）‎ ‎【解析】（1）找出满足的基本事件个数即可求解。‎ ‎（2）列出抽取2件产品的所有可能结果，数出综合指标均满足的基本事件个数即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）计算10件产品的综合指标，如下表：‎ 其中的有共6件，故该样本的一等品率为，‎ 从而估计该批产品的一等品率为0.6.‎ ‎（2）在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为：‎ 共15种.‎ 在该样本的一等品中，综合指标均满足的产品编号分别为，‎ 则事件发生的所有可能结果为 共3种，‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了古典概型概率计算，属于基础题。‎ ‎19．为了解高一学生暑假里在家读书情况，特随机调查了50名男生和50名女生平均每天的阅读时间（单位：分钟），统计如下表：‎ ‎（1）根据统计表判断男生和女生谁的平均读书时间更长？并说明理由；‎ ‎（2）求100名学生每天读书时间的平均数，并将每天平均时间超过和不超过平均数的人数填入下列的列联表：‎ ‎（3）根据（2）中列联表，能否有99%的把握认为“平均阅读时间超过或不超过平均数是否与性别有关？”‎ 附：‎ ‎0.050‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎3.841‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析；‎ ‎【解析】（1）对表中数据的平均数，集中程度及中位数分析即可。‎ ‎（2）计算出100名学生的平均读书时间，对照表格求解即可 ‎（3）由独立性检验公式直接计算再判断即可。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）女生平均每天读书时间更长 理由如下：（i）分别求出男女生的平均读书时间可知.‎ ‎（ii）由统计表可估计，男生读书时间的中位数大约为36.5分钟，女生读书时间的中位数大约是48.5分钟，因此女生平均每天读书时间更长.‎ ‎（iii）由统计表可知，多数男生读书时间主要集中在之间，而女生主要集中在之间，因此女生平均每天读书时间更长..‎ ‎（2）可求100名学生的平均读书时间为：‎ ‎，‎ 列联表如下：‎ ‎（3）由于，‎ 所以没有99%的把握认为阅读时间超过或不超过平均数与性别有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了样本的数据特征计算及独立性检验，属于基础题。‎ ‎20．已知椭圆：的离心率为，其左焦点与抛物线的焦点重合.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过动点的直线交轴于点，交椭圆于点，在第一象限，，过点做轴的垂线交椭圆于点，连接并延长交椭圆于另一点.设直线的斜率分别为，证明：为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）见证明 ‎【解析】（1）先由抛物线方程求得抛物线的焦点，可得c=1，再由椭圆的离心率可求得a，再由a，b，c的关系可以求出b，然后得到椭圆的方程.‎ ‎（2）由直线过x轴上定点，所以设出直线的横截式方程，先计算B点坐标，又因为，所以根据线段的比例关系可以得到A的坐标，再由对称关系得到D点坐标，由两点式计算直线DT的斜率，然后求比值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知题意的左焦点为，因为离心率为，‎ 所以，‎ 所以题意的方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为，（），则 ‎，可求得；‎ 因为，‎ 所以，且，‎ 所以，‎ 所以为定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与椭圆的位置关系，根据两点坐标求直线斜率，椭圆的对称性，解题的关键是求点的坐标，属于中档题.‎ ‎21．某校高二年级组织成语听说大赛，每班选10名同学参赛，要求每位同学回答5个成语，各位同学的得分总和算作本班成绩，其中一班的张明同学参赛，他每道题答对的概率均为，且每道题答对与否互不影响.计分办法规定为答对不超过3个题时，每答对一个得一分，超过三个，每多答对一个得两分.‎ ‎（1）求张明至少答对三道题的概率；‎ ‎（2）设张明答完5道题得分为，求的分布列及数学期望.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）分别计算“回答5个成语，恰好答对3个”，“回答5个成语，恰好答对4个”，“回答5个成语，恰好答对5个”的概率，求和即可。‎ ‎（2）对张明答完5道题的正确个数分类计算其得分概率，再列出的分布列即可求解期望。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设“张明至少答对三道题”为事件，‎ 则 ‎（2）由条件可知的可能取值为0,1,2,3,5,7‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎.‎ 所以的分布列为 故数学期望 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了独立重复试验发生次数的概率计算公式，考查分类思想、分布列及期望知识，属于基础题。‎ ‎22．已知椭圆：，其离心率为 ‎，以原点为圆心，椭圆的短轴长为直径的圆被直线截得的弦长等于.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为椭圆的左顶点，过点的直线与椭圆的另一个交点为，与轴相交于点，过原点与平行的直线与椭圆相交于两点，问是否存在常数，使恒成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(1) (2)见解析 ‎【解析】（1）由椭圆的短轴长为直径的圆被直线截得的弦长等于求得，再由离心率为求得，问题得解。‎ ‎（2）设直线的方程为,分别表示出点M,N的坐标，从而表示出，联立直线与椭圆方程，即可表示出，问题得解。‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意设圆的半径等于，‎ 圆心到直线的距离为，‎ ‎∴，，‎ ‎∵离心率 ‎∴，‎ ‎∴， ‎ ‎∴题意的方程为.‎ ‎（2）由（1）知点坐标为，显然直线的斜率存在，设直线的方程为，则，由，‎ 得，‎ 设，‎ 则由题意可知，，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎∴‎ 直线方程为，由，‎ 得，‎ 设，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴存在常数，使恒成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了椭圆的简单性质，两点距离公式及韦达定理，考查计算能力及转化思想，属于难题。‎