高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题检测（二）

高三数学二轮高考专题辅导与训练打包检测试题：专题检测（二）

专题检测（二）‎ ‎[时间120分钟，满分150分]‎ 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．点A(sin 2 011°，cos 2 011°)在直角坐标平面上位于 A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析　注意到2 011°＝360°×5＋(180°＋31°)，‎ 因此2 011°角的终边在第三象限，‎ sin 2 011°＜0，cos 2 011°＜0，‎ 所以点A位于第三象限，选C.‎ 答案　C ‎2．计算sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为 A．－　　 　 B. C.　　 　 D．1‎ 解析　原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°‎ ‎＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝.‎ 答案　B ‎3．(2011·辽宁)已知向量a＝(2,1)，b＝(－1，k)，a·(‎2a－b)＝0，则k＝‎ A．－12 B．－6‎ C．6 D．12‎ 解析　由已知得a·(2a－b)＝2a2－a·b ‎＝2(4＋1)－(－2＋k)＝0，‎ ‎∴k＝12.‎ 答案　D ‎4．(2012·吉林模拟)将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位，得到函数y＝f(x)·sin x的图象，则f(x)的表达式可以是 A．f(x)＝－2cos x B．f(x)＝2cos x C．f(x)＝sin 2x D．f(x)＝(sin 2x＋cos 2x)‎ 解析　将函数y＝cos 2x的图象向右平移个单位，可得y＝cos 2＝cos＝sin 2x ‎＝2sin xcos x，∴f(x)＝2cos x.‎ 答案　B ‎5．函数y＝1－2sin2是 A．最小正周期为π的偶函数 B．最小正周期为π的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 解析　y＝1－2sin2＝cos ＝sin 2x，所以T＝π，且y＝sin 2x为奇函数，故选B.‎ 答案　B ‎6．已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若a＝c＝＋且A＝75°，则b＝‎ A．2 B．4＋‎2 C．4－2 D.－ 解析　sin A＝sin 75°＝sin(30°＋45°)＝sin 30°cos 45°＋sin 45°cos 30°＝，‎ 由a＝c＝＋，可知C＝75°，所以B＝30°，sin B＝.‎ 由正弦定理，得b＝·sin B＝×＝2，故选A.‎ 答案　A ‎7．(2012·贵阳模拟)在直角梯形ABCD中，已知BC∥AD，AB⊥AD，AB＝4，BC＝2，AD＝4，若P为CD的中点，则·的值为 A．－5 B．－4‎ C．4 D．5‎ 解析　如图所示，CE⊥AD于E，则EC＝AB＝4，DE＝2，CD＝2，‎ ‎∴cos ∠ADC＝，‎ ‎∴·＝(＋)(＋)‎ ‎＝ ‎＝||2－||2＋||||cos ∠ADC ‎＝8－5＋×2×4×＝5.‎ 答案　D ‎8．(2012·济南模拟)函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是 A．x＝ B．x＝ C．x＝π D．x＝ 解析　据题意，所得的函数为y＝cos，‎ 令x－＝kπ，得x＝2kπ＋(k∈Z)，‎ 令k＝0，得x＝.‎ 答案　D ‎9．(2012·课标全国卷)已知ω＞0，函数f(x)＝sin在上单调递减，则ω的取值范围是 A. B. ‎ C. D．(0,2]‎ 解析　结合特殊值，求解三角函数的减区间，并验证结果．‎ 取ω＝，f(x)＝sin，其减区间为，k∈Z，‎ 显然⊆，k∈Z，排除B，C.取ω＝2，f(x)＝sin，其减区间为，k∈Z，显然⃘，k∈Z，排除D.‎ 答案　A ‎10．使f(x)＝sin(2x＋y)＋cos(2x＋y)为奇函数，且在上是减函数的y的一个值是 A. B. C. D. 解析　∵f(x)＝sin(2x＋y)＋cos(2x＋y)‎ ‎＝2sin为奇函数，‎ ‎∴f(0)＝0，∴sin y＋cos y＝0，‎ ‎∴tan y＝－，‎ 又函数f(x)在上是减函数，‎ 故只有D选项满足．故选D.‎ 答案　D ‎11．已知向量，满足||＝||＝1，·＝0，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若M为AB的中点，并且||＝1，则点(λ，μ)在 A．以为圆心，半径为1的圆上 B．以为圆心，半径为1的圆上 C．以为圆心，半径为1的圆上 D．以为圆心，半径为1的圆上 解析　由于M是AB的中点，∴△AOM中，＝(＋)，‎ ‎∴||＝|－|＝＝1.‎ ‎∴2＝1，‎ 2＋2＝1，故选D.‎ 答案　D ‎12．在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，已知b2＝c(b＋‎2c)，若a＝，cos A＝，则△ABC的面积等于 A. B. C. D．3‎ 解析　∵b2＝c(b＋2c)，∴b2－bc－2c2＝0，‎ 即(b＋c)·(b－2c)＝0.‎ ‎∴b＝2c.又a＝，cos A＝＝，‎ 解得c＝2，b＝4.‎ ‎∴S△ABC＝bcsin A＝×4×2× ＝.‎ 答案　C 二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)‎ ‎13．已知向量a＝(4,2)，b＝(1,1)，则向量a－b与向量a＋b的夹角的余弦值是________．‎ 解析　因为向量a＝(4,2)，b＝(1,1)，所以向量a－b＝(3,1)，a＋b＝(5,3)，‎ 所以|a－b|＝，|a＋b|＝，(a－b)·(a＋b)＝15＋3＝18，‎ 所以cos〈a－b，a＋b〉＝＝＝.‎ 答案　 ‎14．已知＝5，则sin2α－sin αcos α的值是________．‎ 解析　依题意得＝5，tan α＝2，‎ sin2α－sin αcos α＝ ‎＝＝＝.‎ 答案　 ‎15．在△ABC中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且满足cos ＝，·＝3，则△ABC的面积为________．‎ 解析　依题意得cos A＝2cos2－1＝，‎ sin A＝＝，‎ ·＝AB·AC·cos A＝3，‎ AB·AC＝5，△ABC的面积等于 AB·AC·sin A＝2.‎ 答案　2‎ ‎16．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走‎10米到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是________米．‎ 解析　在△BCD中，CD＝10，∠BDC＝45°，‎ ‎∠BCD＝15°＋90°＝105°，‎ ‎∠DBC＝30°，＝，‎ BC＝＝10，‎ 在Rt△ABC中，tan 60°＝，AB＝BCtan 60°＝10.‎ 答案　10 三、解答题(本大题共6小题，共74分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17．(12分)已知函数f(x)＝cos2x＋sin xcos x(x∈R)．‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)求函数f(x)的单调递增区间．‎ 解析　由题意知f(x)＝＋sin 2x＝＋＝sin＋.‎ ‎(1)f＝sin π＋＝.‎ ‎(2)令2kπ－≤2x＋≤2kπ＋(k∈Z)，得2kπ－≤2x≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 即kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，故函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎18．(12分)如图，A是单位圆与x轴正半轴的交点，点P在单位圆上，∠AOP＝θ(0＜θ＜π)，平行四边形OAQP的面积为S.‎ ‎(1)求·＋S的最大值及此时θ的值θ0；‎ ‎(2)设点B的坐标为，∠AOB＝α，在(1)的条件下，求cos(α＋θ0)．‎ 解析　(1)由已知得点A、P的坐标分别为(1,0)，(cos θ，sin θ)，∴＝(1＋cos θ，sin θ)，·＝1＋cos θ.‎ 又∵S＝sin θ，∴·＋S＝sin θ＋cos θ＋1＝sin＋1(0＜θ＜π)，‎ 故·＋S的最大值是＋1，此时θ0＝.‎ ‎(2)∵cos α＝－，sin α＝，‎ ‎∴cos(θ0＋α)＝cos θ0cos α－sin θ0sin α＝－.‎ ‎19．(12分)(2012·房山模拟)已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别是a，b，c，tan A＋tan B＝－tan Atan B，a＝2，c＝.‎ ‎(1)求tan(A＋B)的值；‎ ‎(2)求△ABC的面积．‎ 解析　(1)∵tan A＋tan B＝－tan Atan B＝(1－tan Atan B)，‎ ‎∴tan(A＋B)＝＝.‎ ‎(2)由(1)知A＋B＝60°，∴C＝120°.‎ ‎∵c2＝a2＋b2－2abcos C.‎ ‎∴19＝4＋b2－2×2×b，∴b＝3.‎ ‎∴S△ABC＝absin C＝×2×3×＝.‎ ‎20．(12分)(2012·九江模拟)已知向量＝(λcos α，λsin α)(λ≠0)，＝(－sin β，cos β)，其中O为坐标原点．‎ ‎(1)若α－β＝且λ＝1求向量与的夹角；‎ ‎(2)若||≥2||对任意实数α，β都成立，求实数λ的取值范围．‎ 解析　(1)当λ＝1时，向量与的夹角.‎ ‎(2)||≥2||对任意的α，β恒成立，‎ 即(λcos α＋sin β)2＋(λsin α－cos β)2≥4对任意的α，β恒成立，‎ 即λ2＋1＋2λsin(β－α)≥4对任意的α，β恒成立，‎ 所以或 解得λ≥3或λ≤－3，‎ 所求的实数的取值范围是λ≥3或λ≤－3.‎ ‎21．(12分)如图，为了计算江岸边两景点B与C的距离，由于地形的限制，需要在岸上选取A和D两个测量点，现测得AD⊥CD，AD＝‎10 km，AB＝‎14 km，∠BDA＝60°，∠BCD＝135°，求两景点B与C之间的距离．(假设A，B，C，D在同一平面内，测量结果保留整数，参考数据：≈1.414)‎ 解析　在△ABD中，设BD＝x，根据余弦定理得，BA2＝BD2＋AD2－2BD·AD·cos ∠BDA，‎ 即142＝x2＋102－2×10x×cos 60°.‎ 整理得x2－10x－96＝0，解得x1＝16，x2＝－6(舍去)．‎ 在△BCD中，由正弦定理得＝，‎ 故BC＝·sin 30°＝8≈11.‎ 答：两景点B与C之间的距离约为11 km.‎ ‎22．(14分)(2012·衡水模拟)已知函数f(x)＝cos 2x＋2sin x·sin.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期，最大值以及取得最大值时x的集合；‎ ‎(2)若A是锐角三角形△ABC的内角，f(A)＝0，b＝5，a＝7，求△ABC的面积．‎ 解析　(1)f(x)＝cos 2x＋2sin x·sin＝cos 2x＋2sin x·cos x ‎＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，‎ ‎∴f(x)的最小正周期是π.令2x＋＝＋2kπ，k∈Z.解得：x＝＋kπ，k∈Z.‎ ‎∴f(x)的最大值是2，取得最大值时x的集合是.‎ ‎(2)∵f(A)＝sin＝0,0＜A＜，∴A＝，‎ 在△ABC中，a2＝b2＋c2－2bc·cos A，c2－‎5c－24＝0，解得c＝8或c＝－3(舍)，‎ ‎∴S△ABC＝bc·sin A＝10.‎